北师大版高中数学必修2第二章《几何初步》圆的一般方程

1、1高中数学必修高中数学必修2第二第二章解析几何初步章解析几何初步法门高中姚连省制作法门高中姚连省制作2点到直线距离公式点到直线距离公式xyP0 (x0,y0)O:0lAxByCSR0022|AxByCdABQd 3圆的标准方程圆的标准方程xyOCM( (x, ,y) )222)()(rbyax圆心圆心C( (a, ,b),),半径半径r若圆心为若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为：222ryx标准方程标准方程4圆心圆心 (2, 4) ，半径，半径 求圆心和半径圆圆 (x1)2+ (y1)2=9圆圆 (x2)2+ (y+4)2=2.2 2圆圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2圆心

2、圆心 (1, 1) ，半径，半径3圆心圆心 (1, 2) ，半径，半径|m|5圆的一般方程圆的一般方程22(3)(4)6xy2268190 xyxy展开得展开得220 xyDxEyF任何一个圆的方程都是二元二次方程任何一个圆的方程都是二元二次方程反之是否成立？反之是否成立？6圆的一般方程圆的一般方程22(1)2410 xyxy 配方得配方得220 xyDxEyF不一定是圆不一定是圆22(1)(2)4xy以（以（1，-2）为圆心，以）为圆心，以2为半径的圆为半径的圆22(2)2460 xyxy22(1)(2)1xy 配方得配方得不是圆不是圆7练习练习v判断下列方程是不是表示圆判断下列方程是不是表

3、示圆22(1)4640 xyxy22(2)(3)9xy以（以（2，3）为圆心，以）为圆心，以3为半径的为半径的圆圆22(2)46130 xyxy22(2)(3)0 xy表示表示点点（2，3）2,3xy22(3)46150 xyxy22(2)(3)2xy 不不表示任何图形表示任何图形8展开圆的标准方程展开圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2得：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）可见任何圆的方程都可以写成（可见任何圆的方程都可以写成（1）式，）式，)2(44)2()212222FEDEyDx）配方得（将（不妨设：不妨设：D2a、E2b、

4、Fa2+b2-r29圆的一般方程圆的一般方程220 xyDxEyF22224224DEDEFxy（1）当）当 时，时，2240DEF表示表示圆圆，,2ED圆心 -22242DEFr（2）当）当 时，时，2240DEF表示表示点点,2ED-2（3）当）当 时，时，2240DEF不不表示任何图形表示任何图形10(x-a)2+(y-b)2=r222224)()224DEDEFxy（两种方程的字母间的关系：两种方程的字母间的关系：形式特点：形式特点：（1）x2和和y2的系数相同，不等于的系数相同，不等于0（2）没有）没有xy这样的项。这样的项。112222222(1)xy0 _(2)xy2x4y60_

5、(3)xy2axb0_(2)( 1, 2),11.圆 心 为半 径 为的 圆练习练习1:下列方程各表示什么图形下列方程各表示什么图形?原点(0,0)22),0(3.(,0),0a baaba b当不同时为 时，圆心为半径为的圆 当同时为 时，表示一个点。122222222(1)60,(2)20,(3)22 330 xyxxybyxyaxaya练习练习2 ：将下列各圆方程化为标准方程，将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径和圆心坐标并求圆的半径和圆心坐标.（1）圆心（-3，0），半径3.（2）圆心（0，b），半径|b|.(3)(,3),| .aaa圆 心半 径13 若已知条件涉及圆心和半径若已

6、知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单我们一般采用圆的标准方程较简单.(5, 1),(8, 3)A求过点圆心为的圆的方程，并化一般方程。22166600 xyxy故圆的一般方程为练习：练习：222)3()8(ryx设圆的方程为,13) 1, 5(2r代入得把点13)3()8(22yx14 若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的我们常采用圆的 一般方程用一般方程用待定系数法待定系数法求解求解. .)8 , 0(),0 , 6(),0 , 0(的圆的方程求过三点CBA08622yxyx练习：练习：022FEyDxyx设圆的方程为把点把点A，B，C的坐标代入得方程组

7、的坐标代入得方程组0F0662FD0882FE6,80 .DEF ，所求圆的方程为：所求圆的方程为：15小结小结220 xyDxEyF22224224DEDEFxy（1）当）当 时，时，2240DEF表示表示圆圆，,2ED圆心 -22242DEFr（2）当）当 时，时，2240DEF表示表示点点,2ED-2（3）当）当 时，时，2240DEF不不表示任何图形表示任何图形16例例2. 已知一曲线是与定点已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是距离的比是21求此曲线的轨迹方程，并画出曲线求此曲线的轨迹方程，并画出曲线 的点的轨迹，的点的轨迹， 解：在给定的坐标系里，设点解：在给定的坐

8、标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，也就是点也就是点M属于集合属于集合21| AMOMM由两点间的距离公式，得由两点间的距离公式，得21)3(2222 yxyx化简得化简得x2+y2+2x 30这就是所求的曲线方程这就是所求的曲线方程把方程把方程的左边配方，得的左边配方，得(x+1)2+y24所以方程所以方程的曲线是以的曲线是以C( 1，0)为圆心，为圆心，2为半径的圆为半径的圆xyMAOC17 .O.yx（-1，0）A(3,0)M例例2：已知一曲线是与两个定点：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为距离的比为 的点的轨迹，求此曲的点的轨迹，求此

9、曲线的方程，并画出曲线。线的方程，并画出曲线。1218简单的思考与应用简单的思考与应用(1)已知圆已知圆 的圆心坐标为的圆心坐标为(-2,3),半径为半径为4,则则D,E,F分别等于分别等于 是圆的方程的充要条件是是圆的方程的充要条件是(3)圆圆 与与 轴相切轴相切,则这个圆截则这个圆截轴所得的弦长是轴所得的弦长是022FEyDxyx3 , 6, 4)(A3 , 6 , 4)(B3, 6 , 4)(C3, 6, 4)(D)( D0222ayaxyx21)(aA21)(aB21)(aC21)(aD010822Fyxyxxy6)(A5)(B4)(C3)(D)( D)( A19(4)点点 是圆是圆

10、的一条弦的中点的一条弦的中点,则这条弦所在的直线方程是则这条弦所在的直线方程是)5 , 3(A0808422yxyx08 yx20例题例题. 自点自点A(-3，3)发射的光线发射的光线l 射到射到x轴上，被轴上，被x轴反射，轴反射， 其反射光线所在的直线与圆其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求光线求光线l 所在直线的方程所在直线的方程. B(-3，-3)A(-3，3) C(2, 2) 入射光线及反射光线与入射光线及反射光线与 x轴轴夹角夹角相等相等.(2)点点P关于关于x轴的轴的对称点对称点Q在在 反射光线所在的直线反射光线所在的直线l 上上.(3)圆心圆心C

11、到到l 的距离等于的距离等于 圆的半径圆的半径.答案：答案： l : 4x+3y+3=0或或3x+4y-3=021例：求过三点例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程的圆的方程圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOEA( (5, ,1) )B( (7,-,-3) )C( (2,-,-8) )几何方法几何方法方法一：22方法二：待定系数法方法二：待定系数法待定系数法待定系数法解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：222)()(rbyax因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上22

12、2222222(5)(1)(7)( 3)(2)( 8)abrabrabr 235abr 22(2)(3)25xy 所求圆的方程为所求圆的方程为23方法三：待定系数法方法三：待定系数法解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上22222251507( 1)7028280DEFDEFDEF 4612DEF 22(2)(3)25xy即所求圆的方程为所求圆的方程为220 xyDxEyF2246120 xyxy24小结：求圆的方程小结：求圆的方程几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交点）（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线