4.1.3黄金分割点

1、 勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝几何学中的两大瑰宝. . “前者好似黄金，后者堪称珠玉前者好似黄金，后者堪称珠玉”。黄金分割黄金分割请你观察图请你观察图片中的发言片中的发言台和报幕员台和报幕员的位置，小的位置，小组讨论，为组讨论，为什么不放到什么不放到中间位置呢？中间位置呢？你知道你知道芭蕾舞芭蕾舞演员跳演员跳舞时为什么要掂起脚舞时为什么要掂起脚尖吗尖吗? ?芭蕾舞演员的身段是苗条芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比的，但下半身与身高的比值也只有值也只有0.580.58左右，演员左右，演员在表演时掂起脚尖，身高在表演时掂起脚尖，身高就可以增加就可以增加6-8cm.6-8cm.这

2、时比这时比值就接近值就接近0.6180.618了了, ,给人以给人以更为优美的艺术形象更为优美的艺术形象. .芭蕾舞芭蕾舞 黄金比！黄金比！ 0.6180.618一般地，如果三个数一般地，如果三个数a,b,c满足比例满足比例式，则式，则b就就叫叫a,c的的比例中项比例中项。):(cbbacbbaacbcbba2 :12(1)11?,.232,:3,273,3 35151,22a bababab做一做判断 是否是和 的比例中项 如果是 请写出相应的比例式求线段的比例中项.A AP PB B点点P P把线段把线段ABAB分成两部分分成两部分, ,如果如果PBAPAPAB=概念：概念：（AP是PB、

3、AB的比例中项）那么称线段那么称线段ABAB被点被点P P 黄金分割黄金分割, ,点点P P为线段为线段AB AB 的的 黄金分割点黄金分割点, , APAP与与ABAB的比值约为的比值约为0.6180.618, ,这个比值这个比值称为称为黄金比黄金比. .追溯黄金分割的历史文化追溯黄金分割的历史文化 早在古希腊，数学家、天文学家欧多克索早在古希腊，数学家、天文学家欧多克索斯（斯（EudoxusEudoxus，约公元前，约公元前400400公元前公元前347347）曾提）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线

4、较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题段的比？这就是黄金分割问题. . AB.PAB.P线段线段AB的黄金分割点有几点？的黄金分割点有几点？ 点点P P把线段把线段ABAB分成两部分分成两部分, ,如果较长部分的平如果较长部分的平方等于较短线段与整条线段的积，那么称线段方等于较短线段与整条线段的积，那么称线段ABAB被点被点P P 黄金分割黄金分割, ,点点P P为线段为线段AB AB 的的 黄金分割黄金分割点点, , 较长线段较长线段与与ABAB的比值约为的比值约为0.6180.618, ,这个比值这个比值称为称为黄金比黄金比. .AB.P（APPB）?A PA

5、B定值定值510.6182(解法一解法一)设设a,AP=xoaaxxaxaxABAPABABBPAPABAPAPBP2222)()(ax2511ax25120512xxa618. 0215ABAP利用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值几，即的值利用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值几，即的值ABAPAB.PxABABAPABPB, xABAP 则则设设01xx,xxx1ABXABxABxABAB,ABAPAPPB2 得得化化简简即即得得由由 618. 0215ABAP,251x,215x:21 所以所以舍去舍去不合题意不合题意解得解得AB.P(解法二解法二)1.已知点C是线段AB的

6、黄金分割点，且ACCB，则下列等式成立的是（ D ） (A) AB=ACCB (B) CB=ACAB (C) AC=CBAB (D) AC2=ABBC2.已知：线段AB=18cm ，点C是AB的黄金分割点，且ACBC ，求AC和BC的长.学有所用学有所用黄金分割点的尺规作图：黄金分割点的尺规作图：例：已知线段例：已知线段AB=a，用尺规和圆规作出它，用尺规和圆规作出它的黄金分割点。的黄金分割点。510.6182a蝴蝶身长与双翅展开后的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比长度之比, , 普通树叶的普通树叶的宽与长之比也接近宽与长之比也接近0.6180.618; ; 节目主持人报幕，一般节目主持人报幕，

7、一般不会站在舞台的中央，不会站在舞台的中央，而总是站在舞台的而总是站在舞台的1 13 3处，站在处，站在舞台上侧近于舞台上侧近于0.6180.618的位置才是最佳的的位置才是最佳的位置位置; ;耐人寻味的0.618 黄金分割的魅力黄金分割的魅力远远不止远远不止若矩形的宽与长若矩形的宽与长的比约为的比约为0.618,0.618,这样的矩形称之这样的矩形称之为为黄金矩形黄金矩形. .ABCDEFMN5 10.6182ab生活中用的纸若为黄金矩形，生活中用的纸若为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒这样的长方形让人看起来舒服顺眼，服顺眼，正规裁法得到的纸正规裁法得到的纸张张，不管其大小，如对于，不管其

8、大小，如对于8 8开、开、1616开、开、3232开等，都仍然开等，都仍然是近似的是近似的黄金矩形黄金矩形。小结：小结：1. 什么是黄金分割。什么是黄金分割。2. 如何去确定黄金如何去确定黄金分割点或黄金比。分割点或黄金比。3. 要用数学美去装点要用数学美去装点和美化生活。和美化生活。（A）（B）（C）（D）31213243D2.8(10.618) 1.07身边的黄金分割：身边的黄金分割：作业：作业：课后知识搜索课后知识搜索: 1.你身上有没有黄金分割点或黄金矩形你身上有没有黄金分割点或黄金矩形. 2.有兴趣的同学上网查找有关黄金分割的有兴趣的同学上网查找有关黄金分割的相关知识相关知识.1.1.作顶角为作顶角为3636的等腰的等腰ABC;ABC;量出量出 底底BCBC与腰与腰ABAB的长度的长度, ,计算计算: : ; ; 2.2.作作BB的平分线的平分线, ,交交ACAC于点于点D,D,量出量出CDCD的长度的