【课件】新高中数学必修1_1.3.1空间直角坐标系1.3.2　空间向量运算的坐标表示

1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2空间向量运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系1.能根据题目条件建立适当的空间直角坐标系.2.理解空间点的坐标和向量的坐标,掌握空间向量运算的坐标表示.3.会利用空间向量的坐标运算判断两向量共线或垂直.4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式,能运用这些知识解决相关问题.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与

2、立体几何在空间选定一点O和一个单位正交基底i, j,k,以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度 建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做 坐标轴 .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做 坐标向量 ,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八 个部分.空间直角坐标系第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A

3、,对应一个向量,且点A的位置由向量 唯一确定 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =xi+yj+zk .在单位正交基底i,j,k下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.OA OA OA OA 空间点的坐标表示空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作 a=(x,y,z) .

4、OA 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).运算坐标表示加法a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 减法a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘a=(a1,a2,a3) ,R数量积ab= a1b1+a2b2+a3b3 空间向量运算的坐标表示第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何设a=(a1,a2,a3),b=(b1

5、,b2,b3).结论坐标表示共线ab(b0) a=b a1=b1,a2=b2,a3=b3 ,R垂直ab ab=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 向量长度|a|= 向量夹角公式cosa,b= = 1 12 23 3222222123123aba ba baaabbb空间向量常用结论的坐标表示aa 232221aaa|baba第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何在空间直角坐标系Oxyz中,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则=-=(x2-x1,y2-y1

6、,z2-z1),P1P2=|=.12PP 2OP1OP12PP 222212121(- )(- )( - )x xy yz z空间两点间的距离公式第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何1.点(2,-3,-1)在Oxy平面上的射影为点(2,-3).( )提示:点(2,-3,-1)在Oxy平面上的射影为点(2,-3,0).2.已知i, j,k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量,并且=-i+j-k,则B点的坐标为(-1,1,-1).()3.向量a=(2,-3,1)与向量b=(-4,6,-2)平行.

7、()4.若向量a=(1,-1,2)与向量b=(x,2,-1)垂直,则x=4.()5.对于空间任意两个向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若a与b共线,则=.( )提示:b为零向量时不成立.6.空间向量a=(1,1,1)为单位向量.( )提示:a的模不是1.OB 11ab22ab33ab判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” 。第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何利用空间向量的坐标运算证明空间平行、垂直问题1.运用向量坐标运算解决空间立体几何问题的方法第第1讲描述运动

8、的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何2.向量平行与垂直问题主要有以下两种类型:一是判断平行与垂直;二是利用平行与垂直求参数或其他问题.选择向量的坐标形式,把几何问题转化为代数计算,可以达到简化运算的目的.(1)证明两直线平行的步骤:建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;求出直线的方向向量;证明两向量共线;说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的有向线段不共线,即可得证.(2)证明两直线垂直的步骤:根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐

9、标;根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;计算两直线方向向量的数量积为0;由方向向量垂直得到两直线垂直.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分别是CC1,CD,A1C1的中点.(1)求证:AB1GE,AB1EH;(2)过点B作BMAC1于点M,求点M的坐标;(3)若P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3=,是否存在,使=,且?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.1B P1PD BD DQPQ AE 思路点拨根据正方体中的垂直关

10、系,建立适当的空间直角坐标系.(1)将线线平行转化为向量共线;将线线垂直转化为向量的数量积为0;(2)设点M的坐标,则点M满足两个条件,点M在AC1上和BMAC1,转化为向量与共线和=0,通过坐标运算得方程组求解;(3)假设存在,由3=得点P的坐标,由,=,通过坐标运算列方程组求点Q的坐标及的值.AM 1AC BM 1AC 1B P1PD PQ AE BD DQ第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何解析 如图,以A为坐标原点,分别以,为单位正交基底建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A

11、(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,AB AD1AA1).由中点坐标公式,得E,G,H.(1)证明:=(1,0,1),=,=.因为=2,=1+1=0,所以,即AB1GE,AB1EH.11,1,21,1,021 1,12 21ABGE 11,0,22EH11 1-,-,22 21ABGE 1ABEH1-2121ABGE 1ABEH第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何(2)设M(x,y,

12、z),则=(x,y,z),=(x-1,y,z).又=(1,1,1),所以由BMAC1,得=0,即x-1+y+z=0.因为,所以设=,得x=,y=,z=(R).由,得=,所以x=,y=,z=.所以点M的坐标为.(3)假设存在满足条件的.设点P(x1,y1,z1),则=(x1-1,y1,z1-1),=(-x1,1-y1,1-z1),AM BM 1AC BM 1AC 1AC AM AM 1AC 131313131 1 1, ,3 3 31B P1PD 由3=,得1B P1PD 1111113( -1)- ,31- ,3( -1)1- ,xxyyzz第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1

13、讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何解得所以点P的坐标为.设点Q(x2,y2,z2),则=,=(x2,y2-1,z2),可求得=,=(-1,1,0).由,得x2-+y2-+(z2-1)=0,由=,得由得无解,即不存在满足条件.1113,41,41,xyz3 1,14 4PQ 22231-,-,-144xyzDQAE 11,1,2BD PQ AE 341412BD DQ222-1,1(-1),0,x yz第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几

14、何利用空间向量的坐标运算求夹角和长度1.求两异面直线夹角的步骤(1)求异面直线a,b上的方向向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2);(2)利用公式cos=求解;(3)设异面直线a,b所成的角为,则cos =|cos|.2.求空间中两点的距离或线段长度的常用方法(1)空间两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=|=.(2)向量的模的计算公式:a=(x,y,z),则|a|=.12121 2222222111222x xy yz zxyzxyzAB 2|AB 222212121(- )(- )( - )x xy yz z222xyz第第1讲

15、描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点.(1)求证:EFCF;(2)求EF与CG所成角的余弦值;(3)求CE的长.思路点拨建系Dxyz得各点的坐标数量积运算利用夹角、长度公式得出几何结论.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何解析 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则E,C(0,1,0),F,G.=,=,=,=.(1)证明:=+0=0,即EFCF.(2)=1+0+=,10,0,21 1,02 211,1,2EF 1 11,-2 22CF 11,-,022