数学分析数项级数94PPT学习教案

1、会计学1数学分析数项级数数学分析数项级数94一、柯西收敛准则一、柯西收敛准则时，时，当当收敛收敛NnNann ,N, 0*1 ,N* p.1 pnnkka恒有恒有.在级数第一讲中已证过在级数第一讲中已证过第1页/共17页例例1.1. , 0,1收敛收敛证明若证明若单调减单调减 nnnnaaa. 0lim nnna则则证明证明：.2, 0, 021 nnaaNnN时时.22 ,212 nnnnaanaa022lim nnna)( . 02)12(12212 nanaannnn0lim nnnannanln1 : 反例反例第2页/共17页二、莱布尼茨（二、莱布尼茨（LeibnizLeibniz）判

2、别法）判别法, 0 ,)1(11 nnnnaa设交错级数设交错级数.)1(11收敛收敛则则 nnna证明证明：为偶数时：为偶数时：ppn, 0, pnnkkknpnaSS11)1(0,递减趋于递减趋于若若na级级数数称称此此类类交交错错级级数数为为 Leibniz第3页/共17页)(14321pnpnnnnnaaaaaa )(321nnnaaapnpnpnaaa )(121 na为奇数时，为奇数时，p)()(1321pnpnnnnnpnaaaaaSS 1 na.)1(,lim11 nnnnnaS收敛收敛存在存在2 2 第4页/共17页)(1即得即得令令 paSSRnnn例例1.1.)0(1)1

3、(11 pnnpn收敛收敛特特别别61514131211 收敛收敛nnnln1)1(2 收敛收敛 11111)1()1()1(nnnnnnnn LeibnizLeibniz级数副产品级数副产品( (误差估计误差估计) )：第5页/共17页三、三、AbelAbel和和DirichletDirichlet判别法判别法的判敛的判敛 1nnnba1.1. 分部求和公式：分部求和公式：. 0 , 021 SaaaSkk此时此时nnnkkkknkkkbSbbSba 1111)(有有则对任意正整数则对任意正整数是两列实数是两列实数设设nbann ,第6页/共17页注注：kkkkkkkbbbaSSS 11,可

4、视可视为为 1101nkkknkknkkkbSbSSb类似于分部积分公类似于分部积分公式式 nknkkkkkknkkknkkkbSbSbSSba111111)(nnnkkkknkkknkkkbSbbSbSbS 1111011)(证明：证明：第7页/共17页2 2. . AbelAbel引理：引理： ,21kknaaaSb 单调，单调，设设).2(, 2 , 1,11nnkkkkbbMbankMS 则则若若证明：证明： 1111)(nknnkkknkkkbSbbSba)(111111nnkkknnkknkkbbbMbSbbS ).2()(11nnnbbMbbbM 单调单调nb？第8页/共17页.

5、 . Dirichlet判别法判别法如果它们满足：如果它们满足：有界；有界；kS ; 0单调单调nb ,21kkaaaS ,是两个数列是两个数列设设nnba.1收敛收敛则则kkkba , 0 , 1| ,)1( :1 kkkkbSa取取注注.)1(11收敛收敛则则 kkkbDirichlet判别法是判别法是Leibniz判别法的推广判别法的推广第9页/共17页证明证明：MSSaaanpnpnnn221 )2(21pnnbbM 0lim nnb,8,N, 01*MbNnNn 时时.8Mbpn ,)828(2 ,1 MMMbappnnkkk.1收敛收敛kkkba pnnkkkba1第10页/共17

6、页. .阿贝尔（阿贝尔（belbel）判别法）判别法 收敛，收敛，单调有界单调有界满足满足设设 1 . 2 . 1 ,kkkkkabba.1收敛收敛则则 kkkba证明：证明： ,单调有界单调有界kb 0 单调单调bbk,1收敛收敛 kka .有界有界kS.)(,1收敛收敛法法由由 kkkbbaDirichlet 111)(kkkkkkkkabbbaba收敛收敛,lim存在存在bbkk 第11页/共17页例例2.2.)0,0(sin1 pxnnxnp ), 0(; 01 xnp单调单调 nknkxkxxkx112sinsin2sin1sin2sin1x 由由DirichletDirichlet

7、判别法判别法, , 1sinnpnnx收敛收敛. .同理可证同理可证: : 1cosnpnnx收敛收敛. . kx2 第12页/共17页例例3.3.nnnnn)11(3cos1 解：解： 13cosnnn收敛收敛enn )11(.)11(单调有界单调有界 nn由由AbelAbel，级数，级数收敛收敛. .第13页/共17页例例4.4.nnnn21sin)1( 解：解：22cos1sin2nn 1111222cos)1(21)1(sin)1(nnnnnnnnnnn（莱莱法法）收收敛敛由由 11)1(nnn 11)2cos(2cos)1(nnnnnnnn 收敛收敛（例（例2 2）故原级数收敛故原级数收敛. .第14页/共17页例例5.5.)arctan5()11(ln1)1(2nnnnnn 解：解：)(ln1)1(2莱法莱法收敛收敛nnn 单调有界单调有界nn)11( )()11(ln1)1(2Abelnnnnn收敛收敛 ,arctan5单调有界单调有界n 故原级数收敛故原级