根与系数的关系韦达定理练习题

1、一元二次方程根与系数的关系练习题.选择题（共14小题）1 .下列一兀二次方程中，两根之和为 2的是（）A x2- x+2=0B x2- 2x+2=0C x2- x- 2=022x2 - 4x+1=02,-3,而小华看错2.小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为 常数项，解错两根为-2, 5,那么原方程为（）A x2- 3x+6=0B x2- 3x- 6=0x2+3x - 6=02x2+3x+6=0（X2+2）的值为（）1 1A-4B 16C ；8Du124.（2007?泰安）若X1, X2是方程x2- 2x - 4=0的两个不相等的实数根，则（ ）3. （2011?锦

2、江区模拟）若方程x2- 3x- 2=0的两实根为X1、X2，贝U仪+2）2x/ - 2xi+x+3 的值是1915115. （2006?贺州）已知a, b是一元二次方程x2+4x- 3=0的两个实数根，则a2 - ab+4a的值是（1 J I I6.（ 1997?天津）若一元二次方程x2- ax - 2a=0的两根之和为4a-3,则两根之积为（）A2B - 21 1 C-6或2D6或-2. j7.已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍.贝9（）2 2A 3n =16mB3m2=16nCm=3nDn=3m2J, 2 2 28. a、b 是方程 x + (m 5) x+7=0 的两

3、个根，贝U( a +ma+7 ( b +mb+7 =()A 365B245C210D1759.在斜边AB为5的Rt ABC中，/ C=90 ,两条直角边a、b是关于x的方程x2- （m- 1） x+m+4=0 的两个实数根，则m的值为（）A4 B4 C广TD810.设m n是方程x+x-2012=0的两个实数根，则 m+2m+n的值为（）A 2008B2009C2010D201111. 设Xi、X2是二次方程x2+x- 3=0的两个根，那么Xi3- 4x22+19的值等于（ ）A - 4B 8C 6D 0I II II I. I12. m n 是方程 x2- 2008x+2009=0的两根，则

4、（吊-2007m+2009 （ n2 - 2007n+2009）的值是（）A 2007B 2008C 2009D 2010 7/吵/ / A 1006B2011C2012D2013二. 填空题（共5小题）13. 已知X1、X2是一元二次方程x2+x- 1=0两个实数根，则（X12-X1- 1） （X22-X2- 1）的值为（）A 0B4C-1D-414.设m n是方程x2- x - 2012=0的两个实数根，则ni+n的值为（）I I 7、丄15.若关于x的方程x2+2mx+iT+3m- 2=0有两个实数根X1、X2，则X1 （X2+X1） +X22的最小值为_16若关于x的一元二次方程x2+

5、x - 3=0的两根为X1，X2，则2X1+2X2+X1X2 .17. 已知关于x的方程x2- 2ax+a2 - 2a+2=0的两个实数根X1，X2，满足x12+X22=2，贝U a的值是_.18. 一元二次方程2x2+3x - 1=0和x2 - 5x+7=0所有实数根的和为 .19. 已知m n是关于x的一元二次方程x2- 3x+a=0的两个解，若（m- 1）（n- 1） =-6，则a的值为.三. 解答题（共11小题）20. 已知关于x的一元二次方程x2+ （2m- 3） x+m=0的两个不相等的实数根a、B满足-1a P求m的值.21. 是否存在实数 m使关于x的方程2x2+mx+5=0的

6、两实根的平方的倒数和等于二？若存在，求25出m若不存在，说明理由.22. 已知关于x的方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根xi、X2,则当k为何值时，方程两根之 比为1: 3?23. 已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2-( 2m- 1) x+4 (m- 1) =0的两 个根，求m的值.24. 实数k为何值时，方程x2+ (2k - 1) x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根.25. 已知关于x的方程x2+ (2k - 1) x - 2k=0的两个实数根X1、X2满足X1 - X2=2，试求k的值.J、I 八、26. 已知X1、X2是方程x2-

7、 kx+k (k+4) =0的两个根，且满足(X1 - 1)( X2 - 1)=二，求k的值.4427. 关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是X1和X2.J . I . 11 I:厂(1) 求k的取值范围；(2) 如果x计X2 - X1X2X12+X22，且m为整数.求m的值.一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1 .下列一元二次方程中，两根之和为 2的是()A x2- x+2=0B x2- 2x+2=0 C x2- x 2=0 D 2x2 - 4x+1=0考点:专题:分析:解答:根与系数的关系.方程思想.利用一元二次 方程的根与系 数的关

8、系xi+x2= 对3以下选项进行 验证并作 出正确的选择.解：A、T xi+x2=1 ；故本选项错误；B、.2 =48= 4V 0,所以本方程无 根；故本选项 错误；C、T X什X2=1；故本选项错4 口-ID、 X什 X2=2;故本选项正 确；故选D.点评：本题考查了一元二次方程根 与系数的关 系.解答该题时，需注意， 一元二次方程 的根与系数的关系是在原方程有实数解的 情况下成立-3，而小华看错的.2小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2常数项，解错两根为-2, 5,那么原方程为（）A x2- 3x+6=0Bx2 - 3x- 6=0Cx2+3x - 6=0Dx2

9、+3x+6=0-考点：根与系数的关 系.17.分析：利用根与系数 的关系求解即 可.J 1解答：解：小明看错 一次项系数， 解得两根为2，- 3，两 根之积止确；.j1小华看错常数 项，解错两根 为-2, 5， 两根之和正 确，故设这个一元 二次方程的两 根是a、B, 可得：a ? B = -6， a + B =3，那么以a B 为两根的一元 二次方程就是 x2 - 3x-6=0，故选：B.点评：此题主要考查了根与系数的关系，若Xi、X2是方程ax2+bx+c=O 的两根，则有X什 X2= aX1X2仝.a I3. (2011?锦江区模拟)若方程X2 3X 2=0的两实根为Xi、X2,则(Xi

10、+2) (X2+2)的值为()A 4B 16C 8DI2./八 -C z.i考点：根与系数的关系.分析：根据(Xi+2)(X2+2)=XiX2+2Xi+2X2 +4=XiX2+2(X1+X2) +4,根据一元二次 方程根与系数 的关系，即两 根的和与积， 代入数值计算 即可.I I解答：解：xi、X2是方程X 3x 2=0的两个 实数根.二 x 什 X2=3, xi?X2= 2.又 T( Xi +2)(X2+2)=XiX2+2xi+2X2+4=xiX2+2(X1+X2)+4.将 xi +X2=3、 xi?X2=- 2 代入，得(xi+2)(X2+2)=XiX2+2Xi+2X2+4=xiX2+2

11、(X1+X2) +4=(-2)+2X 3+4=8故选Ci I 7/尹, 点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解_一题是一种经常使用的解题方 法.2 22xi 2xi+X2 +34.(2007?泰安)若xi, X2是方程x2- 2x - 4=0的两个不相等的实数根，则代数式 的值是()A 19B 151C 11D3.考点：根与系数的关 系；一元二次 方程的解.I 1 专题：压轴题.分析：欲求2X12 2x1+X22+3 的 值，先把此代 数式变形为两 根之积或两根 之和的形式， 代入数值计算 即可.解答：解: v X1，X2 是方程X2 2x-4=0的两个 不相等的实数 根.二 xi2 -2

12、xi=4, xiX2=-4,Xi+X2=2. 2xi2 22xi +x2 +3点评:2 22xi+xi +x2 +32=xi 2xi+（x什 X2）2xiX2+3=4+4+8+3=19故选A.将根与系数的 关系与代数式 变形相结合解 题是一种经常 使用的解题方 法.a2 ab+4a 的值是（）A6B 0C7D1.I5. （2006?贺州）已知a, b是一元二次方程x2+4x 3=0的两个实数根，则考点：；根与系数的关 系；一元二次 方程的解.专题：，压轴题.分析：由a, b是一 兀二次方程 x2+4x 3=0 的两个实数根， 可以得到如下解答:四个等式：2a +4a - 3=0,b2+4b-

13、3=0,a+b=- 4,ab=- 3 ;再根据问题的需要，灵活变形.解：把a代入方程可得 a2+4a=3,根 据根与系数的关系可得ab=2ab+4a=a +4aab=3( 3) =6.故选A点评:本题考查了一 元二次方程根 与系数的关 系.解此类题 目要利用解的 定义找一个关 于a、b的相 等关系，再根 据根与系数的 关系求出ab 的值，把所求 的代数式化成 已知条件的形 式，代入数值 计算即可.一 元二次方程2ax +bx+c=0(a0的根与 系数的关系 为：Xi +X2=一,X1?X2 二三.L r d6.（ 1997?天津）若一元二次方程x2- ax - 2a=0的两根之和为4a-3,则

14、两根之积为（）A 2B - 2C - 6 或 2 D 6 或-2考点：根与系数的关系.专题：方程思想.分析：由两根之和的 值建立关于a 的方程，求出 a的值后，再 根据一元二次 方程根与系数 的关系求两根 之积.解答：解；由题意知xi+x2=a=4a-3,二 a=1,8 %hill*xiX2= 2a=-2.故选B.点评：本题考查了一 元二次方程根 与系数的关 系，在列方程 时要注意各系 数的数值与正 负，避免出现 错误.7.已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍.贝9()A 3n2=16m2B 3m2=16nC m=3nD n=3m2考点:分析:解答:点评:8. a、根与系数的

15、关系.设方程的一个 根为a,则另 一个根为3a，然后利用 根与系数的关 系得到两根与m、n之间的关系，整理即 可得到正确的答案；解：方程x +mx+n=0 的一个根是另一 个根的3倍，设一根为a,则另一根为3a,由根与系数的关系，I 得：a?3a=n,a+3a= m，整理得：93m2=16 n，故选B.本题考查了根 与系数的关 系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关 系，难度不 大.b是方程x2+ (m- 5) x+7=0的两个根，贝U( a2+ma+7(b2+mb+7 =()A 365B 245C 210175考点:专题:分析:解答:根与系数的关 系；一元二次 方程的解.计算题.根据一元二次

16、方程的解的意 义，知a b 满足方程X2+(m - 5)x+7=0，又由韦达定理知a?b=7；所以，根据来求代 数式(a2+ma+7) (b2+mb+7)的值，并作出 选择即可.解： a、b是方程x2+( m-5)x+7=0 的两个根，J i.a、b满足方程X2+(m -5) x+7=0,. 2-a +ma+7-5a=0，即 a2+ma+7=5apb2+mb+7-5b=0，即2b +mb+7=5bp又由韦达定理，知a?b=7；(a2+ma+7)(b2+mb+7)=25a?b=25X 7=175.故选D.点评：本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关I- 1 一1 . X .系.求代数式匚二

17、：(a2+ma+7)(b2+mb+7)的值时，采用_了根与系数的关系与代数式变形相结合的 解题方法.9.在斜边AB为5的Rt ABC中，/ C=90 ,两条直角边a、b是关于x的方程x2- (m- 1) x+m+4=0 的两个实数根，则m的值为()I I -I IA - 4B 4C 8 或-4D8.考点：根与系数的关系；勾股定理.分析：根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2= (a+b)2 - 2ab，然后根据根与 系数的关系求的 a+b=m-1 ab=m+4；最后由联立 方程组，即可 求得m的 值.解答：解：斜边AB为5的RtA ABC 中， / C=90,两 条直角边a、b, a2

18、+b2=25,又a2+b2=(a+b) 2 -2ab,( a+b) 2 -2ab=25, a、b是关 于x的方程x2-(m - 1)x+m+4=0 的两 个实数根，a+b=m-1,ab=m+4,由， 解得 二m= - 4,或 m=8;当 m=- 4 时，ab=0,.a=0 或 b=0,(不合 题意).m=8;点评:10.设 mA 2008考点：专题：分析：故选D.本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用.解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这 一条件.n是方程x2+x- 2012=0的两个实数根，则 m+2m+n的值为（）B :2009C :2010D20111.解答:根与系数

19、的关 系；一元二次 方程的解.计算题.由于m、n是 方程+x- 2012=0的两 个实数根，根 据根与系数的 关系可以得到 m+n二-1，并 且 m2+m - 2012=0，然 后把2m +2m+n 可 以变为 m2+m+m+n, 把前面的值代 入即可求出结 果解： m、n 是方程x2+x- 2012=0的两 个实数根， m+n= 1,并且m2+m 2012=0,2- m +m=2011 m2+2m+n= m +m+m+n=2 012 1=2011.故选D.点评：此题主要考查 了根与系数的 关系，将根与 系数的关系与 代数式变形相 结合解题是一 种经常使用的 解题方法./；八買Ji1 / /1

20、11.设Xi、X2是一次方程x +x 3=0的两个根，那么Xi 4x2 +19的值等于（A 4B 8? C6 D0考点：根与系数的关 系.专题：计算题.1 I-分析：首先利用根的定义使多项式 降次，对代数 式进行化简， 然后根据根与 系数的关系代 入计算.解答：解：由题意有xi2+xi 3=0,X22+X2 - 3=0,即 x12=3 2X1, X2 =3-X2,所以X13-4X22+19=X1 (3- X1)-4 (3 - X2)+19=3xi - xi2+4x2+7II=3xi -(3 -Xi) +4x2+7甘 /乂、/ /=4 (Xi+X2)+4,i”、j (x / i r i i.：

21、/ / - y 又根据根与系一- 数的关系知道X什 X2=- 1 ,所以原式=4X(-1)+4=0.故选 D.J点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简.求出X1、X2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如2 ,X1 =3 - X1， X22=3 - X2.12. m n是方程 X2- 2008x+2009=0的两根，则代数式(吊-2007m+2009 (n2-2007n+2009)的值 是(A考点分析解答2007 B 2008C 2009:根与系数的关系；一元二次 方程的解.首先根据方程 的解的定义， 得m2-2008m+2009=0, n2-2008

22、n+2009=0,则有m2-2007m=m-2009, n2- 2007n=n- 2009，再根据根与系数的 关系，得mn=2009,进 行求解.解： m, n是方程x2 -2008x+2009=0的两根，D 20102008m+2009=0, n2-2008n+2009=I0,mn=2009./( m2-2007m+2009)(n2-2007n+2009) =(m - 2009+2009)(n -2009+2009)二mn=2009.故选C.点评：.此题综合运用 了方程的解的 定义和根与系 数的关系.13.已知Xi、X2是一元二次方程x2+x- 1=0两个实数根，则(Xi2-Xi- 1) (

23、X22- X2- 1)的值为()AOB 4C - 1D - 4考点：根与系数的关系.专题：计算题. 、.1分析：根据一兀二次方程的解的定义，将X1、X2分别代入原方程，求得X12=2-X 计1、X2 =-X2+1 ；然后根据根与系数 的关系求得X1X2= - 1 ；最后将其代入所 I 求的代数式求 值即可.解答：解：X1、X2是一元二次方程 x +x- 1=0两个实数根，x12+x1 -仁0,即X12=-X1 + 1；X2 +X2 1=0,即 X22=-X2+1；又根据韦达定 理知 Xi?X2=_ 1.( X12- X1 - 1)( X22 - X2 -1) =-2xi?(-2X2)=4x1?

24、x2=-4；故选D.点评：此题主要考查了根与系数的 关系，将根与 系数的关系与 代数式变形相 结合解题是一 种经常使用的 解题方法.14.设m n是方程x2- X - 2012=0的两个实数根，则 m+n的值为()A 1006B :2011C :2012D2013.1 11 1 1考点：根与系数的关系；一元二次 方程的解.分析：利用一元二次方程解的定 义，将x=m代 入已知方程求 得2m =m+2012; 然后根据根与 系数的关系知m+n=1；最后 将 m2、m+n的值代入所求 的代数式求值 即可.解答:是方程X - x-2012=0的 两个实数根，. 2 m - m -2012=0，即2m

25、=m+2012;又由韦达定理知, m+n=1，. 2m +n=m+n+ 2012=1+2012 =2013;故选D.点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键.| J 丨 |I |二填空题（共5小题）15.（ 2014?广州）若关于x的方程x2+2mx+iT+3m- 2=0有两个实数根X1、X2，则X1 （X2+X1） +X22的 最小值为.考点：根与系数的关系；二次函数 的最值.专题:判别式法.分析:由题意可得 =b2-4acQ然后 根据不等式的 最小值计算即 可得到结论.解答：解：由题意知，方程2 2x +2mx+m +3 m - 2=0有两

26、个实数根，则 =b2 -24ac=4m - 4(m2+3m- 2)=8 - 12m0,二 m-,3T X1 ( X2+X1)2+X22=(X2+X1)-X1X2=(-2m)2-(m2+3m- 2)2=3m - 3m+22=3(m-m+:=3 (m -,)时，有最小值5m=成立;最小值为_;4；故答案为：54点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题.总结一元二次方程根的情况厂 与判别式的关系：(1) 0?方程有两个不相等的实数根；(2) =0?方程有两个相等的实数根；i -: i(3) 0解得a1a= 3 舍去.-a=1.1 I点评：应用了根与系数的关系得到 方程

27、两根的和 与两根的积， 根据两根的平 方和可以用两 根的和与两根 的积表示，即 可把求a的值 的问题转化为 方程求解的问题.18. 元二次方程2x2+3x- 1=0和x2 - 5x+7=0所有实数根的和为-；2_考点：根与系数的关系.专题：计算题.分析：根据根与系数的关系可知， 两根之和等于-,两根之积等于卫，由a两个一元二次方程分别找出a, b 和 c的值，计算出两 根之和，然后 再把所有的根 相加即可求出 所求的值.解答：解：由2x2+3x-仁0,得到：a=2，b=3，c= - 1， b2-4ac=9+8=170,即方程有 两个不等的实 数根，设两根分别为Xi 和 X，则 Xi +X?=3

28、.-：；由X2 -点评:19.已知m值为 -4考点：分析：5x+7=0,找出a=1, b=-5, c=7,1 b2- 4ac=25-28= - 3v0,此方程没有实数根.综上，两方程所有的实数根的和为-.2I -.故答案为：-3. 2 -此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题.学生必须掌握利用根与系数关系的J前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根.汇、厂_、n是关于x的一元二次方程x2- 3x+a=0的两个解，若(m- 1)(n- 1) =-6,则a的I根与系数的关 系.由m、n是关 于x的一元二 次方程x2-3x+a=0的两 个解，得出m+n=3, mn=a，整理(m - 1

29、)( n-1) =-6,整体代入求得a的数值即可.解答：解： m、n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0 的两个解，5 II二 m+n=3,mn=a, (m - 1) (n-1) =-6,id二|JFV a . f I .Ijr、 y , i / i imn (m+n) +1 =-6即 a- 3+1 = -6解得a=- 4.1 &故答案为：-I . 4.点评：此题考查了一元二次方程ax+bx+c=0】(a0的根与系数的关系：若方程的两根为为,x2 ,贝U丄bX什 x2=- ，3X1?x2.三.解答题(共11小题)20.( 2004?重庆)已知关于x的一元二次方程x2+ (2m- 3) x+

30、m=0的两个不相等的实数根 a、B 满足-，求m的值.a P考点：根与系数的关系；解一元二 次方程-因式 分解法；根的 判别式.分析：首先根据根的判别式求出m 的取值范围， 利用根与系数 的关系可以求 得方程的根的 和与积，将 寺+討转化 为关于m的 方程，求出m 的值并检验.解答：解：由判别式大于零，得(2m- 3) -4m2 0，解得m _，故舍去.二 m= - 3.点评：本题主要考查 一兀一次方程 根的判别式， 根与系数的关 系的综合运 用.21. （1998?内江）是否存在实数m使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于 二?.,25若存在，求出m若不存在，说明理由.

31、考点：根与系数的关 系；根的判别 式.分析：根据根与系数 的关系，两实 根的平方的倒 数和1 . 1（:b + 勺） -2x22021 2 / 耳 IX 2I.225f 即可确定m 的取值情况.,L解答：解：设原方程的两根为Xi、7 2、 I I _ X2,则有：巧+工广2521 -（ r +勺）_ 2垃勺_詰-20二 r二 25J12920=29,解得 m=7, =m2 -24X 2X 5=m40= ( 7 2-40=9 0点评:22 已知关于比为1: 3?考点：分析：存在实数7使关于 原方程的两实 根的平方的倒 数和等于利用根与系数 的关系和根的 判别式来解 决.容易出现 的错误是忽视 所

32、求的m的 值是否满足判 别式.x的方程kx2- 2x+3=0有两个不相等的实数根xi、X2,则当k为何值时，方程两根之根与系数的关系.利用一元二次方程根与系数 的关系可得：丄-23，不妨设XI： X2=1： 3,贝U 可得 X2=3xi , 分别代入两个 式子，即可求 出k的值，再 利用一元二次 方程根的判别 式进行取舍即 可.解答：解：由根与系数的关系可 得：丄2屮巾二匸，K不妨设Xi：X2=1： 3,贝 U 可得 x2=3x1，分别代入上面 两个式子，消 去X1和x2，整 理得：4k2- k=0，解得当k=0时，显然不合题意，其时-kX,、所以当k=i时，方程两根之比为1:3.点评：本题主

33、要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关 键是利用一元 二次方程根与 系数的关系得到关于k的方 程，注意检验 是否满足判别式大于0.23.已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2-(2m- 1) x+4 (m- 1) =0的两 个根，求m的值.考点：根与系数的关系；勾股定L. - - . 11： ，-分析：先利用一元二次方程根与系 数的关系得：a+b=2m- 1,ab=4 (m -1),再由勾 股定理可得 a2+b2=52,即| (a+b) 2 -2ab=25,把上面两个式子代入可得关于 m的方程，解 出m的值， 再利用一元二 次方程根的判 别式满足大于或等于0及实际问题对所

34、求 m的值进行取 舍即可.解答：解：由一元二次方程根与系数的 关系得： a+b=2m- 1, ab=4 (m -1),再由勾股定理 可得 a2+b2=52,即(a+b) 2 -2ab=25,把上面两个式 子代入可得关 于m的方 程：(2m - 1) 2- 8 ( m- 1)=25,整理可得：2m - 3m-4=0,解得 m=4 或 m=-1,当m=4或m=-1一元二次 方程的判别式 都大于0,但当 m=- 1 时，ab=-8,不合题意 (a, b为三 角形的边长， 所以不能为负 数),所以m=4.点评:本题主要考查 一元二次方程 根与系数的关 系及勾股定理 的应用，解题的关键是得出 关于m的方

35、 程进行求解， 容易忽略实际 问题所满足的 条件而导致错误.并求出这两个实数根.24.实数k为何值时，方程x2+ (2k - 1) x+1+k2=0的两实数根的平方和最小,考点：根与系数的关系；根的判别 式.分析：利用一元二次方程根与系数 的关系表示出 两实根的平方 和，得到一个 关于k的二次 函数，求出取 得最小值时k 的值，再利用 根的判别式进 行验证. I 解答：解：设方程的两根分别为X1和X2，由一元 二次方程根与 系数的关系可 得：I+ x亍-(2i 1) f k ! X2=l+k 2令 y= ，：,，y=(2k- 1) 2-2 (1+k2)=2k2- 4k-1=2 (k- 1) 2

36、-3,其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，但当k=1时，一元二次方程的判别式为 = -7V0，所以没有满足；I 乙/ / :. Z i0勺k的值，Iy; I 1/ I. f I IIJ”r / j 所以该题目无解.点评:本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二-1次方程有实数根.f -、-沢厂25 已知关于考点：x的方程x2+ (2k - 1) x - 2k=0的两个实数根Xi、X2满足xi - X2=2，试求k的值.根与系数的关系；解一元二次方程-配方 法；根的判别 式.分析:先根据根与系数的关系，可求出Xi+2，xi?x2的值，再结合xi -X2=

37、2，可求出k的值，再利用根的判别 式，可求出k 的取值范围， 从而确定k的 值.解答：解：根据题意得 X1 +X2=-=a-(2k- 1),X1?X2=-2k,又 T Xi -X2=2,( Xi - X2)2 22=22,( Xi+X2)2-4x1x2=4, ( 2k- 1) 2-4 (- 2k)=4,(2k+1)=4,又 = (2k -1) 2 - 4X 1X(-2k)=(2k+1) 2,方程有两个不 等的实数根， ( 2k+1) 2 0,二k斗丄，2k1=L， k2=232点评：一兀二次方程 的两个根X1、X2具有这样的 关系：X1 +X2= -b?aX1?X?.a26. 已知xi、X2是

38、方程x2-kx+丄k (k+4) =0的两个根，且满足(Xi - 1)( X2 - 1)=，求k的值.4 z 4考点:分析:根与系数的关 系；根的判别 式.(Xi - 1)( X2-1)，即4，X1X2 -( X1+X2)+ 1呼，根据一元二次方程 中根与系数的 关系可以表示出两个根的和 与积，代入X1X2-( X1+X2)+ 1斗，即可得到一个关于 k的方程，从而求得k的值.解答：解：T x什 X2=k，X1X2=Zk4(k+4),(Xi - 1) ( X2-1)=,4X1X2-(X1+X2)+ 1=,4 k (k+4)4-k+仁些,4解得k=3当k=3时，方程为X2 -3x+=0,4 =9

39、 - 21v0,不合题意当k=- 3时，方程为x2+3x3-01=0 =9+3 0,符合题意.J故所求k的值为-3.- -.1点评：本题考查了根与系数的关系：X1 , X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0的两根时，丄bX计X2= 一 一， aX1X2=-.汪意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=O 的根的判别式 027. ( 2011?南充)关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是xi和X2.(1)求k的取值范围；(2)如果X1+X2 - X1X2V- 1且k为整数，求k的值.考点：；根与系数的关 系；根的判别 式；解一元一 次不等式组.1 Z7

40、/ |1专题：代数综合题； 压轴题.分析：(1)方程有两个实数根， 必须满足 =b2_4ac 从而 求出实数k的 取值范围；(2)先由一 元二次方程根 与系数的关 系，得 X1 +X2= -2,X1X2=k+1.再 代入不等式X1+X2 - X1X20 （2 分）解得k-2.（ 6 分） 又由（1）k0I- 2V-. Jk028. ( 2012?怀化)已知xi, X2是一元二次方程(a-6) x 将已知广-、等式变形为X1X2=4+(X2+X1),即卩=4+丄a_ 6 a-6，通过解该关于a的方程即可求得a的值； 根据限制性条件“X1 + 1)( X2+1)为负整数”求得a的取值范+2ax+a=0的两个实数根.(1) 是否存在实数a,使-x汁XiX2=4+X2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由;(2) 求使(xi+1)( X2+I )为负整数的实数a的整数值.I考点：根与系数的关系；根的判别 式.*| y _I分析：根据根与系数的关系求得%仅