大学物理演示(量子)3(赵)

1、它必须能把“颗粒性”与 “波动性” 统一起来！ 一般用复函数 代表微观粒子的波函数。 ( , ) r t 要具体应用物质波的概念，就要有物质波的波函数24.124.1、 波函数及其统计意义波函数及其统计意义i大大 光子出现概率大光子出现概率大i小小 光子出现概率小光子出现概率小 波动性波动性: 某处明亮则某处光强大某处明亮则某处光强大 即即 i 大大粒子性粒子性: 某处明亮则某处光子多某处明亮则某处光子多 即即 n 大大光子数光子数 n i e02 光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比类类比光的波粒二象性比光的波粒二象性 代表什么？代表什么？

2、 ( , ) r t24 量子力学初步量子力学初步由于进行了量子力学的基本研究由于进行了量子力学的基本研究特别是对波函数作出的统计解释特别是对波函数作出的统计解释19541954年获诺贝尔物理学奖年获诺贝尔物理学奖24.1.2、波函数、波函数统计铨释统计铨释( 1926 ) 量子力学的基本原理之一量子力学的基本原理之一(基本假设基本假设)波函数的模方代表粒子空间分布的概率密度空间概率分布的空间概率分布的“概率幅概率幅”。物质波的波函数物质波的波函数 是描述粒子是描述粒子1926年年6月，玻恩（月，玻恩（born )在题为在题为碰撞现象的量子力学碰撞现象的量子力学中，中，提出了物质波的统计意义，

3、他认为：提出了物质波的统计意义，他认为：物质波物质波并不像经典波那样并不像经典波那样代表实在物理量的波动代表实在物理量的波动而是而是描述描述粒子在空间概率分布的概率波粒子在空间概率分布的概率波物质波的波函数物质波的波函数 是描述粒子在空间概率分布的是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅概率振幅”。),(),( ),(*2trtrtr 代表代表 t t时刻，在时刻，在 点处单位体积中发现一个粒子点处单位体积中发现一个粒子的概率，称为概率密度。的概率，称为概率密度。rr rdvdvx x y yz zdvtr2),(其模的平方：其模的平方：t t 时刻在时刻在 点附近点附近dvdv 内发现粒子的概率

4、：内发现粒子的概率：r dzzzdyyydxxx自由粒子波函数自由粒子波函数.const= .const=phhe ，类比，沿类比，沿+x传播的平面波：传播的平面波：) (2=),( xtiaetxy-可得可得, 沿沿+x方向运动的自由粒子波函数为：方向运动的自由粒子波函数为：) (20),( xtietx ，)-(-0pxetie， 2h 式中式中)(2cos= xtay-在三维空间中运动的自由粒子波函数：在三维空间中运动的自由粒子波函数：- ( -)0 ( , )ie t p rr te 空间波函数空间波函数通常写成：通常写成：teirpieetr 0),(teier )(rpier 0)

5、( 24.1.4、波函数的态叠加原理、波函数的态叠加原理这里这里 c1 c2. cn 是任意复常数。是任意复常数。如果如果 1， 2 n 等，都是微观粒子体系等，都是微观粒子体系那么他们的线性叠加状态那么他们的线性叠加状态iinncccc2211也是这个体系的一个可能的状态。也是这个体系的一个可能的状态。的可能的状态，的可能的状态，只开上缝只开上缝 1，屏上概率分布，屏上概率分布 p1只开下缝只开下缝 2，屏上概率分布，屏上概率分布 p2双缝双缝 齐开，屏上概率分布齐开，屏上概率分布 p12=p1+p2（1）子弹穿过双缝）子弹穿过双缝（2）电子双缝衍射）电子双缝衍射只开下缝只开下缝, 只开上缝

6、只开上缝, 211|p 电子在屏上概率分布为电子在屏上概率分布为222|p 电子在屏上概率分布为电子在屏上概率分布为双缝双缝 齐开齐开, 电子可通过上缝也可通过下缝电子可通过上缝也可通过下缝,通过上、下缝各有一定的概率通过上、下缝各有一定的概率,1 2 、 都有都有,总的概率幅为总的概率幅为221112cc 2221121212221112|ccpcc 212221pp| 出现了双逢干涉花样。出现了双逢干涉花样。是由于概率幅的线性叠加产生的。是由于概率幅的线性叠加产生的。即使只有一个电子，当双缝齐开时即使只有一个电子，当双缝齐开时,两部分概率幅的叠加就会产生干涉。两部分概率幅的叠加就会产生干涉

7、。微观粒子是波函数的叠加，而不微观粒子是波函数的叠加，而不是概率的叠加。是概率的叠加。它的状态就要用它的状态就要用 来描述，来描述，221112cc 2. 波函数的有限性波函数的有限性粒子在空间某处出现的概率不能无限大粒子在空间某处出现的概率不能无限大1. 波函数的单值性波函数的单值性任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值 24.1.324.1.3、波函数的标准化条件波函数的标准化条件概率不能在某处发生突变概率不能在某处发生突变3. 波函数的连续性波函数的连续性以上要求称为波函数的标准化条件以上要求称为波函数的标准化条件波函数的归一性：波函数的归一

8、性： 根据波函数统计解释，在全空间各点的概率根据波函数统计解释，在全空间各点的概率总和必须为总和必须为1 1。 1,2dvtr)(全全空空间间 注意注意 归一化条件归一化条件波函数可以允许包含一个任意的常数因子波函数可以允许包含一个任意的常数因子 对于概率分布来讲对于概率分布来讲 重要的是相对概率分布重要的是相对概率分布 tr,trc,和和描写同一个概率波描写同一个概率波22212221,trtrtrctrc因为因为对于空间任意对于空间任意两点两点来说来说概率比值相同：概率比值相同：只要给出了初始条件，只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹下一时刻粒子的轨迹是已知的是已知的。（。（决定决定论论

9、的的）经典力学经典力学描述粒子：描述粒子：)(trr量子力学量子力学描述粒子：描述粒子：),( tr2 ),( tr不能预言粒子必然在哪里不能预言粒子必然在哪里出现，只能预言粒子出现出现，只能预言粒子出现的概率。的概率。（非决定（非决定论论的）的）粒子的轨迹粒子的轨迹 粒子出现的概率粒子出现的概率)(trr小结小结波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念波函数统计诠释涉及对世界本质的认识观念哥本哈根学派哥本哈根学派-爱因斯坦爱因斯坦 著名论战著名论战量子力学背后隐藏着还没有量子力学背后隐藏着还没有被揭示的更基本的规律，这被揭示的更基本的规律，这个规律对量子力学有新的解个规律对量子力学有新的解释。

10、释。上帝不会掷骰（上帝不会掷骰（toutou）子）子波函数的概波函数的概率解释是自率解释是自然界的终极然界的终极实质实质玻尔、波恩、海玻尔、波恩、海森伯、费曼等森伯、费曼等还有狄拉克、还有狄拉克、德布罗意等德布罗意等海森伯海森伯（w. k. heisenbergw. k. heisenberg，1901-19761901-1976） 德国理论物理学家。为德国理论物理学家。为量子力学的创立作出了最早量子力学的创立作出了最早的贡献，的贡献，2525岁时提出的不确岁时提出的不确定关系则与物质波的概率解定关系则与物质波的概率解释一起奠定了量子力学的基释一起奠定了量子力学的基础。为此，他于础。为此，他于

11、19321932年获得年获得诺贝尔物理学奖金。诺贝尔物理学奖金。24.2 24.2 不确定关系不确定关系 经典力学经典力学中，粒子所在力场的性质确定后，物体中，粒子所在力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。因此可用以后的运动位置就可确定。因此可用轨道来描述粒子轨道来描述粒子的运动的运动。 微观粒子微观粒子，具有显著的，具有显著的波动性波动性，我们不能用经典，我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。的方法来描述它的粒子性。以电子束单缝衍射为例以电子束单缝衍射为例.2sina只计中央明纹区只计中央明纹区, , 角宽度角宽度一、位置和动量的不确定关系一、位置和动量的不确定关系0 xp正中1si

12、nxpp 沿hpxx位置不确定量：位置不确定量：ax 不确定量动量xpp pp py yp px x1 电子如何进入中央明纹区的？电子如何进入中央明纹区的？1sinxhhppaa 考虑次级极大：考虑次级极大：1sin/xpph a xxph 1sina位置和动量的不确定位置和动量的不确定关系关系1927年年, 海森伯海森伯 一个微观粒子不能一个微观粒子不能同时同时具有确定具有确定的坐标和确定的动量的坐标和确定的动量2xpx2 qp1932年年 nobel prize h 经典和量子的分水岭经典和量子的分水岭2ypy2zpz0;,xpxx位置完全确定位置完全确定xp动量分量完全不确定动量分量完全

13、不确定粒子向何方运动？粒子向何方运动？“轨道轨道”概概念失去意念失去意义义0;,xxpxp动量完全确定动量完全确定x位置完全不确定位置完全不确定粒子在何处？粒子在何处？说明：说明：1 1） 微观粒子运动过程中，其坐标的确定程度与该微观粒子运动过程中，其坐标的确定程度与该方向上动量分量的确定程度相互制约方向上动量分量的确定程度相互制约/2xxp 24220em cp c设有一个速度为设有一个速度为v v，质量为，质量为m m的粒子，其能量的粒子，其能量考虑到考虑到e e的增量：的增量：222422022c p pc mv peem cp cv pxpt/2e tx p 2te能量与时间不确定关系

14、式能量与时间不确定关系式即：即：二、能量与时间不确定关系二、能量与时间不确定关系光谱研究证实了这一点光谱研究证实了这一点宽度越小的能级越稳定宽度越小的能级越稳定三、三、 不确定关系的意义不确定关系的意义 1. 波粒二象性的必然结果波粒二象性的必然结果. 2. 说明经典描述手段对微观粒子不适用说明经典描述手段对微观粒子不适用. 3. 微观粒子不可能静止微观粒子不可能静止. 不能同时为不能同时为 0 粒子永远运动粒子永远运动当当 t=00 k 时时,普朗克假设普朗克假设 应修正为应修正为, xp enh1()2enhh 原子基态有能量原子基态有能量,( 0 点能点能 ). 不塌缩不塌缩 4. 不确

15、定关系是统计关系的必然结果不确定关系是统计关系的必然结果5. 宏观与微观的分界线宏观与微观的分界线经典经典.xx ph 0h注意：不确定关系注意：不确定关系不是实验误差不是实验误差，不是由于理论不完，不是由于理论不完善或仪器不准确引起的。善或仪器不准确引起的。1smkg2 vmp解解 ： 子弹的动量子弹的动量 例例 1 一颗质量为一颗质量为10 g 的子弹，具有的子弹，具有 的的速率速率 . 若其动量的不确定范围为动量的若其动量的不确定范围为动量的 则该子弹位置的不确定量范围为多大则该子弹位置的不确定量范围为多大?1sm200%01. 014smkg102%01. 0pp动量的不确定范围动量的

16、不确定范围m103 . 3m1021063. 630434phx位置的不确定量范围位置的不确定量范围 例例2 一电子具有一电子具有 的速率的速率, 动量的不确动量的不确范围为动量的范围为动量的 0.01% 则该电子的位置不确定范围有多大则该电子的位置不确定范围有多大?1 -sm200 128smkg108 . 1p解解 电子的动量电子的动量131smkg200109.1 vmp132smkg108 . 1%01. 0pp动量的不确定范围动量的不确定范围m107 . 3m108 . 11063. 623234phx位置的不确定量范围位置的不确定量范围nm109 2hphp得得：| 422pxm1

17、02310410863241829.).(解：解： 2 xm例：光谱线的自然宽度例：光谱线的自然宽度谱线的自然宽度谱线的自然宽度te2mhz0841.ts810t若原子处于激发态能级的寿命若原子处于激发态能级的寿命则则ev10338 .he例：氦氖激光器发光的波长例：氦氖激光器发光的波长632.8nm, 谱线宽度谱线宽度 , 求求光子沿运动方向的位置不确定量光子沿运动方向的位置不确定量 . nm109例：电子在显像管中的运动例：电子在显像管中的运动加速电压加速电压u=102v，电子准直直径为电子准直直径为0.1mmeuekxpx2kexxemxpp22可看成经典粒子可看成经典粒子m00010.

18、xj106110010611719.20cmeej10198mev/c5110142.kexemp281079 .)(22cmeepcekkj/2mev3097/cm2kev87/cmet222mcs108321 . 奥地利物理学家，奥地利物理学家，1887年年8月月12日出生日出生在奥地利首都维也纳。父亲是漆布厂厂主。在奥地利首都维也纳。父亲是漆布厂厂主。幼年时受到了良好的教育，由于他聪明过人，幼年时受到了良好的教育，由于他聪明过人，基础好，上学时成绩一直名列前茅。基础好，上学时成绩一直名列前茅。23岁时岁时获哲学博士。获哲学博士。1921年受聘于瑞士的苏黎世大年受聘于瑞士的苏黎世大学任数学

19、物理教授，在那里工作了学任数学物理教授，在那里工作了6年，薛年，薛定谔方程就是那时提出的。定谔方程就是那时提出的。1933年。薛定谔年。薛定谔和狄拉克分享了该年度的诺贝尔奖金。薛定和狄拉克分享了该年度的诺贝尔奖金。薛定谔除了在物理，特别是量子力学方面的贡献谔除了在物理，特别是量子力学方面的贡献外，还把量子力学理论应用于生命现象，发外，还把量子力学理论应用于生命现象，发展了生物物理这一边缘科学。他还发表过诗展了生物物理这一边缘科学。他还发表过诗集集。24.3 24.3 薛定谔方程薛定谔方程 ( (量子力学基本原理之二）量子力学基本原理之二）24.3.1.1 24.3.1.1 自由粒子的薛定谔方程

20、自由粒子的薛定谔方程 mpe22具有一定能量和动量的粒子相联系的是一个单色平面波：具有一定能量和动量的粒子相联系的是一个单色平面波：/0,rpetietr质量为质量为m,动量为动量为p,能量为能量为e的自由粒子沿的自由粒子沿x轴运动轴运动其其波函数波函数/ )(0)(20).(pxetipxethieetx2222pxiet利用在非相对论下能量和动量的关系利用在非相对论下能量和动量的关系tixm2222可得可得一维运动自由粒子的一维运动自由粒子的含时含时薛定谔方程薛定谔方程 pixttritrm),(,222- - 自由粒子的自由粒子的含时含时薛定谔方程薛定谔方程三维三维24.3.1. 2 在

21、保守力场中在保守力场中粒子的薛定谔方程粒子的薛定谔方程 ppkempeee222222px()kpi eeiet一维一维可得可得tiexmp2222势场中势场中一维运动粒子一维运动粒子的含时的含时薛定谔方程薛定谔方程 三维三维tiemp222三维势场中三维势场中运动粒子运动粒子的含时的含时薛定谔方程薛定谔方程 2222222zyx讨论讨论: :1) 1) 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设。薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设。2) 2) 薛定谔方程是线性齐次微分方程，保证了态的线性叠加薛定谔方程是线性齐次微分方程，保证了态的线性叠加性在时间进程中保持不变。性在时间进程中保持不变。3) 3)

22、 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；知道初始时刻波薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程；知道初始时刻波 函数，就可以确定以后任何时刻的波函数。函数，就可以确定以后任何时刻的波函数。tiemp22224.3.2.24.3.2.定态薛定谔方程定态薛定谔方程则代入薛定谔方程的一般表达式则代入薛定谔方程的一般表达式 trremtrtip,2,22得：得： tfrtr, 222prif tf terrtm rremrtfdtdtfip2221与时间无关，仅是坐标的函数与时间无关，仅是坐标的函数pe如果如果e令上式两边同时等于一常数令上式两边同时等于一常数 e , e , 则则左边左边: : teft

23、fdtdi ietetfedtitftdf)()(特解特解右边右边: :- - 一般的定态薛定谔方程一般的定态薛定谔方程 rerremp222 ietertfrtr)()(),(edtitftdf)()(令上式两边同时等于一常数令上式两边同时等于一常数 e , e , 则则左边左边: :teftfdtdi ietetf rremrtfdtdtfip2221 tfrtr,e一维一维0)()(2)(222xeemdxxdp 0)(222reemrp xepaxxaxo,00势阱内势阱内ax002222medxd则则0222kdxd其通解其通解势阱外势阱外axx,00)(x（有限条件）（有限条件）三

24、三 一维无限深方势阱问题一维无限深方势阱问题 0)(2222xeemxdxdp kxaxsin22hhoaxep2mepk 令式中式中 a, 为待定系数为待定系数 0, 00, 0aax处在 0, 00) 1要求anmek2与本征值与本征值 en 对应本征函数对应本征函数 0sin) 2kaaankaka0sin aadxxan/2, 1) 320可求用 )0()sin(2axxanaxn（单值，连续条件）（单值，连续条件）（归一化条件）（归一化条件） kxaxsin本征能量 222222282mahnmaneen )sin(xanaxn0n, 2 , 1ne1e2e3e4a0x( )nx4(

25、 )x3( )x2( )x1( )xa0x2( )nx24( )x23( )x22( )x21( )x2222( , )( )sinnn xx txaa势阱内势阱内ax0 )sin(2xanaxn 0 xn阱外阱外0,xxa讨论：讨论：(1) (1) 无限深方势阱中粒子能量量子化无限深方势阱中粒子能量量子化 n n是量子数，是量子数，e en n 是能量本征值，又称能级是能量本征值，又称能级. .(2) (2) 无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀 n n越大越大, ,能级间隔越大。能级间隔越大。基态 22212mae其余称为激发态其余称

26、为激发态(3) (3) 概率密度分布不均匀概率密度分布不均匀当当 n n 时时过渡到过渡到经典力学经典力学在某些极限条件下在某些极限条件下,量子规量子规律可以转化为经典规律。律可以转化为经典规律。量子物理的对应原理量子物理的对应原理2228nn hemae1e2e3e4a0x( )nx4( )x3( )x2( )x1( )xa0x2( )nx24( )x23( )x22( )x21( )x四四 对应原对应原理理在某些极限条件下在某些极限条件下,量子规律可以转化为经典规律量子规律可以转化为经典规律量子物理的对应原理量子物理的对应原理本征能量 222222282mahnmaneen相邻能级间隔相邻

27、能级间隔2218) 12(mahneeenn能级的相对间隔能级的相对间隔nmahnmahneenn288222222时当n0nnee能量连续能量连续量子规律转化为经典规律量子规律转化为经典规律例例五五 一维方势垒一维方势垒 隧道效应隧道效应1. 1. 散射问题和势垒穿透散射问题和势垒穿透定态问题有两种态定态问题有两种态束缚态：束缚态： ( (一维一维 ) x) x时时 , , ( (x)x)0 0，e e u(x), u(x), 离散能量离散能量散射态：散射态： ( (一维一维 ) x) x 时时, , ( (x)x)0 0，能量连续，能量连续对散射问题对散射问题已知粒子能量已知粒子能量 e,

28、 e, 求解定态薛定谔方程解求解定态薛定谔方程解. .- - 粒子受势场作用被散射到个方向去的概率粒子受势场作用被散射到个方向去的概率2 .2 .势垒势垒 隧道效应隧道效应考虑考虑 e eepep0 0 的情况的情况 研究穿透问题研究穿透问题ep(xep(x) )x x0 0a aepep0 0 xepepep0 0 0 0 , , 2112220dmedxh0121122kdxdehmk221202202222peehmdxdehmkp0222e20222222kdxd 0232322ehmdxd0323322kdxd2123kk ue 0)(2222xeemxdxdpep(x)x0aep0

29、0121122kdxd0222222kdxd0323322kdxd 上述各方程的解上述各方程的解 xikxikebeax11111入射入射 反射反射 22222ik xik xxa eb e衰减衰减 33333ik xik xxaebe入射入射 (反射反射)无反射无反射03b求求 a1 ,b1 ,-. 入射波的概率密度入射波的概率密度1133aaaa透射波的概率密度透射波的概率密度连续条件连续条件 020121000 xxdxddxdx axaxdxddxdaaax3232 xikxikebeax11111 xkxkebeax22222 333ik xxae) 1 (2211baba11122

30、2()()(2)ik a bk ab322223(3)ik ak ak aaebeae322222 23 3(4)ik ak ak ak aebkeik ae 由波函数的标准条件：由波函数的标准条件：d穿透系数穿透系数ep(x)x0aep0) 1 (2211baba) 2()()(222111bakbaik322223(3)ik ak ak aaebeae322222 233(4)ik ak ak ak aebk eik ae322222333(3)(4) 2()ik ak akk aek aik a e32232322ik ak akikaeaek)4()3(2k32232322ik ak

31、akikbea ek考虑考虑1)(212aheumak211) 1 (bba22111)() 2(bkbaik1(1)(2)ik1 11222()ik aikk b3212122312311 224ik ak aikkikkkikabe aeikikk3231 /14ikakai fifae eeuekkf02120a 222223302211161pm eeak aha afdedea af0d讨论讨论(1) 设粒子为设粒子为 e ep-e=1ev 则当则当 a = 2x10-10m d 0.44 a = 5x10-10 m d 0.016 质子质子 ep-e = 1ev a = 2x10-

32、10 m d 2x10-38 当当 m, ep-e 及及 a 为微观尺度时为微观尺度时,(特别对于特别对于 e )穿透系数有一定值穿透系数有一定值.若为宏观尺度若为宏观尺度 d 0 势垒穿透势垒穿透(隧道效应隧道效应)是一种微观现象是一种微观现象,是粒子波动性的表现是粒子波动性的表现 .穿透系数穿透系数3212122312311 224ik ak aikkikkkikabe aeikikk3231 /14ikakai fifae e (2) 从经典力学的观点看从经典力学的观点看 022pempe 在势垒区在势垒区,动能为负值动能为负值,动量将为虚数动量将为虚数,(经典理论不允许经典理论不允许,

33、称隧道效应佯缪称隧道效应佯缪).佯缪不存在：能量不能分离成动能和势能佯缪不存在：能量不能分离成动能和势能(测不准关系测不准关系),经经典理论不适用于微观现象典理论不适用于微观现象. (3) 当当 e ep或或e ep 经典经典 粒子一定越过或不越过势垒粒子一定越过或不越过势垒 量子力学量子力学 有透射与反射有透射与反射dxheempeddd220 xdxepab bapdxexemhedd220022pkeempeeep0 势垒穿透隧道效应：势垒穿透隧道效应：粒子将部分被势垒反射粒子将部分被势垒反射, 部分穿透势垒部分穿透势垒, - 隧道效应或势垒贯穿隧道效应或势垒贯穿20add e隧道特征长

34、度隧道特征长度eu0a隧道效应已完全被实验证实隧道效应已完全被实验证实, 并制成并制成扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜例例对电子计算对电子计算m=9.110-31kgsj34101 . 1jeveep1901085则对不同的势垒宽度则对不同的势垒宽度a,d的数量级的数量级)(0aa1.0 2.0 5.0 10.0d0.1 1.210-2 1.710-5 3.010-1001.aa每 增 加， d 减 少 一 个 数 量 级heemapedd022000deep穿透系数，但虽然)(20eemp扫描隧道显微镜年由扫描隧道显微镜年由g.binigg.binig 和和h.rohrer h.rohrer 首

35、先研制成功首先研制成功 针尖非常尖锐针尖非常尖锐, ,接近原子尺寸接近原子尺寸. . 针尖与表面接近到零点几毫米时针尖与表面接近到零点几毫米时, ,电子波电子波 函数重叠函数重叠, ,若加一小的直流电位差若加一小的直流电位差, ,出现出现 隧道电流隧道电流 i ,i ,电流对针电流对针尖尖 表面距离表面距离 d d 十分敏感十分敏感, d , d 增加增加0.1 nm , i 0.1 nm , i 减小一个数量级减小一个数量级. .保持保持 i i 不变不变, ,针尖的轨道提供了表面电子云分布或原子分布状针尖的轨道提供了表面电子云分布或原子分布状况况. .横向分辨率达到横向分辨率达到 0.1

36、nm, 0.1 nm, 纵向分辨率达到纵向分辨率达到 0.001 nm0.001 nm可以分辨出表面单个原子和原子台阶可以分辨出表面单个原子和原子台阶, ,原子结构原子结构, ,超晶格结超晶格结构构, ,表面缺陷细节表面缺陷细节, ,观测活体观测活体 dna dna 基因基因, ,病毒病毒. .六六 谐振子谐振子1. 1. 线性谐振子定态薛定谔方程线性谐振子定态薛定谔方程 mkkxxmxep,2121222势能 xexxedxdmp2222xm,令0222dd xexxmdxdm22222212mx122221dmddx22221mx emmddmm22222212 edd22222 edd2

37、222e2令2. 波函数波函数 在在 的渐进行为的渐进行为很大时，很大时， 20222dd取取3. 满足束缚态边界条件的级数解满足束缚态边界条件的级数解22 e其解22 e ue22代入方程，代入方程， 得到得到 u( ) 所满足的厄米微分方程：所满足的厄米微分方程：01222uuddudd0222dd通解可写成通解可写成 发散因而的渐进解xeu,2u( ) 必须中断为必须中断为有限项多项式有限项多项式,必要条件必要条件 =2n+1(奇数奇数) , n=0,1,2,- 221eddehunnnn- 厄米多项式厄米多项式 12016032,124816128, 24,2, 1355244332210hhhhhh4. 能量本征值的零点能能量本征值的零点能12,2ne01222uuddudd21nen零点能零点能(基态能量基态能量)为为:210e5. 能量本征函数和宇称能量本征函数和宇称线性谐振子定态波