第三、四章第三次 向量组的线性相关性与秩

1、作作 业业 P77-78 8(1); 13 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 （一）（一）线性相关与线性无关线性相关与线性无关齐次齐次线性方程组的线性方程组的向量表示式向量表示式为为1122nnxxxo 其中其中 系数矩阵系数矩阵A 的第的第 j 列所构成列所构成m维维列列向量，向量，o是是m 维维零零向量向量. .j 齐次线性方程组有非零解等价于存在齐次线性方程组有非零解等价于存在一组不一组不全为零的数全为零的数 , ,使得使得1122,nnxkxkxk 1122nnkkko 定义定义 对于向量组对于向量组 ，如果，如果存在存在一组一组不全为零不全为零的数的数 ，使得，使得12,s

2、12,sk kk1122sskkko 则称向量组则称向量组 线性相关线性相关；如果只如果只有当有当 时，等式时，等式120skkk12,s 才成立，则称向量组才成立，则称向量组 线性无关线性无关1122sskkko 12,s 例例2 初始单位初始单位向量组向量组12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n 112212(,)nnnkkkkkko 则必有则必有. 021 nkkk是线性无关的是线性无关的这是因为，如果有一组数这是因为，如果有一组数 , ,使得使得nkkk,21例例1 包含零向量的向量组包含零向量的向量组 是线性是线性相关的相关的2,so2100moo 这是因为这是因为m=

3、11 m=22( ,),( , , )1212nna aab bb , n, 0 0 向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量） m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解有非零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m1 个向量

4、线性个向量线性表示表示向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1, a2, , am 线性无关线性无关如果如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），则必有（零向量），则必有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 只只有零解有零解矩阵矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示有非零解的充要条件是：系数矩阵的秩小于未知量有非零解的

5、充要条件是：系数矩阵的秩小于未知量的个数的个数n即即定理定理 m维维列向量组列向量组 线性相关线性相关的的充分必要条件是：以充分必要条件是：以 为列向量的为列向量的矩阵的秩小于向量组的个数矩阵的秩小于向量组的个数n.即即12,n 12(,)nrn 1122nnxxxo 12,n 证证 因齐次线性方程组因齐次线性方程组12(,)nrn 或或 m 维维行向量组行向量组 线性相关线性相关的充的充分必要条件是：分必要条件是：12,n 12,TTTnrn 推论推论1 m 维列向量组维列向量组 线性无关线性无关的充分必要条件是：的充分必要条件是：12,n 12,nrn 推论推论2 当当n m 时时, ,n

6、 个个m 维列向量维列向量 线线性相关性相关. .12,n 证证 因因 12,min,nrm nmn 所以，向量组所以，向量组 线性相关线性相关. .12,n 推论推论3 设设n个个n维行向量维行向量 所构成的所构成的方阵是方阵是 则以下结论等价：则以下结论等价：（1）A可逆；可逆；（2）r(A)=n；（3）（4）齐次线性方程组齐次线性方程组 AX=o只有零解；只有零解；（5）向量组向量组 线性无关线性无关. .n ,21 12,TTTnA 0;A n ,21TTTt), 3 , 1(,)3 , 2 , 1(,)1 , 1 , 1(321 t 取何值时取何值时,下列向量组线性相关下列向量组线性

7、相关 ? tA31321111,321 记记03)(,321 AAr线线性性相相关关 512021011131321111 tttA当当 t = 5 时时, 上面向量组线性相关上面向量组线性相关.例例3例例4判断向量组判断向量组 123(1,1,1)(0,2,5)(2,4,7) ，是否线性相关是否线性相关 742520111A 初初等等行行变变换换 022020001因，因，R(A)=23, ,故故 线性相关线性相关 321, ,解解: :对矩阵对矩阵 施行初等行变换施行初等行变换 123,TTTA 练习练习: 讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性: 123(1,3, 2,2)

8、 ,(0,2, 1,3) ,( 2,0,1,5) .TTTaaa 解解 102320211235B 123rr 132rr 142rr )1(3 r212 r 00000031020123rr 24rr R(B)=23, ，向量组线性相关，向量组线性相关. 2 0 1 6 2 0310 9 3 0 2 0 1 3 1 0 3 1 0 3 1 0314 r例例5 已知已知向量组向量组 1, 2, 3线性无关，线性无关， 1= 1+ 2， 2= 2+ 3， 3= 3+ 1，试证试证 1, 2, 3线性无关线性无关.证证：设：设 x1 1+x2 2+x3 3=0 即即 x1( 1+ 2)+x2( 2

9、+ 3)+x3( 3+ 1)=0 ,得得 (x1+x3) 1+(x1+x2) 2+(x2+x3) 3=0 ，向量组向量组 1, 2, 3线性无关，得线性无关，得 , 0, 0, 0322131xxxxxx , 0, 0, 0321xxx解得解得故故 1, 2, 3线性无关线性无关., 123 向量组向量组 线性无关线性无关, ,向量向量组组, 112123123 由于由于 1231231 1 1()()111 故故 线性无关线性无关. . , 1231 1 111101 或或是否相关是否相关.1 1 11131r定理定理 如果向量组如果向量组 线性相关，则线性相关，则向量组向量组 也线性相关也

10、线性相关. .（即：如果向量组的部分组线性相关，则整（即：如果向量组的部分组线性相关，则整个向量组也线性相关个向量组也线性相关. .）mrr ,121 r ,211122100rrrmkkko 1122rrkkko 于是于是证：因向量组证：因向量组 线性相关，所以线性相关，所以存在一组数不全为零的数存在一组数不全为零的数 ，rkkk,21r ,21使得使得又，又， 不全为零，所以，不全为零，所以， 也线性相关也线性相关. .0 , 0 ,21rkkkmrr ,121 推论推论 线性无关向量组的任一非空部分组也线性无关向量组的任一非空部分组也是线性无关向量组是线性无关向量组. .（二）（二）线性

11、组合与线性相关的定理线性组合与线性相关的定理定理定理 向量组向量组 （ ）线性相关）线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可的充分必要条件是：其中至少有一个向量可由其余由其余 个向量线性表示个向量线性表示2s 1s 12,s 定理定理 设向量组设向量组 线性无关，而线性无关，而向量组向量组 线性相关，则向量线性相关，则向量可由向量组可由向量组 线性表示，且表示线性表示，且表示式是唯一的式是唯一的12,s 12,s 12,s 定理定理 设有两个向量组设有两个向量组12:,sA 12:,tB 如果如果向量组向量组B能由向量组能由向量组A线性表示，若线性表示，若s t则向量组则向量组B线性相关

12、线性相关. .推论推论 等价的线性无关向量组所含向量个数相等价的线性无关向量组所含向量个数相等等3.33.3 对于一个给定的向量组对于一个给定的向量组(可以含无穷多向量可以含无穷多向量), 如何把握向量之间的线性关系如何把握向量之间的线性关系( 即哪些向量可由即哪些向量可由另外一些向量线性表示另外一些向量线性表示?) 希望希望: 在一个向量组中能找到个数最少的一在一个向量组中能找到个数最少的一部分向量部分向量, 其余的向量都可由这些向量线性表示其余的向量都可由这些向量线性表示.这样的部分组要满足什么条件？这样的部分组要满足什么条件？定义定义 设设 是向量组，是向量组，如果如果（1）在在T中有中

13、有r个个向量向量 线性无关；线性无关；（2） ，向量组，向量组 总是线总是线 性相关的，性相关的，则称向量组则称向量组 是是向量组向量组T的的一个一个极极大线性无关组大线性无关组，简，简称为称为极大无关组极大无关组，数，数r称为称为向量组向量组T的的秩秩，记作，记作r ,21T r ,21r ,2112(,).sr 12:,sT 规定规定：由零向量组成的向量组秩为：由零向量组成的向量组秩为0. .;1）极极大大无无关关组组不不唯唯一一（说明说明.2关关组组是是等等价价的的）向向量量组组与与它它的的极极大大无无（3）向量组中任一向量都可由向量组中任一向量都可由极大极大无关组无关组 唯一线性表示唯

14、一线性表示. . （4）矩阵的秩等于它的行向量组的秩（行）矩阵的秩等于它的行向量组的秩（行 秩），也等于它的列向量组的秩（列秩）秩），也等于它的列向量组的秩（列秩） . . 例如：例如：对于向量组对于向量组 A ：a1 = ( 1, 2, 1), a2 = (2, 3, 1) , a3 = (4, 1, 1)所以所以a1, a2 , a3线性相关。线性相关。121231411A 0 a1, a2 为为 A 的一个极大无关组的一个极大无关组; ;a2 , a3 ; a1, a3 也是也是 A 的极大无关组。的极大无关组。12,a a 线线性性无无关关，求向量组的秩及极大无关组的方法求向量组的秩及

15、极大无关组的方法 以行向量组以行向量组 的转置为列向量的转置为列向量组组构成矩阵构成矩阵 , ,对矩阵对矩阵A经过有经过有限次限次初等行变换初等行变换化成行化成行最简形最简形矩阵，那么，矩阵，那么，向量组的秩向量组的秩就等于简化阶梯形矩阵的就等于简化阶梯形矩阵的非零行非零行的行数的行数, ,而行最简形矩阵的而行最简形矩阵的每个非零行的首非每个非零行的首非零元所在列对应于矩阵零元所在列对应于矩阵A中的列中的列，即是，即是极大无极大无关组中的一个向量关组中的一个向量. .12,s 12(,)TTTsA 例例6 求向量组求向量组1234(1,3,1),(1, 1,5),( 3, 3, 9),( 1,

16、4, 8) 的一个极大无关组的一个极大无关组, ,并且把向量组中其余向量并且把向量组中其余向量由这个极大无关组线性表示由这个极大无关组线性表示. .解解: :对矩阵对矩阵 施行施行初等行变换初等行变换, ,把它化成行最简形矩阵把它化成行最简形矩阵 1234,TTTTA 113131341598A 13123rrrr 771663441001 00007640131123rr 00004723101311412r123310243701240000rr 1234 ,2323213 2144743 所以，所以， 就是一个极大无关组就是一个极大无关组, ,因因21, 故故,2323213 2144743 211181121446261636979A 求矩阵求矩阵的列向量组的秩及一个极大线性无关组，的列向量组的秩及一个极大线性无关