Lecture21信号系统考研辅导

1、信号与线性系统连续时间系统的时域分析1主讲教师：吴主讲教师：吴赟赟电话：电话：67792332（办）（办）Email: wuyun_信号与线性系统连续时间系统的时域分析2知识点知识点: : 信号的分类；信号的分类； 信号的简单处理；信号的简单处理； 系统的分类。系统的分类。重点与难点重点与难点: : 能量信号和功率信号的判定；能量信号和功率信号的判定； LTILTI系统的判定。系统的判定。上讲回顾上讲回顾信号与线性系统连续时间系统的时域分析3第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析本章介绍连续时间信号的时域分解和本章介绍连续时间信号的时域分解和LTI连连续时间系统响应的时域求

2、解。详细阐述冲激续时间系统响应的时域求解。详细阐述冲激信号及其特性；系统的零输入响应、零状态信号及其特性；系统的零输入响应、零状态响应及冲激响应。重点介绍卷积积分以及利响应及冲激响应。重点介绍卷积积分以及利用其计算系统的零状态响应。用其计算系统的零状态响应。信号与线性系统连续时间系统的时域分析4 时域分析方法时域分析方法: :不涉及任何变换，直接求解不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。础。 元一阶微分方程元一阶微分方程状态变量描述状态变

3、量描述阶微分方程阶微分方程一元一元输入输出描述输入输出描述NN:本本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。课程中我们主要讨论输入、输出描述法。2.1 引言信号与线性系统连续时间系统的时域分析5系统分析过程 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求零零输输入入双双零零法法经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程:,:经典法经典法: :前面电路分析课里已经讨论过，但与前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t)有关的问题有待进一步解决有关的问题有待进一步解决- h(t)； 卷积积分法卷积积分法: : 任意

4、激励下的零状态响应可通过任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。冲激响应来求。( (新方法新方法) ) 信号与线性系统连续时间系统的时域分析6本章知识点线性系统完全响应的求解；线性系统完全响应的求解； 冲激响应冲激响应h(t)的求解；的求解； 卷积的图解说明；卷积的图解说明； 卷积的性质；卷积的性质； 零状态响应零状态响应= =f(t) h(t)。 重点重点难点难点卷积积分卷积积分求冲激响应求冲激响应h(t) 信号与线性系统连续时间系统的时域分析7一物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时

5、间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述。来描述。信号与线性系统连续时间系统的时域分析8二微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。四端元件互感的

6、初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL,KVL. 信号与线性系统连续时间系统的时域分析9三n阶线性时不变系统的描述若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常均为常数，此方程为常系数的系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述 (

7、)e t( )r t)()(.)()()()(.)()(0111101111tebtedtdbtedtdbtedtdbtratrdtdatrdtdatrdtdmmmmmmnnnnn信号与线性系统连续时间系统的时域分析10例2.1-1 如图2.1-1所示的RLC串联电路， e(t)为激励信号， 响应为i(t)， 试写出其微分方程。 CF61iL(0)R5 i(t)e(t)L1 H信号与线性系统连续时间系统的时域分析11上式是一个微、 积分方程， 对方程两边求导， 并代入系数， 整理为)()(6)(5)(22tedtdtitidtdtidtd这是二阶系统的数学模型二阶线性微分方程。 解: 这是有两

8、个独立动态元件的二阶系统， 利用KVL定理列回路方程， 可得1( )( )( )( )tdR i tLi tie tdtC信号与线性系统连续时间系统的时域分析12四求解系统微分方程四求解系统微分方程经典法经典法双零法双零法零输入：可利用经典法求零输入：可利用经典法求零状态：利用卷积积分法求解零状态：利用卷积积分法求解变换域法变换域法信号与线性系统连续时间系统的时域分析13解的形式解的形式: 全响应全响应 = 齐次解齐次解rh(t) + 特解特解rp(t)1.齐次解齐次解rh(t) : 特征方程特征方程(特征根特征根)1110.0nnnaaaa.特征根无重根时特征根无重根时:12121( ).n

9、intttthniir tc ec ec ec eb.特征根有重根时特征根有重根时,以以 为为k重根重根,其他皆为单根为例其他皆为单根为例:111121( )(.)inttkhkii kr tcc tc tec e 经典法信号与线性系统连续时间系统的时域分析14( )prt特解特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。表特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。表1 列出了几种激励及其所对应特解的形式。列出了几种激励及其所对应特解的形式。备注A（常数）BA（待定常数） 不等于特征根 等于特征单根 重特征根 所有特征根均不等于零 重等于零的特征根激励( )e t( )prt特解temtcos

10、tsint或等于kteB10ttB teB e1110()kmmmmtB tBtB tB1110ktktttkkB t eBteB teB e1110mmmmB tBtB tB12cossinBtBtk有j所有特征根均不等于2.信号与线性系统连续时间系统的时域分析15齐次解往往称为系统的自然响应或者固有响应,函数形式仅取决于系统本身的参数(特征值),但是系数ci与激励有关;而特解称为受迫响应或者强迫响应,完全由激励信号决定.*齐次解以及特解中的待定系数的确定齐次解以及特解中的待定系数的确定:特解系数可将特解回代方程得到特解系数可将特解回代方程得到齐次解系数由初始值决定齐次解系数由初始值决定信号

11、与线性系统连续时间系统的时域分析160t 202 例例2.1-2：描述某系统的输入输出方程为：描述某系统的输入输出方程为已知已知求系统的响应求系统的响应求系统响应求系统响应(0)2r2( )2tr te将将代入上式得代入上式得c=2( )2 ( )( )r tr te t( )0, (0)2e tr( )r t( )2 ( )0r tr t故故2( )0tr tcet 解：求系统的特征根解：求系统的特征根则系统的响应为则系统的响应为信号与线性系统连续时间系统的时域分析17例例2.1-3 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为r (t) + 5r(t) + 6r(t) = e(t)求当求当

12、e(t) = 2e-t，t0；r(0)=2，r (0)= -1时的全解；时的全解；解解: 特征方程为特征方程为2 + 5+ 6 = 0 ,其特征根其特征根1= 2，2= 3。 所以所以,齐次解为齐次解为: r h(t) = c1e 2t + c2e 3t由表由表1可知，当可知，当f(t) = 2e t 时，其特解可设为时，其特解可设为rp(t) = Be t将其代入微分方程得将其代入微分方程得Be t + 5(Be t) + 6Be t = 2e t 解得解得 B=1于是特解为于是特解为rp(t) = e t全解为：全解为： r(t) = rh(t) + rp(t) = c1e 2t + c2

13、e 3t + e t其中待定常数其中待定常数c1,c2由初始条件确定。由初始条件确定。r(0) = c1+c2+ 1 = 2，r(0) = 2c1 3c2 1= 1解得解得 c1 = 3 ，c2 = 2最后得全解最后得全解r(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0信号与线性系统连续时间系统的时域分析182.2 算子方程算子方程一、算子定义一、算子定义微分算子：微分算子： 积分算子：积分算子： 注：利用算子可以将电路中的电感和电容伏注：利用算子可以将电路中的电感和电容伏安特性记为：安特性记为： 信号与线性系统连续时间系统的时域分析19二、算子运算法则二、算子运算法则1. 算子多项

14、式可进行代数运算；如：算子多项式可进行代数运算；如： (p+1)(p+2)=p2+3p+22. 微分和积分运算次序不能任意颠倒；微分和积分运算次序不能任意颠倒；3. 算子方程两边算子方程两边p的公因子不能随意消去。的公因子不能随意消去。信号与线性系统连续时间系统的时域分析20三、算子方程举例三、算子方程举例一般系统：一般系统：算子方程：算子方程：信号与线性系统连续时间系统的时域分析21简记为：简记为：或：或： 其中：其中：H(p)称为称为转移算子转移算子或算子形式系或算子形式系统函数。统函数。D(p)就是齐次方程的特征多项式。就是齐次方程的特征多项式。 因 此 ， 零 输 入 响 应 就 是

15、齐 次 方 程因 此 ， 零 输 入 响 应 就 是 齐 次 方 程D(p)r(t)=0的解。的解。信号与线性系统连续时间系统的时域分析22例例2.2-1 求例求例2.1-1激励为激励为e(t)， 响应为响应为i(t)的系的系统传输算子统传输算子H(p)。 解解 例例2.2-1的算子方程为的算子方程为 (p2+5p+6)i(t)=pe(t)2( )56pH ppp2( )( )56pi te tpp则由则由可得可得信号与线性系统连续时间系统的时域分析232.3 2.3 系统的零输入响应系统的零输入响应 若系统在若系统在t=0时未施加输入信号，但由于时未施加输入信号，但由于t0时系统的工作，可以

16、使其中的储能元件蓄时系统的工作，可以使其中的储能元件蓄有能量，而这能量不可能突然消失，它将逐有能量，而这能量不可能突然消失，它将逐渐释放出来，直至最后消耗殆尽。零输入响渐释放出来，直至最后消耗殆尽。零输入响应正是由这种初始的能量分布状态，即初始应正是由这种初始的能量分布状态，即初始条件所决定的。条件所决定的。 求零输入响应对应于解齐次方程：求零输入响应对应于解齐次方程： D(p)r(t)=0信号与线性系统连续时间系统的时域分析241. 一一阶系统阶系统其中其中注：注：0-表示激励接入之前的瞬时；表示激励接入之前的瞬时；0+表示激励表示激励接入之后的瞬时。接入之后的瞬时。信号与线性系统连续时间系

17、统的时域分析25系统的状态：系统的状态：起始状态：决定了激励接入之前的瞬时起始状态：决定了激励接入之前的瞬时0-系统的状系统的状态。态。初始状态：决定了激励接入之后的瞬时初始状态：决定了激励接入之后的瞬时0+系统的状系统的状态。态。初始条件：决定了完全响应。初始条件：决定了完全响应。信号与线性系统连续时间系统的时域分析26对于零输入响应，对于零输入响应，对于零状态响应，对于零状态响应， 0-未接入激励，故未接入激励，故因此，系统状态的关系为：因此，系统状态的关系为：信号与线性系统连续时间系统的时域分析27 2. 二阶齐次微分方程的一般算子形式为二阶齐次微分方程的一般算子形式为 (p-1)(p-

18、2)r(t)=0 1212( )0ttzir tc ec et根据下式确定常数根据下式确定常数c1和和c2 rzi(0-)=c1+c2 rzi(0-)=1c1+2c2 信号与线性系统连续时间系统的时域分析28若若（p-)2=0， 特征根相同，特征根相同， 则是二阶重根，则是二阶重根， 此时二阶齐次微分方程解的形式为此时二阶齐次微分方程解的形式为 rzi(t)=c1et+c2tet t0信号与线性系统连续时间系统的时域分析293. n阶系统阶系统求解零输入响应由如下两步构成求解零输入响应由如下两步构成 1) 确定系统的确定系统的自然频率自然频率令令D(p)=0，将，将p看成一个代数量，解得其看成

19、一个代数量，解得其n个个特征根特征根 。2)确定零输入响应的形式解：确定零输入响应的形式解： 如果没有重根，则可以确定其形式解为：如果没有重根，则可以确定其形式解为：信号与线性系统连续时间系统的时域分析30若有一个若有一个k重根，重根， 其余非重根。则：其余非重根。则：111211231111( )(.). knitkzikttknknttiiiii kr tcc tc tc tecec ectece信号与线性系统连续时间系统的时域分析31一般的初始条件为已知零时刻的响应及其各阶导数一般的初始条件为已知零时刻的响应及其各阶导数(1)(0 ),(0 ),(0 ),.,(0 )nzizizizir

20、rrr , ,带入形式解中带入形式解中121 122222112211111122(0 ).(0 ).(0 ).(0 ).zinzinnzinnnnnnzinnrcccrcccrcccrCCC就可以确定待定系数。就可以确定待定系数。3) 根据初始条件，确定待定系数定解条件：根据初始条件，确定待定系数定解条件：(2.3-1) 信号与线性系统连续时间系统的时域分析32式式(2.3-1)可用矩阵形式表示为可用矩阵形式表示为112421111124111(0 )(0 )(0 )nnnnncrcrcr(2.3-2) 信号与线性系统连续时间系统的时域分析33 常数常数c1、.、cn可用克莱姆法则解得，可用

21、克莱姆法则解得， 或用逆矩阵表示为或用逆矩阵表示为1112421111124111(0 )(0 )(0 )nnnnncrcrcr信号与线性系统连续时间系统的时域分析34例例2.3-1 已知系统的传输算子已知系统的传输算子H(p)= 2p/(p+3)(p+4) ， 初始条件初始条件rzi(0-)=1， , ,试求系统的零输入响试求系统的零输入响应。应。 解解 特征根特征根1=-3, 2=-4则则 零输入响应形式为零输入响应形式为 rzi(t)=c1e-3t+c2e-4t t0 将将r(0-)=1， r(0-)=2代入，可得代入，可得rzi(t)=6e-3t-5e-4t t0 解出 c1=6 c2

22、=-5 (0 )2zir1=c1+c2 2=-3c1-4c2信号与线性系统连续时间系统的时域分析35例例2.3-2 图图2-1(P24)所示所示RLC串联电路中，设串联电路中，设L=1H，C=1F，R=2。若激励电压源为。若激励电压源为0，且电路初始条件为：且电路初始条件为：(1) i(0-)=0，i(0-)=1A/s(2) i(0-)=0，uC(0-)=10V。这里电压降的方向。这里电压降的方向设与电流设与电流i的正方向一致。分别求上述两种的正方向一致。分别求上述两种初始条件下电路的零输入响应电流。初始条件下电路的零输入响应电流。解解：建模建模 求解求解 解释解释信号与线性系统连续时间系统的

23、时域分析36思考与练习：思考与练习：求下列系统的零输入响应求下列系统的零输入响应解：解：信号与线性系统连续时间系统的时域分析37作业一：作业一：求下列连续时间求下列连续时间LTI系统的零输入响系统的零输入响应。应。(1) (2)信号与线性系统连续时间系统的时域分析38作业2：1.P77, 2.12.p78, 2.4 2.5信号与线性系统连续时间系统的时域分析39奇异信号（函数）：函数本身有不连续点奇异信号（函数）：函数本身有不连续点( (跳跳变点变点) )或其导数与积分有不连续点的一类函或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。数统称为奇异信号或奇异函数。要求：掌握单位斜变信

24、号、单位阶跃信号、单要求：掌握单位斜变信号、单位阶跃信号、单位冲激信号、冲激偶信号等奇异信号。位冲激信号、冲激偶信号等奇异信号。信号与线性系统连续时间系统的时域分析40一、一、单位斜变信号（斜坡信号、斜升信号）单位斜变信号（斜坡信号、斜升信号）00( )0tR ttt1 1 单位斜变信号：单位斜变信号：2 2有延迟的单位斜变信号有延迟的单位斜变信号00000()ttR tttttt信号与线性系统连续时间系统的时域分析41二二单位阶跃信号单位阶跃信号001( ) 0102ttt点无定义或1. 定义定义2. 有延迟的单位阶跃信号有延迟的单位阶跃信号00000 (), 01 ttttttt00000

25、(), 01ttttttt信号与线性系统连续时间系统的时域分析4221) 0( tSVUs1PPVt)()(a)(b)(t3. 可代替电路中的开关，故又称为开关函数可代替电路中的开关，故又称为开关函数信号与线性系统连续时间系统的时域分析43 (a) (b) (c)tsin)(sin0ttt0000t0t0tttt起始任一函数)t (）图的不同（）与注意（cb)()(sin00tttt4.(t)给函数的表示带来方便给函数的表示带来方便信号与线性系统连续时间系统的时域分析445用单位阶跃信号描述其它信号用单位阶跃信号描述其它信号其它函数用门函数处理其它函数用门函数处理( (乘以门函数乘以门函数)

26、)，就只剩下门内的部分。就只剩下门内的部分。 符号函数符号函数：(Signum)门函数：也称窗函数门函数：也称窗函数10sgn( )10ttt1( )sgn( )12tt( )22G tttsgn( )()( )2 ( ) 1 tttt信号与线性系统连续时间系统的时域分析45三三单位冲激信号（难点、重点）单位冲激信号（难点、重点）1. 单位冲激信号的定义单位冲激信号的定义2. 单位冲激信号的性质单位冲激信号的性质信号与线性系统连续时间系统的时域分析46定义定义1 1 规则信号取极限规则信号取极限矩形脉冲信号矩形脉冲信号：1( )22f ttt面积面积1 1保持不变；保持不变；脉宽脉宽； 脉冲高

27、度脉冲高度； 窄脉冲集中于窄脉冲集中于 t=0 处。处。面积为面积为1 1宽度为宽度为0 0三个特点：三个特点：0000tt无无穷穷幅幅度度信号与线性系统连续时间系统的时域分析47001( )lim( )lim22tf ttt若面积为若面积为k，则强度为，则强度为k。信号与线性系统连续时间系统的时域分析48定义2：狄拉克(Dirac)函数 函数值只在函数值只在t = 0时不为零；时不为零； 积分面积为积分面积为1 1； ( )d1 ( )0 0tttt00( )d( )dtttt t =0 时，时， ，为无界函数。为无界函数。 ( ) t 信号与线性系统连续时间系统的时域分析49冲激函数的性质

28、1抽样性抽样性2奇偶性奇偶性3尺度变换尺度变换信号与线性系统连续时间系统的时域分析50抽样性(筛选性)对于移位情况：对于移位情况：如果如果f(t)在在t = 0处连续，且处处有界，则有处连续，且处处有界，则有 ( ) ( )d(0)t f ttf( ) ( )(0) ( )t f tft000() ( )( ) ()ttf tf ttt00() ( )d( )ttf ttf t信号与线性系统连续时间系统的时域分析512. 奇偶性( ) ( )(0)( ) ()() ( )()() ( )()(0)tf tt dtff tt dtfdfdf )()(tt信号与线性系统连续时间系统的时域分析523. 对(t)的尺度变换 1atta冲激偶的标度变换冲激偶的标度变换 ( )( )11kkkattaa 11attaa001tatttaa移位情况：移位情况：信号与线性系统连续时间系统的时域分析53例例2.4