中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案

1、初中数学中考特殊四边形证明及计算一解答题1 (1)如图，=ABCD的对角线AC, BD交于点0,直线EF过点0,分别交AD, BC于点E, F .求证:AE二CF(2)如图，将=ABCD (纸片)沿过对角线交点0的直线EF折叠，点A落在点A】处，点B落在点B】处，设FB】交CD于点G, AiB】分别交CD, DE于点H, I.求证:日二FG考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换(折叠问题)分析：一_(1)由四边形ABCD是平行四边形，可得ADIIBC, 0A=0C,又由平行线的性质，可得Z1二Z2,继而 利用ASA,即可证得80自厶C0F,则可证得AE二CF.(2)根据平行四

2、边形的性质与折叠性质，易得A】E二CF, ZA1=ZA=ZC, ZB】二ZB二zD,继而可证得 AdECGF,即可证得El二FG解答证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ADIIBC, 0A=0C,Z1=Z2,在AOE和匕COF中，rZl=Z20A二 OC , /.AOCOF (ASA), /.AE=CF ；Z3=Z4(2) 四边形ABCD是平行四边形，ZA二ZC, ZB二ZD,由(1)得AE二CF,由折叠的性质可得：AE二AiE, ZA1=ZA, ZBi二ZB,DSE金牌数学专题系列经典专题系列图图AiE二CF, ZAi二ZA二ZC, ZB】二ZB二ZD,Z3二Z4,.N5二Z3, Z4二

3、Z6, /.Z5=Z6,在洛IEword.与心CGF中,VA1 =ZC2 在“ABC中，AB二AC,点P为込ABC所在平面一点，过点P分别作PEHAC交AB于点E, PFIIAB交BC于点D, 交AC于点F 若点P在BC边上（如图1）,此时PD二0,可得结论：PD + PE+PF二AB请直接应用上述信息解决下列问题： 当点P分别在-ABC （如图2）, SBC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD,PE, PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证考点：平行四边形的性质专题：探究型分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE二AF,又三

4、角形FDC为等腰三角形，所以 FD二PF+PD二FC,即 PE+PD + PF二AC二AB,在图 3 中，PE二AF 可证，FD二PF-PD二CF,即 PF- PD + PE二AC二AB 解答：解：图2结论：PD + PE+PF二AB证明：过点P作MNIIBC分别交AB, AC于M, N两点, Z5二Z6 ,心Ad曳“CGF (AAS), /.0=FG .AE 二 CF点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握 折叠前后图形的对应关系，注育数形结合思想的应用VPEIIAC. PF IIAB,四边形AEPF是平行四边形，VMNIIBC, PFII

5、AB四边形BDPM是平行四边形，AE二PF, ZEPM=ZANM=ZC,TAB 二 AC,ZEMP二ZB.ZEMP 二 ZEPM,PE二EM.PE+PF=AE+EM=AM T四边形BDPM是平行四边形，MB二PDPD + PE+PF 二 MB+AM 二 AB,即 PD + PE+PF二AB 图 3 结论：PE+PF-PD二AB 点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键.3 如图，“ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边乙ADE,过点C作CFIIDE交AB于点F(1)若点D是BC边的中点(如图)，求证：EF二CD；(2)在(1)的条件

6、下直接写岀匕AEF和匕ABC的面积比；(3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图)，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明； 若不成立，请说明理由考点 专题 分析:平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质:证明题 (1)根据心ABC和ED是等边三角形，D是BC的中点，EDIICF.求证ABDCAF.进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；(2)在(2)的条件下可直接写出&AEF和-ABC的面积比；(3)根据EDIIFC,结合ZACB二60,得出ZACF二ZBAD,求证心ABD孕CAF,得出ED二CF,进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF二D

7、C(1)证明：VMBC是等边三角形，D是BC的中点,AD 丄 BC,且ZBAD二IzBAC二30,AED是等边三角形，.AD二AE, ZADE二60,ZEDB二90 - ZADE=90 - 60二30,TEDIICF,ZFCB二ZEDB二30, NACB二60, .ZACF=ZACB - zFCB=30,ZACF二ZBAD二30,在乙ABD和乙CAF中，ZBxWZACF AB 二 CA,ZFAC 二 ZBABD昏CAF (ASA), /.AD=CF, TAD二ED,ED二CF,又VEDIICF,二四边形EDCF是平行四边形，.EF二CD解：-AEF和UBC的面积比为：1 ： 4 ；解答理由如下

8、：TED IIFC,ZEDB 二 ZFCB,NAFC二ZB+ZBCF二60+ZBCF, ZBDA二ZADE+ZEDB二60+ZEDBZAFC 二 ZBDA,2BDA二 ZAFC在乙ABD和厶CAF中， ZB=ZFACAB=CAUABD半CAF (AAS),AD二FC,TAD 二 ED,ED二CF,又 TED IICF,四边形EDCF是平行四边形，EF二DC点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理 解和掌握此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大4 如图，在菱形ABCD中，AB二20, ZBAD二60度点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着A

9、D边向点D移动； 设点M移动的时间为t秒(0t2)个单位长的速度沿着射线BC方向(可以超越C点) 移动，过点M作MPIIAB,交BC于点P.当讪PN沪ABC时，设讪PN与菱形ABCD重叠部分的面积为S,求出用 t表示S的关系式，井求当S二0时的值.考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质专题:压轴题分析：(1)菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等， 只需上下底的和相等即可(2)易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积.(3)易得MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可.解答解

10、：(1)设：BN二a, CN=10-a (0a10)因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动，点M移动的时间为t秒(0t10)所以，AM=lxt=t (0t10), MD=10-t (0t10).所以，梯形AMNB的面积二(AM+BN) x菱形高述二(t+a) x菱形高三2 ；梯形MNCD的面积二(MD+NC) x菱形高三2二(10-t) + (10 - a) x菱形高-2当梯形AMNB的面积二梯形MNCD的面积时，即 t+a二 10, (0t10), (0a10)所以，当t+a二10, (0t10), (0a10)时，可出现线段MN 定可以将菱形分割成面积相等的两部分(2)

11、点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，设点N移动的时间为t,可知0t5V3x=V3： (0t （at - 10） *24重合处为 S二2575- （学学 2,4当S二0时，即PM在CD上，.a二2 .点评:本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件.5 如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB二a, BC二b （a2b, a二2b和a 2b三种情况讨论.解答：解：（1）都是真命题；若选（I）证明如下：矩形ABCD,/.ADIIBC,TAH 二 BG,四边形ABGH是平行四边形，AB二HG,.AB 二 HG 二 AH 二 BG,四边形ABGH是菱形

12、；若选（口），证明如下：矩形 ABCD,AB二CD, AD二BC,ZA 二 ZB 二 ZC 二 ZD 二 90,TE、F、G、H是中点，AE二BE二CG二DG, AH二HD二BF二FC,AEH 斗 BEF 斗 DGH 更 “GCF,EF 二 FG 二 GH 二 HE,四边形EFGH是菱形；若选（皿），证明如下VEF垂直平分AC,.FA二FC, EA二EC,又T矩形ABCD./.ADIIBC,ZFAC 二 ZECA,当 O b V 2a 时，SEFGH SABGH SABGH .8 (/+b)1北(/ + 讣) abj (/+/ b?)、0 2b 232b2b莎在“AOF和厶COE中，ZAOF=

13、ZCOE=90cb,即 0b S 菱話即GH ； 当 a-b.即 b二2a 时，S 菱形AEGH二S 菱形EFGH ；乙当a a时，S菱形ABGH 0 (ba)S ACF SGFGH 当 b-2a 时，SEFGH=SABGH V S 憂形 AECF 点评：本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及矩形的性质 等知识点注竟第(3)题需要分类讨论，以防错解6 在平行四边形ABCD中，ZBAD的平分线交直线BC于点巳交直线DC的延长线于点F,以EC、CF为邻边作平 行四边形ECFG (1)如图1,证明平行四边形ECFG为菱形；(2)如图2,若ZABC二90, M是E

14、F的中点，求ZBDM的度数；考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判 定与性质分析：(1)平行四边形的性质可得ADIIBC, ABHCD,再根据平行线的性质证明ZCEF二ZCFE,根据等角对等边可得CE二CF,再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；(2)首先证明四边形ECFG为正方形，再证明-BMDMC可得DM=BM, zDMCzBME,再根据ZBMD二ZBME+ZEMD二ZDMC+ZEMD二90可得到ZBDM 的度数；(3)分别连接GB、GC,求证四边形CEGF是平行四边形，再求证心ECG是等边三角形由ADHBC 及

15、AF平分ZBAD可得ZBAE二ZAEB,求证BEGDCG,然后即可求得答案.解:(1)证明:TAF平分ZBAD,ZBAF 二 ZDAF,四边形ABCD是平行四边形,/.AD IIBC, AB IICD,ZDAF 二ZCEF、ZBAF=ZCFE,ZCEF 二 ZCFE,/.CE=CF,又四边形ECFG是平行四边形，四边形ECFG为菱形(2)如图，连接BM, MC,ZABC二90,四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形，又由(1)可知四边形ECFG为菱形，ZECF 二 90,四边形ECFG为正方形ZBAF 二 ZDAF,.BE 二 AB 二 DC,为EF中点，/.ZCEM=ZECM=45

16、,/.ZBEM=ZDCM=135,在BME和DMC中，BE=CDJ ZBEM=ZDCM,EM=CM/.BME-DMC (SAS),MB二MD,ZDMC二ZBME ZBMD 二 ZBME+ZEMD 二 ZDMC+ZEMD 二 90,工BMD是等腰直角三角形,(3)ZBDG二60,延长AB、FG交于H,连接HD .TAD II GF, ABIIDF,四边形AHFD为平行四边形，；ZABC=120, AF 平分ZBAD,ZDAF二30, ZADC=120, ZDFA二30：.上DAF为等腰三角形，AD二DF,平行四边形AHFD为菱形，厶ADH, -DHF为全等的等边三角形，DH二DF, ZBHD=Z

17、GFD=6O,FG二CE, CE二CF, CF二BH,BH二GF,在“BHD与AGFD中，DH=DFZBHD=ZGFD,二 GF工BHD孕GFD (SAS),ZBDH二ZGDFZBDG二ZBDH+ZHDG二ZGDF+ZHDG二 60 点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形 的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地 选择方法7 在SBC中，ZBAC二90, AB二AC,若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF,如图1,易证：ZAFC二ZACB+ZDAC ；(1)若点D在BC延长线上，其他条

18、件不变，写出zAFCs ZACB、ZDAC的关系，并结合图2给出证明； 若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出ZAFC、ZACB、ZDAC的关系式.图2图3考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题：几何综合题分析(1) ZAFC、ZACBs ZDAC的关系为:ZAFC二ZACB - ZDAC,理由为：由四边形ADEF为正方形，得到AD二AF,且ZFAD为直角，得到ZBAC=ZFAD,等式左右两边都加上ZCAD得到ZBAD二ZCAF,再由 AB二AC, AD二AF,利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等，根据全等三角形的对应角相等可得 出ZAFC二ZADB,

19、又ZACB为三角形ACD的外角，利用外角的性质得到ZACB二ZADB+ZDAC,变形后等 量代换即可得证；(2) ZAFC、ZACB、ZDAC 的关系式是ZAFC+ZACB+ZDAC二 180,可以根据ZDAF二ZBAC二90,等号两边都减去/BAF,可得出ZDAB二ZFAC,再由AD=AF, AB二AC,利用SAS证明三角形ABD与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出ZAFC二ZADB,根据三角形ADC的角和为180,等量代 换可得证解:(1)关系:ZAFC二ZACB - ZDAC,(2 分)证明：四边形ADEF为正方形,AD二AF, ZFAD=9O,ZBAC二90, ZFAD

20、= 90,ZBAC+ZCAD二ZFAD+ZCAD,即zBAD二ZCAF,（3 分）在“ABD和“ACF中，血AC-ZBx=ZADB,AD=AF工ABD斗ACF （SAS）,（4分）.ZAFC 二 ZADB,ZACB是厶ACD的一个外角，.ZACB二ZADB+ZDAC,（5 分）ZADB二ZACB - ZDAC,TZADB 二 ZAFC,.ZAFC二ZACB - ZDAC ；（6 分）（2） ZAFC、 ZACB、 ZDAC 满足的关系式为:ZAFC+ZDAC+ZACB二 180,（8 分）证明：四边形ADEF为正方形，ZDAF二90： AD二AF,又 ZBAC 二 90,ZDAF 二 ZBAC

21、,/.ZDAF - ZBAF二ZBAC - ZBAF,即ZDAB二ZFAC,在“ABD和“ACF中，AD 二 AF ZDxB=ZFAC,AB 二 AC工ABD斗ACF （SAS）,ZADB 二 ZAFC,在ADC 中，ZADB+ZACB+ZDAC二 180,贝IJZAFC+ZACB+ZDAC二 180 .点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的角和定理，以及三角形的外角性质，熟 练掌握判定及性质是解本题的关键8已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始,沿射线BC运动，连接DP,作CN丄DP 于点且交直线AB于点N.连接OP, ON (当P在线段

22、BC时，如图1 ：当P在BC的延长线上时，如图2)(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论：BN二CP ；OP二ON,且OP丄ON ； 设AB二4, BP二x,试确定以0、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质专题：代数几何综合题分析根据正方形的性质得出 DC二BC, ZDCB二ZCBN二90,求出ZCPD二ZDCN二ZCNB,证-DCPCBN,求出 CP二BN,证心OBN当OCP,推出 ON二OP, ZBON二zCOP,求出ZPON二ZCOB 即可；(2)同法可证图2时，0P二ON, OP丄ON,图1中，S囚边形6

23、汕二Ssi+S二BOP,代入求出即可；图2 中，S SffiftjOBIIPS-POB + S-PBII,代入求出即可.解答:(2)证明：如图1,正方形ABCD,OC=OB, DC二BC, ZDCB二ZCBA二90, ZOCB二ZOBA二45, ZDOC=90, DCIIAB,TDP 丄 CN,ZCMD 二 ZDOC 二 90,ZBCN + ZCPD二90, ZPCN+ZDCN二90,ZCPD 二 ZCNB,TDCIIAB,ZDCN 二 ZCNB 二 ZCPD,在心DCP和厶CBN中ZDCB=ZCBN ZCPD=ZBNC,DC 二 BCDCP 当 CBN,CP二BN,在心OBN和匕OCP中OB

24、 二 OC Z0CP=Z0BN,CP 二 BN工OBN更厶OCP,ON二OP, ZBON=ZCOP,ZBON+ZBOP 二 ZCOP+ZBOP,即 ZNOP 二 ZBOC 二 90,ON 丄 OP,即 ON二OP, ON丄OP (2)解：TAB二4,四边形ABCD是正方形,0到BC边的距离是2,图 1 中，S QiS OPBII S-OBII + S- BOP, =X (4-x) X2+Axxx2,2 2二4 (0 x4),y=4 (0 x6=24 (10 分)点评：考查菱形的判定及相关性质；把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积是解决本题的关 键.6 如图，已知矩形ABCD, AD二

25、4, CD二10, P是AB上一动点，M. N、E分别是PD、PC、CD的中点(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由考点：矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定分析：(1)根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明(2)当DP二CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值. 四边形PMEN是矩形的话，ZDPC必需为90,判断一下-DPC是不是直角三角形就行.解：(：!)“、N、E分别是PD、PC、CD的中点/.MEHPC,

26、 ENIIPD,四边形PMEN是平行四边形；(2)当 AP二5 时,.PA二PB二5, AD=BC, ZA二ZB二90, PAD 沪 PBC,PD二PC,VMS Ns E分别是PD、PCs CD的中点，/.NE=PM-PD, ME=PN=-PC,2 2PM=ME=EN = PN,I四边形PMEN是菱形；(3)假设“DPC为直角三角形设 PA二x, PB=10-x,DP二J16+/ CP二#16+ (10-x ) 2 DP+CP二 DC16+x2+16+ (10-x) 2=102X2-10X+16=0 x=2 或 x=8 .故当AP二2或AP二8时，能够构成直角三角形点评：本题考查平行四边形的判

27、定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都 是直角，对边相等等性质.7 .如图：矩形 ABCD 中，AB二2, BC二5, E、P 分别在 AD、BC 上，且 DE=BP=1 .(1)判断“BEC的形状，并说明理由？(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；(3)求四边形EFPH的面积-考点：矩形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质 专题：计算题；证明题分析.(1)根据矩形性质得岀CD二2,根据勾股定理求出CE和BE,求出CF+BE2的值.求岀BC，根据勾股定理的逆定理求出即可；解答: 根据矩形的性质和平行四边形的

28、判定，推出平行四边形DEBP和AECP,推出EHHFP, EFHHP,推出平行四边形EFPH,根据矩形的判定推出即可；(2)根据三角形的面积公式求岀CF,求出EF,根据勾股定理求出PF,根据面积公式求出即可.(1)-BEC是直角三角形，理由是:矩形ABCD,.ZADC二ZABP二90, AD二BC二5, AB二CD二2,由勾股定理得：CD2 -I- DE22 +1同理BE二2馅，CL+BE2 二 5+20 二 25,二 5【25,.BL+CE2 二 BCZBEC二90,BEC是直角三角形(2)解：四边形EFPH为矩形，证明:矩形ABCD,AD 二BC, ADIIBC,VDE=BP,四边形DEB

29、P是平行四边形，/.BEIIDP,TAD二BC, ADIIBC, DE二BP,AE二CP,四边形AECP是平行四边形，/.APIICE,四边形EFPH是平行四边形，ZBEC二90,平行四边形EFPH是矩形(3)解：在 RTPCD 中ZFC丄 PD,由三角形的面积公式得：PDCF二PCCD,*.EF=CE - CF二- ：PF二(pc? - CF?电乓QS矩形EFPH二EFPF二二,答：四边形EFPH的面积是卫.5点评：本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的运用， 主要培养学生分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，题型较好，难度也适中8 如图，

30、四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE丄AP于点E, BF丄AP于点F, CH丄DE于点H, BF 的延长线交CH于点G.(1)求证:AF-BF二EF ；(2)四边形EFGH是什么四边形？并证明；(3)若AB=2, BP二1,求四边形EFGH的面积.AD考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理令桁(1)利用全等三角形的判定首先得出MEDBFA,进而得出AE二BF,即可证明结论；(2)首先得出四边形EFGH是矩形，再利用EDMBFA,同理可得:MEDDHC,进而得出EF二EH, 即可得出答案；(3)首先求出AP的长，再利用三角形面积关系得出BF, AF的长，进而求出

31、EF的长即可得出答案. 解答(1)证明：VDE丄AP于点E, BF丄AP于点F, CHI DE于点H,ZAFB 二 ZAED 二 ZDHC 二 90,ZADE+ZDAE 二 90,又NDAE+ZBAF 二 90,5ZADE 二 ZBAF.在“AED和心BFA中，ZAEDZAFBAP=丄 xBFxV 二 1x2x2,TZBAF二ZPAB, ZAFB=ZABP=9O,AMBF-MPB.BF_BPU9 如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上 点N在边AD的延长线上，且BM二DN 点E为MN的中点，DE 的延长线与AC相交于点F .试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想考点：正方形的判定与性质

32、；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质专题：探究型分析猜想：线段DF垂直平分线段AC,且DF二AC,过点M作MGHAD,与DF的延长线相交于点G,作GH丄BC,垂足为H,连接AG、CG.根据正方形的性质和全等三角形的证明方法证明AMGCHG即可.解答：猜想：线段DF垂直平分线段AC,且DF二*C,证明：过点M作MGIIAD,与DF的延长线相交于点G 则ZEMG二ZN, ZBMG二ZBAD,TZMEG二ZNED, ME二NE,MEG 孕 NED,/.MG=DN BM二DN,/.MG=BM 作GH丄BC,垂足为H,连接AG、CG .四边形ABCD是正方形，AB二BC二CD二DA, zBAD 二ZB二ZADC二90,TZGMB 二 ZB 二 ZGHB 二 90,四边形MBHG是矩形VMG=MB,四边形MBHG是正方形，MG二GH二BH二MB, zAMG=ZCHG=90,AM二CH,/.MMGCHG GAGC 又 TDA 二 DC,DG是线段AC的垂直平分线ZADC二90, DA二DC,/.DF=-AC2即线段DF垂直平分线段AC,且DF二AC .点评：本题综合考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的 性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题 以