二次曲线的切线方程

1、摘要：依据高等数学知识，本文谈论了利用公式法求二次曲线上一点处的切线方程的一般方 法及具体操作要领。关键词：猜想；证明；应用；算法在高中数学中，求二次曲线的切线方程是一类重要题型。该题型分为两种：一种是求 经过曲线上一点处的切线方程；另一种是求经过曲线外一点的切线方程。下面，笔者将结合高等数学的相关知识探索出一个公式，并运用该公式求解第一种问题，同时给出解决该问题的一般算法步骤。、猜想公式经过二次曲线Ax2 +Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0上一点P（x0必）处的切线方程是 硼+B型旦+切+。吐+辽+心0“2 2 2二、证明公式J对方程Ax2 +Bxy+Cy2 + Dx

2、+ Ey + F = 0两边同时关于x求导数，得到：a2Ax+B(y+xyt)+2Cyyf+ D + Ey( 0整理以后，即得到:(Bx + 2Cy + E)yf = -(2 Ax +By +Z)根据导数的几何意义，曲线经过P（Xq J。）处切线的斜率上应满足关系式7(处0+ 200+E)上=一(2加0+o+D)，因此，所求切线方程y-yQ = k(x- xQ)心 可以转化为(5x0 + 2C0+)(-0) = -(224x0 +5y0 +D)(x-x0)卩化简并整理，得：22Ax+B(x+x)+C)y+L(xQ +力+距 +y) = 2A +25祕 +痢+2$ +2 (*) 又因为卩Axq

3、+&0几 +Co + Dxq +EyQ+F = 0因此，(*)式可化简为：亠2AxQx + B(xQy + xyQ) + CyQy+ D(x0 +x)+y0 +y)=-2F2 2 2这就是经过二次曲线+Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0上一点P（x。，几）处的切线 方程.亠三、运用公式卩例题1：求过圆x2 +y2 = r2点尸（兀0必）处的切线方程解：分别用可儿 儿X替换圆方程x2 +y2 = r2中的xd尹2以后得到亠这就是所求的切线方程.a例题2：求经过抛物线歹=工_1上_点尸（2,3）处的切线方程.“解 分别用2儿廿上替换y = X2 -1中的xS y9得?-2L =

4、 2x-l2 2化简得：y = 4x-5这就是所求的切线方程.卩例题3：求经过椭圆（x-+16/= 16上一点P（-3,0）的切线方程.a解：将椭圆方程化为一股方程，得：ax2 +162 - 2x -15 = Oa再把上述方程中的尹彳、分别用-3儿0、二土替换，得到: 2一 3兀一（一3+兀）一15 = 0卩化简得z x = -3这就是所求的切线方程。小结：相比教材上的常规解法,利用本文中的公式法，求经过二次曲线上一点处的切 线方程，其方法简洁明快,而且还与切线的斜率是否存在丝毫无关。例题4：求经过双曲线2x2-&-b-x + y_4 = 0上一点P（2,l）处的切线方程.解：用2儿纟亠.2

5、+ xly替换収曲线方程中的 / 卩 只 乩八 2 2 2得到：4x- v-+ -4 = 02 2 2化简得：2x-y- 3=0这就是所求的切线方程。小结：对于含有 项的二次曲线，利用本文中的公式法，求经过二次曲线上一点处的切线方程,方法过程简便、快捷,与常规解题方法相比，更具优越性。四、算法步骤利用公式法，求经过二次曲线Ax1 + Bxy + Cy1 + Dx + Ey + F = 0上一点P(x0 ,yQ)处切线方程的算法歩骤，可以分为整理、替换、化简、作答四歩.1 整理，将所给二次曲线方程F(xj)=O整理成一股形式Ax2 +Bxy + Cy2 + Dx+Ey + F = 02替换：分别用 时、型土也、几尹、勺P、如2替换上述方程中的 “ 2 2 2秘yS木歹卩3化简：对替换后的式子进行化简；4作答：明确地做出结论。总而言之，通过对以上四种方法的归纳总结，我们可以很容易地看到解决此类数学问题时应掌握的方法方法技巧。因此，笔者呼吁广大数学教师在自己的教学中应积极地探索一些