第05章_刚体的转动

1、第第5章刚体的转动章刚体的转动本章内容本章内容5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述5.2 转动转动惯量及计算惯量及计算5.3 转动定律转动定律5.4 转动定律的应用转动定律的应用5.5 角动量守恒角动量守恒5.6 转动中的功和能转动中的功和能5.7* 进动进动刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力作用下，各个质元的相对位置保持不在外力作用下，各个质元的相对位置保持不变变刚体刚体 在受力时不改变形状和体积的物体在受力时不改变形状和体积的物体刚体是固体物件的理想化模型刚体是固体物件的理想化模型平动和转动平动和转动平动：平动： 刚体在运动过程中，其上任意两

2、点的连线刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。始终保持平行。可以用质点动力学可以用质点动力学的方法来处理刚体的方法来处理刚体的平动问题。的平动问题。注：注：转动：转动： 刚体上所有质点都绕同一直线作圆刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的周运动。这种运动称为刚体的转动转动。这。这条直线称为条直线称为转轴转轴。定轴转动：定轴转动：转轴固定不动的转动。转轴固定不动的转动。ddtP点线速度点线速度vrrP点线加速度点线加速度advdtddtrdrdtrv旋转旋转(切向切向)加速度加速度向轴向轴(法向法向)加速度加速度瞬时轴瞬时轴v rrP 基点基点O刚体刚体刚体绕刚体绕

3、O的转动其转轴是的转动其转轴是可以改变的，反映顺时轴可以改变的，反映顺时轴的方向及转动快慢，引入的方向及转动快慢，引入角速度矢量角速度矢量 和角加速和角加速度矢量度矢量 质元：质元：组成物体的微颗粒元组成物体的微颗粒元质元对点的角动量为质元对点的角动量为 iiiimRLviiiiRmLv沿转轴沿转轴Oz的投影为的投影为iL)2cos(iizLLsiniiiRmvziLOxyimiriRiviiirmv2iirmizL刚体对刚体对Oz轴的角动量为轴的角动量为 2zizi iiiLLmr令iiizrmJ2为刚体对为刚体对 Oz 轴的轴的转动惯量转动惯量。 zJzzJL 2mkg2()i iimr刚

4、体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。的分布以及转轴的位置有关。 结论：结论：对于质量连续分布的刚体：对于质量连续分布的刚体： 22SSJr dmrdS（面质量分布）（面质量分布）LLdlrdmrJ22（线质量分布）（线质量分布）VVdVrdmrJ22 （体质量分布）（体质量分布）计算质量为计算质量为m，长为，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。的细棒绕一端的转动惯量。oxzdxdmxmrJd2解：解：mxdd22xr llxlmxlmxJ030231d 231mlJ O1.将棒弯一半成将棒弯一半成90度度;2.将将Z轴移至细棒中心位置

5、轴移至细棒中心位置;21(2)12JmlmxldoR例例2. 一质量为一质量为m，半径为，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的心并与盘面垂直的Z轴转动惯量。轴转动惯量。解：解：rrmd2dmrJd2rr d23RrrJ03d224212mRRrdr1. 是否可选择其它元面积是否可选择其它元面积;2. 将轴平行移至与盘将轴平行移至与盘边缘相切处边缘相切处; 3.将将Z轴移至通过圆心并在圆面上轴移至通过圆心并在圆面上;mrJd2mRJz z平行轴定理平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为若刚体对过质心的轴的转动惯量为J Jc c，则刚，则刚体对与该轴相距为体对与

6、该轴相距为d d的平行轴的平行轴z z的转动惯量的转动惯量J Jz z是是2mdJJczJc c221mRJc2221mRmRJz223mR平行轴定理证明平行轴定理证明: :dimiririixZCJCJ平行平行2Zi iiJm r2222cosiiiirrddr22(2)ZiiiiJm rddx222Zi iiiiiiiJm rm ddm x2ZCJJmd=m质心质心=0222iirddx 对薄平板刚体的正交轴定理对薄平板刚体的正交轴定理 y rix z yi xi mi 2Zi iJm r22iiiim xm yyxJJ例例3. 已知圆盘已知圆盘JZ=0.5mR2, 求对圆盘的一条直径的求

7、对圆盘的一条直径的Jx yx z 圆盘圆盘 R C m由由JJJJJJJmRzyxxyxy 142回转半径回转半径设物体的总质量为设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量，刚体对给定轴的转动惯量为为J，则定义物体对该转轴的回转半径，则定义物体对该转轴的回转半径rG G为：为：mJrG2GmrJ zGr例例4. 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为半径为r，摆杆质量也为，摆杆质量也为m，长度为，长度为2r）ro摆杆转动惯量：摆杆转动惯量：22134231mrrmJ摆锤转动惯量：摆锤转动惯量：22222219321mrrmmrmdJJc22221

8、66521934mrmrmrJJJ由质点系对轴的角动量定理，可得由质点系对轴的角动量定理，可得ddzzLMt两边乘以两边乘以dt，并积分，并积分 2121dtzzztMtLL刚体对定轴的角动量定理：刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。d()dzJt当当 J 转动惯量是一个恒量时，有转动惯量是一个恒量时，有ddMJt或或JM 刚体在作定轴转动时，刚体的角加速刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。刚体的转

9、动惯量成反比。转动定律：转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度 例例5. 质量为质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m=8kg的物体。的物体。求（求（1）由静止开始）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。绳子的张力。解：maTmgMTR12TMa252mgam smM212.52hatm40TNMmmgTm1?212MRJ212aMRR例例6.一质量为一质量为m，长为，长为l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在o点，距点，距A端端l/3。今使棒

10、从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，点转动，求：（求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直）垂直位置时的角速度和角加速度。位置时的角速度和角加速度。解：2mdJJco2220916121mllmmlJ（1）0o32glcoBA6Mmgl0MJ（2）0dMJdt219dmldtdlgdcos23003cos2gddl 213sin22gllg30coBAcos6lMmg219dmld2例例7. 一半径为一半径为R，质量为，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为水平面上。若它的初速度为 o，绕中

11、，绕中o心旋转，问经心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为 ）or解解dMdF rg dm r22d22dRrmrdrrRmm22d2dRrgrmM220223RmgrrMMmgRRdddrRtJMddtmRmgRdd21322000d43dgRtt34Rtg ddgRt4302121dtzzztMtLL刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量定理 JLz恒量恒量0zM当时刚体对定轴的角动量守恒定律： 当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。刚体对该转轴的角动量保持不变。

12、 注意：注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。定轴转动的任意物体系统。 说明：说明：1. 物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。方向也不变。和角速度的乘积不变。方向也不变。2. 几个物体组成的系统，几个物体组成的系统，绕一公共轴转动，则对该绕一公共轴转动，则对该公共转轴的合外力矩为零公共转轴的合外力矩为零时，该系统对此轴的总角时，该系统对此轴的总角动量守恒动量守恒iiiJ恒量常平架回转仪装置常平架回转仪装置轴承光滑，在不太长的轴承光滑，在不太长的时间内，空气与轴摩擦时间内，

13、空气与轴摩擦阻力的冲量矩和回转仪阻力的冲量矩和回转仪的角动量相比是很小的的角动量相比是很小的!可近似认为可近似认为:角动量守恒，矢量方向角动量守恒，矢量方向不变表现为转轴方向不不变表现为转轴方向不变，大小不变表现为回变，大小不变表现为回转仪的恒定角速率转动转仪的恒定角速率转动 军舰的稳定性军舰的稳定性例例8. 质量为质量为M0，半径为，半径为R的转盘的转盘,可绕铅直轴无摩擦转可绕铅直轴无摩擦转动动,初角速度为零初角速度为零,一质量为一质量为m的人的人,在转盘上从静止开在转盘上从静止开始沿半径为始沿半径为r的圆周相对圆盘匀速跑动的圆周相对圆盘匀速跑动,如图所示如图所示.求当求当人在转盘上运动一周

14、回到盘上的原位置时人在转盘上运动一周回到盘上的原位置时,转盘相对地转盘相对地面转过的角度。面转过的角度。解：解：由系统角动量守恒知由系统角动量守恒知:设人相对于转盘角速度为设人相对于转盘角速度为orR转盘相对于地的角速度为转盘相对于地的角速度为2201()02M Rmr22201()2mrmrM R 22201()2ddmrmrM Rdtdt22220001()2mr dmrM Rd 2220212mrmrM RrsinWFrFdsddddsinFrM 力矩：力矩：ddMW 力矩对刚体所作的功：力矩对刚体所作的功： oMWdMtMtWPdddd功率：功率：力矩对刚体的瞬时力矩对刚体的瞬时功率等

15、于力矩和角功率等于力矩和角速度的乘积。速度的乘积。 sinFr d dFzOdsdPrFdrzmiiriv第第i个质元的动能：个质元的动能： 2222121iiiikirmmEv整个刚体的转动动能：整个刚体的转动动能：2221iikikrmEE22)(21iirm221JEk设在外力矩设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功：元功：ddMW 由转动定律由转动定律tJMdd有有21dJW21222121JJ刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。做的功等于刚体转动动能的增量。 d

16、J ddddWJt例例9. 质量为质量为M，长为，长为2l 的均质细棒，在竖直平面内可的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的的小球以速度小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。以及棒的角速度。ou解：解：JJ 杆杆1球球1由系统角动量守恒由系统角动量守恒小球作为刚体小球作为刚体,对定轴角动量对定轴角动量为为:J 球球0Jmvl 杆杆1规定方向向内为负规定方向向内为负!20ml 球mul 反弹后的小球角动量为正反弹后的小球角

17、动量为正弹性碰撞动能无损失弹性碰撞动能无损失111222JJJ222球球0球球1杆杆1mMmMu3)3(v6(3)muMm l杆1mulJmvl 杆杆102222111222mlmlJ球2球1杆杆122111222mumJ 2杆杆1v设碰撞时间为设碰撞时间为 t)( mumtFv0JtlF消去消去 tlmJmulvv222111222mumJmMmMu3)3(vlmMmu)3(6you由冲量与冲量矩由冲量与冲量矩例例10. 一长为一长为l，质量为，质量为M的杆可绕支点的杆可绕支点o自由转动。自由转动。一质量为一质量为m，速度为，速度为v的子弹射入距支点为的子弹射入距支点为a的棒内。的棒内。若棒

18、偏转角为若棒偏转角为30。问子弹的初速度为多少。问子弹的初速度为多少。解：解： 角动量守恒：角动量守恒：2213Mlmaoalv3030子弹作为刚体子弹作为刚体,射入前的角动量：射入前的角动量：子v200()Jmam a射入后射入后,子弹与杆作为一个刚体的角动量：子弹与杆作为一个刚体的角动量：2231maMlamv机械能守恒：机械能守恒：30cos1230cos13121222lMgmgamaMl22323261maMlmaMlgmavoalv3030例例11. 一质量为一质量为M，半径，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高

19、度的物体。问物体由静止下落高度h时，时，其速度为多大？其速度为多大？mgmM解：解：2022121JJTR2022121vvmmThmghT由力矩对刚体作功可知：由力矩对刚体作功可知：由力对质点作功可知：由力对质点作功可知：也可视为力矩对刚体作功也可视为力矩对刚体作功!mgmM RhRv2,0,0200RMJ vmMmgh22vT例例12. 长为长为 l 的均质细直杆的均质细直杆OA，一端悬于，一端悬于O点铅直下点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为点，摆线长也为l，摆，摆球质量为球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，。现将单摆拉到水平位置后由静止

20、释放，摆球在摆球在 A 处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求：求： 细直杆的质量细直杆的质量M；碰撞后细直杆摆动的最碰撞后细直杆摆动的最大角度大角度 。（忽略一切阻力）。（忽略一切阻力）解解 lmlAO 按角动量守恒定律按角动量守恒定律 MMmmJJ系统的动能守恒系统的动能守恒222121MMJmmJJMmJJ解得解得2231Mlml系统的机械能守恒，有系统的机械能守恒，有)cos1 (2lMgmgl31cos31arccos5 .70杆与地球构成系统，只有重力做功杆与地球构成系统，只有重力做功, ,机械能守恒机械能守恒初始：初始：，Ek10 令令 EP10 末态：末态：EJko2212 , EmglP24 sin 则：则： 12402Jmglo sin (1)例例13. 已知均匀直杆质量为已知均匀直杆质量为m,长为长为l,初始水平静止初始水平静止,轴轴光滑光滑,AO=l/4.求杆下摆求杆下摆角度后角度后,角速度为多少角速度为多少?轴对轴对杆作用力为多少杆作用力为多少?解解 由平行轴定理由平行轴定理 JJmdoc 2 1124748222mlmlml(