普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第六章-万有引力定律.doc

1、。第六章万有引力定律习题解答6.1.1 设某行星绕中心天体以公转周期T 沿圆轨道运行，试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为tT2证明：物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的向心加速度：av 2(2 R)2 14 2R/T 2RTRR12, t2R / aT由自由落体公式：2 at2（此题原来答案是：t4 T 2 ，这里的更正与解答仅供参考）6.2.1土星质量为5.7 1026 kg，太阳质量为2.0 1030kg，两者的平均距离是1.4 1012m.太阳对土星的引力有多大？设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度。解：据万有引力定律，太阳与土星之间

2、的引力f =GMm/r2=6.5110-11 2.0 10305.7 1026/(1.4 1012) 2 3.8 1022N选择日心恒星参考系，对土星应用牛顿第二定律：f=mv2/rvfr / m3.810221.4012 / 5.710269.7103 m/ s6.2.3一个球形物体以角速度转动，如果仅有引力阻碍球的离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转数为每秒30 转的脉冲星的最小密度。这脉冲星是我国在1054 年就观察到的超新星爆的结果。如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（305210 kg 或 310 M， M 为地球质量） ，此脉冲ee星的最大可能半径是多少？若脉冲星的密

3、度与核物质相当，它的半径是多少？核密度约为1.2 1017kg/m3.解：设此球体半径为R,质量为 m.考虑球体赤道上的质元m,它所受到的离心惯性力最大f * = m2R，若不被分解，它所受到的引力至少等于离心惯性力22233, 即 Gm m/R=m R m= R/G ，而m=4R/3 ，代如上式，可求得，324 G脉冲星的最小密度3(30 2) 21.3 1014kg / m346. 51 10 11据密度公式， m =V=4R3/3, R3=3m/(4 )R3 3 21030 /( 43.141.31014 )1.510 2 km R3 32 1030 /(43.14 1.2 1017 )

4、16km6.2.4距银河系中心约25000 光年的太阳约以170000000 年的周期在一圆周上运动。地球距太阳8 光分。设太阳受到的引力近似为银河系质量集中在其中心对太阳的引力。试求以太阳质量为单位银河系的质-可编辑修改 -。量。解：设银河系、太阳、地球的质量分别为M、m、m ；太阳距银河系中心的距离为r=2.5 104 光年 =2.5 104 36524 60 光分 =1.31 106 光分，绕银河系中心公转角速度为=10-8 2 /1.7 年；地球距太阳的距离为 r=8光分，绕太阳公转角速度为=2 / 年分别对地球和太阳应用万有引力定律和牛顿第二定律：Gmm/ r2 = m 2 r（ 1

5、） GMm / r2 = m 2 r (2)由（ 1）可得 G= 2 r3/m，代入（ 2）中，可求得M ()2 ( r) 3 m(1.71 8)2 (1.31 106) 3 m 1.53 1011 mr 1086.2.5某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s ，近日点的速度为80km/s 。若地球在半径为1.5 108km 圆周轨道上绕日运动，速度为30km/s 。求此彗星的远日点距离。解：角动量守恒 mv1a mv2b 212GM m2M m能量守恒mv1a21 mv2G bM m2牛二定律G R2m vR , , 联立，解得a = 3 108 km6.2.6一匀质细杆长L，质量为

6、 M.求距其一端为d 处单位质量质点受到的引力（亦称引力场强度）。解：选图示坐标 0-x,单位质量质点在坐标原点处，在杆上取质元dm=dxM/L,其坐标为 x, 它对原点处质点的引力为：dfGdm 1GMdx,由于各质元对质点的引力方向均沿x 轴正x2Lx2向，杆对质点的引力方向沿x 轴正向，大小为GMd L2GM 1dGM11GMfxdx|LdL xL( dd L )d ( d L )d L6.2.7半径为 R的细半圆环线密度为，求位于圆心处单位质量质点受到的引力（引力场强度）解：由对称性分析可知，引力场强度的x 分量等于零。质元 dm= Rd所受引力的y 分量为df yG 1dm sinG

7、sin dR2RGsinGcos|0f ydR 0R2G/ R6.3.1考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V，赤道上的加速度是极点上的一半，求此行星极点处的粒子的逃逸速度。解： 设行星半径为 R，质量为 M，粒子 m在极点处脱离行星所需的速度为 v，在无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律有21mv2GM m0 即 v22GM /R R-可编辑修改 -。以球形行星为参考系（匀速转动参考系），设粒子m在赤道上和极点上的加速度分别为a1 和 a2。粒 子m在 赤 道 上 除 受 引 力 作 用 外 还 受 离 心 惯 性 力 作 用 ， 由 牛 二 定 律 有MmV222G R 2m

8、 Rma1即GMRVa1 R粒子 m在极点上只受引力作用，由牛二定律有Mm2GR 2ma2 即 GMa2 R已知a22a1由、可求得GM / R2V 2 代入中，得v 24V 2v2V6.3.2已知地球表面的重力加速度为9.8ms-2 ，围绕地球的大圆周长为4107m，月球与地球的直径及质量之比分别是D m / D e 0.27和 M m / M e0.0123.试计算从月球表面逃离月球引力场所必需的最小速度。解： 设质点 m脱离月球的速度为v，在距月球无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律，有1mv 2G M m m0v22GM m / Rm 2Rm将 Mm=0.0123Me， Rm=0.27R e 代入中，有v 20.091GMe/ Re由牛二定律 GM em / Re2mg