信号与系统复习资料

1、第一章信号与系统分析导论1.信号分类：确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号和非周期信号、能量信号与功率信号。2.系统分类：连续时间系统与离散时间系统、线性系统和非线性系统、非时变系统与时变系统、因果系统与非因果系统3.掌握信号周期的判断、线性系统的判断、时不变系统的判断（1）判断周期性，N、m是不可约的整数，则信号的周期为N。例1) f1k = sin(kp/6)W0 /2p = 1/12, 由于1/12是不可约的有理数， 故离散序列的周期N=12。习题1-4（2）判断一个系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：1）、具有可分解性2）、零输入线性，系统的零输入响应必须对所有

2、的初始状态呈现线性特性。3）、零状态线性，系统的零状态响应必须对所有的输入信号呈现线性特性。例：，可分解但是是非线性的，故不是线性系统习题1-7（3）判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t) 变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为 y(t-t0)。注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。例y(t)=costf(t)而故不相等，是时变系统。习题1-7第二章信号的时域分析1.掌握普通信号的定义(1) 指数信号实指数信号(2) 虚指数信号Euler公式： (3) 指数信号复指数信号(4) 抽样函数抽样函数具有以下性质：2.

3、掌握奇异信号的定义(1) 单位阶跃信号(2) 冲激信号d(t)=0 , t0 冲激信号的性质a) 筛选特性b) 取样特性c) 展缩特性, 推论：冲激信号是偶函数。d) 冲激信号与阶跃信号的关系 (3) 斜坡信号 与阶跃信号之间的关系： (4) 冲激偶信号 性质： , , 例题习题2-3,2-43.连续时间信号的基本运算a) 尺度变换 f(t) f(at) a0b) 信号的翻转f (t) f (-t)c) 时移（平移） f(t) f(t-t0)例题已知f(t)的波形如图所示，试画出f(6-2t)的波形。习题2-6第三章系统的时域分析1.系统响应求解方法系统完全响应=零输入响应+零状态响应(1)系

4、统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型: 求解方法： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn (2) 特征根是相等实根s1=s2=sn (3) 特征根是成对共轭复根 再由初始条件确定待定系数。例：已知某线性时不变系统的动态方程式为: 系统的初始状态为y(0-)=1，y (0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。解 系统的特征方程为系统的特征根为y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =3解得 K1=6，K2=-5例：已知某线性时不变系统的动态

5、方程式为系统的初始状态为y(0-)=2，y(0-)= -1，求系统的零输入响应yzi(t)。（求解见课件）例：已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。（求解见课件）习题3-6（2）系统的零状态响应当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yzs (t)表示。 求解系统的零状态响应yf (t)方法： 1) 直接求解初始状态为零的微分方程。2) 卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。已知某LTI系统的动态方程式为y(t)+3y(t)=2f(t)，系统的冲激响应h(t)=2e-

6、3t u(t), f(t)=3u(t), 试求系统的零状态响应yzs(t)。=（3）连续时间系统的单位冲激响应在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的单位冲激响应，以符号h(t)表示冲激平衡法求系统的单位冲激响应比较m（激励）与n（响应）的大小1)由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式.2) 由动态方程右边d(t)的最高阶导数与方程 左边h(t)的最高阶导数确定项.例：已知某线性时不变系统的动态方程式为试求系统的单位冲激响应。解：当f (t)=d(t)时, y(t)=h(t), 即动态方程式的特征根s=-3, 且nm, 故h(t)的形式为，解得A=2例：

7、已知某线性时不变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应。解：当f (t)=时, y(t)=h(t), 即动态方程式的特征根s= -6, 且n=m, 故h(t)的形式为解得A= -16, B =3 ， 习题3-9(4)连续系统的阶跃响应习题3-10,3-11(5) 卷积积分 定义 卷积的图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元： t换为得 f1()， f2()（2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-)（3）乘积： f1() f2(t-) （4）积分： 从 到对乘积项积分。注意：t为参变量。例： 卷积积分的性质1）卷积代数交换、分配、结合2）卷积的微积分性质3) 卷积的时移特性若 f

8、(t) = f1(t)* f2(t)，则 4) 展缩特性5) 奇异函数的卷积特性 习题3-142.离散系统的时域分析系统完全响应=零输入响应+零状态响应系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。数学模型:求解方法： 根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式，再由初始条件确定待定系数。例已知某线性时不变系统的动态方程式为: 系统的初始状态为y-1=0， y-2= 1/2，求系统的零输入响应yzik。解 系统的特征方程为系统的特征根为注：(1) 特征根是不等实根 r1, r2, , rn，(2) 特征根是相等实根 r1=r2=rn，(3) 特征根是成对共轭复根，解

9、得 C1=1，C2= -2习题3-22系统的零状态响应当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f k产生的响应称为零状态响应，用yf k表示。 求解系统零状态响应yf k的方法： 1) 直接求解初始状态为零的差分方程。 2) 卷积法： 1）单位脉冲序列d k作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应, 用符号hk表示求解方法：等效初始条件法例若描述某离散时间LTI系统的差分方程为求系统的单位脉冲响应hk。解：hk满足方程求等效初始条件对于因果系统有h-1=h-2=0，代入上面方程可推出可以选择h0和h1 或h-1和h0作为初始条件注意：选择初始条件的基本原则是必须将dk的作用体

10、现在初始条件中求差分方程的齐次解特征方程为特征根为齐次解的表达式为代入初始条件，有解得 C1= -1，C2=2习题3-24第四章信号的频域分析1.周期信号的傅立叶级数展开 周期信号展开为傅立叶级数条件 周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即： (1) 绝对可积，即满足 (2) 在一个周期内只有有限个不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。（1）连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为其中物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。（2）三角形式傅立叶级数，例1周期矩形脉冲信号的频谱图（3）傅里叶级数的基本性质 1）. 线性特性2）. 时移特性

11、3）. 卷积性质4. 微分特性2.傅里叶变换傅立叶正变换：傅立叶反变换：物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为w， 复振幅为F(w)/2pdw 的复指数信号ejw t的线性组合。狄里赫莱条件（1）非周期信号在无限区间上绝对可积（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值。（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些点必须是有限值。例试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数由傅立叶正变换定义式，可得3.常见连续时间信号的频谱(1) 单边指数信号(2) 双边指数信号(3) 单位冲激信号(t) (4) 直流信号(5） 符号函数信号(6) 单位阶跃信号u(t)(7) 虚指数信号(8)

12、 余弦信号正弦信号（9）一般周期信号（10）单位冲激序列4.傅里叶变换的基本性质1. 线性特性2. 对称互易特性 3. 展缩特性 4. 时移特性5. 频移特性 6. 时域卷积特性7. 频域卷积特性 8. 时域微分特性 9. 积分特性10. 频域微分特性 习题4-9,4-10第五章系统的频域分析及其应用1.连续系统的频率响应（1）虚指数信号ejwt(-t)通过连续系统的零状态响应其中（2）.任意非周期信号通过连续系统的零状态响应（3）连续系统的频率响应H(jw)的定义与物理意义 或 H(jw)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性（4）H(jw)与h(t)的关系（5）计算H(jw) 的方法

13、由系统的动态方程式直接计算； 由系统的冲激响应的傅立叶变换计算； 由电路的零状态频域电路模型计算。例：已知某LTI系统的动态方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)，求系统的频率响应H(jw)。解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为由定义可求得例：已知某LTI系统的冲激响应为，求系统的频率响应H(jw)。解：利用H(jw)与h(t)的关系习题5-1例：图示RC电路系统，激励电压源为f(t)，输出电压y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。求系统的频率响应H(jw)和单位冲激响应h(t)。解：RC电路的频域(相量)模型如右图，由电路基本原理有由Fou

14、rier反变换，得系统的单位冲激响应h(t)为习题5-22.连续LTI系统响应的频域分析例：已知某LTI系统的动态方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=3f (t)+4f(t)，系统的输入激励f(t)=e-3tu(t)，求系统的零状态响应yf (t)。解 由于输入激励f(t)的频谱函数为系统的频率响应由微分方程可得故系统的零状态响应yf (t)的频谱函数Yf (jw)为（1）. 正弦信号通过系统的响应同理结论：正、余弦信号作用于线性时不变系统时，其输出的零状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。输出信号的幅度y(t)由系统的幅度函数|H(jw0)|确定，输出信号的相位相对于输入信号偏移了

15、3.无失真传输系统与理想滤波器 时域 频域无失真传输系统应满足两个条件：(1)系统的幅频响应|H(jw)|在整个频率范围内应为常数K，即系统的带宽为无穷大；(2)系统的相位响应f(jw)在整个频率范围内应与w成正比。例：已知一LTI系统的频率响应为 (1)求系统的幅度响应|H(jw)|和相位响应f(w)，并判断系统是否为无失真传输系统。 (2)当输入为f(t)=sint+sin3t (-twm各处为零；(2) 抽样间隔T需满足 或抽样频率fs需满足 fs 2fm （或s 2 m） 。fs = 2fm 为最小取样频率，称为Nyquist Rate.例：已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)

16、，试计算对各信号f(2t)， f(t)*f(2t)， f(t)f(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。解：根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为4fm(Hz)； 对f(t)*f(2t)抽样时，最小抽样频率为2fm(Hz)； 对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为6fm(Hz)。第六章连续时间信号与系统的S域分析1. 拉普拉斯变换拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换物理意义：信号f(t)可分解成复指数est的线性组合2.常用信号的拉普拉斯变换3.拉普拉斯变换的性质（1）线性（2）展缩特性（3）时移特性（4）卷积特性（5）乘积特性1）指数加权性质 2）线性加权性质

17、（6）微分特性（7）积分特性（8）初值定理和终值定理 4.拉普拉斯反变换部分分式展开法例采用部分分式展开法求下列的反变换 F(s)为有理真分式，极点为一阶极点。三重极点F(s)为有理假分式,将F(s)化为有理真分式习题6-95.微分方程描述系统的s域分析已知 f (t)，y(0-)，y (0-) ，求y(t)。求解步骤：(1) 经拉氏变换将域微分方程变换为s域代数方程(2) 求解s域代数方程，求出Yx(s), Yf (s)(3) 拉氏反变换，求出响应的时域表示式例：系统的微分方程为y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t)激励f(t)=e-tu(t)，初始状态y(0-)=3， y

18、(0-)=2，求响应y(t)。解 ：对微分方程取拉氏变换可得 习题6-256.电路的s域模型 例：图示电路初始状态为vc(0-)=-E, 求电容两端电压 vc(t).带解：建立电路的s域模型由s域模型写回路方程求出回路电流电容电压为习题6-15已知电路如图所示，电容和电感的初始储能都为0，激励信号，求电容两端电压。解：把时域上的电路模型变换到S域，根据回路列KVL方程得：，代入已知条件整理得；，进行拉氏反变换得：7. 系统函数H(s)与系统特性(1)定义：系统在零状态条件下，输出的拉氏变换式 与输入的拉式变换式之比，记为H(s)。(2) H(s)与h(t)的关系： (3)求H(s)的方法： 由系统的冲激响应求解：H(s)=Lh(t)由定义式由系统的微分方程写出H(s)8. H(s)与系统的稳定性因果系统在s域有界输入有界输出(BIBO