电动力学零二数学准备

1、电动力学零二数学准备1附录附录 数学准备数学准备(二二)矢量代数矢量代数 梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度 关于散度和旋度的一些定理关于散度和旋度的一些定理 算符运算公式算符运算公式 曲线正交坐标系曲线正交坐标系轴对称情形下拉普拉斯方程的通解轴对称情形下拉普拉斯方程的通解并矢和张量并矢和张量电动力学零二数学准备2321,uuu321 , ,eee在一般曲线正交坐标系中，空间一在一般曲线正交坐标系中，空间一点点P的位置，用三个坐标表示的位置，用三个坐标表示5. 曲线正交坐标系曲线正交坐标系沿这些坐标增加方向的单位矢量沿这些坐标增加方向的单位矢量单位矢量按一定规则单位矢量按一定规则改变方向改变方向

2、电动力学零二数学准备3 y f x r sincosryrx xyyxrarctan22 cossinsincoseeeeeeryrx yxeyex cossinsincoseeeeeeryrx yryryxrxrx cos ,sinsin ,cos rxxryyrryxrxxr ererr 以极坐标为例以极坐标为例电动力学零二数学准备4333222111dd ,dd ,dduhluhluhl 在在P点上任一矢量可以写为点上任一矢量可以写为332211efefeff 沿这三个方向的线元沿这三个方向的线元电动力学零二数学准备5在曲线正交坐标系中有一般公式在曲线正交坐标系中有一般公式3332221

3、11111euheuheuh 3213213213213211fhhufhhufhhuhhhf电动力学零二数学准备6 3112221212331113131223332321 1 1efhufhuhhefhufhuhhefhufhuhhf 33213221321132132121uhhhuuhhhuuhhhuhhh 电动力学零二数学准备7常用的曲线正交坐标系：常用的曲线正交坐标系：（1）柱坐标系）柱坐标系1, 1321321 hrhhz,ur,uu电动力学零二数学准备8 zrzrrzefrrfrrerfzfezffrf 11122222211zrrrrr zffrrfrrfezererzrzr

4、 111电动力学零二数学准备9（2）球坐标系）球坐标系rr,h,hh,ur,uusin1321321 sin1sinsin11sin1122 frfrfrrrferererrr电动力学零二数学准备1022222222sin1sinsin11 rrrrrr efrfrrerfrfreffrfrrr 1 sin11sinsin1rr,h,hh,ur,uusin1321321 电动力学零二数学准备116. 轴对称情形下拉普拉斯方程的通解轴对称情形下拉普拉斯方程的通解 在轴对称情形下，拉普拉在轴对称情形下，拉普拉斯方程用球坐标表示为斯方程用球坐标表示为0sinsin12 rrr电动力学零二数学准备12

5、用分离变量法解此方程。设用分离变量法解此方程。设 rRr, dddddrdRrdrdRsinsin112此式左边为此式左边为r的函数，右边为的函数，右边为的函数，只的函数，只有当它们都等于常数时才有可能相等。有当它们都等于常数时才有可能相等。电动力学零二数学准备13令此常数为令此常数为n(n+1), 则得两个方程：则得两个方程：0)1(2 RnndrdRrdrd0sin)1(sin nndddd电动力学零二数学准备14容易求出解容易求出解1 nnnnrbraRnnba ,为任意常数，由边为任意常数，由边界条件确定界条件确定电动力学零二数学准备15作代换变换角度方程作代换变换角度方程 cos 0

6、)1(12 nndddd 电动力学零二数学准备16上式称为勒让德方程，只有当上式称为勒让德方程，只有当n为整数时为整数时才存在才存在-1 1区间的有限解，其解称为区间的有限解，其解称为勒让德多项式，记为勒让德多项式，记为 cosnP 得通解得通解 cos,01nnnnnnPrbrar 电动力学零二数学准备17用简单方法求出用简单方法求出Pn(cos )的显示式的显示式:r1 当当r0时点电荷电势为拉普拉斯方程的解。时点电荷电势为拉普拉斯方程的解。将下式描述的电势代入即可验证将下式描述的电势代入即可验证电动力学零二数学准备18对拉普拉斯方程作用算符对拉普拉斯方程作用算符z 022 zz z nn

7、z 为一解为一解,若若亦为一解亦为一解亦为解亦为解电动力学零二数学准备19因此，拉普拉斯方程具有特解因此，拉普拉斯方程具有特解,1r,cos1123 rrzrz ,1cos31312352222 rrrzrz这些特解都具有形式这些特解都具有形式 cos11nnPr 电动力学零二数学准备20 cos,01nnnnnnPrbrar 比较并按习惯定义所选的常数因子，得比较并按习惯定义所选的常数因子，得 cos3cos521cos1cos321coscoscos1cos232210 PPPP电动力学零二数学准备21可以证明可以证明Pn(cos )的一般表达式为的一般表达式为 nnnnnddnP1cos

8、cos!21cos2 电动力学零二数学准备227. 并矢和张量并矢和张量一般一般, 两矢量两矢量ab并列即为并矢并列即为并矢 n f 并矢是张量的一种特殊情形，为什么引入并矢并矢是张量的一种特殊情形，为什么引入并矢? 即为并矢即为并矢nnfnnf )(nn一变形物体在外力作用下其各部一变形物体在外力作用下其各部分有内力相互作用。为研究其内分有内力相互作用。为研究其内力，将变形物体沿某个截面切开，力，将变形物体沿某个截面切开，切面的法向单位为切面的法向单位为n。在截面上。在截面上某一点单位面积上作用的力矢量某一点单位面积上作用的力矢量为为f。 f 对截面的拉伸：对截面的拉伸：电动力学零二数学准备

9、23332313322212312111BABABABABABABABABAABBA 并矢：两矢量并列，不做任何运算并矢：两矢量并列，不做任何运算 有有9个分量个分量电动力学零二数学准备24以动量流密度以动量流密度T 来说来说明张量的意义明张量的意义设设ABC为一面元为一面元 S，这面元的三个分量分这面元的三个分量分别等于别等于OBC，OCA和和OAB的面积。的面积。OABC是一个体积元是一个体积元 V 。电动力学零二数学准备25通过界面通过界面OBC单位面积单位面积流入体内的动量流入体内的动量三个分量为三个分量为T11 ，T21 ， T31 通过界面通过界面OCA单位面积单位面积流入体内的流

10、入体内的动量三个分量为动量三个分量为T12 ，T22 ， T32通过界面通过界面OAB单位面积单位面积流入体内的动流入体内的动量三个分量为量三个分量为T13 ， T23 ，T33电动力学零二数学准备26333232131332322212123132121111SSSpSSSpSSSp 当体积当体积 V 0时，通过这时，通过这三个面流入体内的动量等三个面流入体内的动量等于从面元于从面元ABC流出的动量。流出的动量。因此，通过因此，通过ABC面流出的面流出的动量各分量为动量各分量为电动力学零二数学准备27写成矢量形式为写成矢量形式为T Sp这就是通过面这就是通过面元元 s 流出的动流出的动量。则

11、通过闭量。则通过闭合曲面内流出合曲面内流出的总动量为的总动量为 TdS张量张量T 的分量的分量Tij的意义的意义：通过通过 垂直于垂直于 j 轴的单位面积轴的单位面积流过的流过的 动量动量 i 分量分量。电动力学零二数学准备28 x y z 333232131332322212123132121111Tnnnpnnnpnnnp 单位面积内力矢量单位面积内力矢量电动力学零二数学准备29张量是具有张量是具有9个个分量的物理量分量的物理量当这当这9个分量在坐标系转动下按一定方式个分量在坐标系转动下按一定方式变换时，由它们组成的物理量就称为张变换时，由它们组成的物理量就称为张量。并矢是张量的一种特殊情

12、形。量。并矢是张量的一种特殊情形。333231232221131211TTTTTTTTT电动力学零二数学准备30可参考可参考平面向量平面向量(二维二维, 2个分量个分量)的旋转变换的旋转变换空间向量空间向量(三维三维, 3个分量个分量)的旋转变换的旋转变换 cossinsincosyxyyxx yxyx cossinsincos x x y y 电动力学零二数学准备31333222111coscoscoscoscoscoscoscoscos zyxxzyxyzyxx zyxzyx333222111coscoscoscoscoscoscoscoscos Ox与与Ox轴、轴、Oy轴、轴、Oz轴夹角

13、轴夹角 1、 1、 1Oy与与Ox轴、轴、Oy轴、轴、Oz轴夹角轴夹角 2、 2、 2Oz与与Ox轴、轴、Oy轴、轴、Oz轴夹角轴夹角 3、 3、 3电动力学零二数学准备32一般张量可以写为一般张量可以写为jiijeeTT （i,j=1，2，3)332211eeeeeeI 三个对角分量为三个对角分量为1，其它分量为，其它分量为0。单位张量单位张量电动力学零二数学准备33321,eee333323231313323222221212313121211111 eeBAeeBAeeBAeeBAeeBAeeBAeeBAeeBAeeBABA 可以作为张量的可以作为张量的9个基个基jieeijT直角坐标系直角坐标系的单位基矢的单位基矢是在这是在这9个基上的分量个基上的分量电动力学零二数学准备34)()(BACCBA 并矢与矢量的点乘是一个矢量。并矢与矢量的点乘是一个矢量。（2）张量的代数运算）张量的代数运算 )()(CBACBA BACBAC)()( 并矢与矢量的点乘规则：并矢与矢量的点乘规则：一般而言一般而言电动力学零二数