一类数列求和公式的推广.doc

1、一类数列求和公式的推广武汉市江夏区一中李新桥在高中数学“数列”这一章，我们经常用到数列an= n 2 的前n 项和公式，即Sn = 12 + 22 + 32 + + n2 =1an = n3 的前 n6 n(n+1)(2n+1)，同时也会用到数列项和公式，即 Sn = 13 + 23 + 33 + + n3 =14 n2(n+1)2如果将通项的次数升高，例如 an = n4，an = n5或an = nm，其前 n 项的和又将怎样求呢？这是一个有趣的数学问题，我们不妨先求 an = n 4的前 n 项和，看看能不能得到什么启示。构造等式： (k+1)(k+2)(k+3)=k 4+6k 3 +1

2、1 k 2+6k1又 k(k+1)(k+2)(k+3)=5 k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4） -(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3) k(k+1)(k+2)(k+3)= ( k 4 +6 k 3 +11 k 2 +6k)= k 4 +6 k 3 +11 k 2 +6 k= k 4 +33129n(n+1)2n 2 + 6n +61又 k(k+1)(k+2)(k+3)=5 k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4） -(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)=15 (1 2 3 4 5-0)+(2 34 5 6-1 2 34 5)+ n(n+1)(n+2)(n+3) （ n

3、+4）-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)=1n(n+1)(n+2)(n+3)（ n+4）5 k 4133129= 5n(n+1)(n+2)(n+3)（ n+4）- n(n+1)2 n2 + 6n +6 11n2 +3n -1)= 15 n(n+2 )(n+1)(3由以上的解法可以得到一些启示，即这种形式的一类数列求和问题，能否都可以采用前后各添一项的办法，裂成相邻连续自然数之积的差，以便于前后相互抵消呢？我们再用这种方法来试一试an = n 5的前 n 和 .构造等式： k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4）=k 5 +10 k 4 +35 k3 +50 k 2 +24k1又k

4、(k+1)(k+2)(k+3)（k+4）=6k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4）(k+5)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4） = k 5+10 k4+35 k 3+50 k 2 +24 k= 47103k 5 +n(n+1)2 n3 + 4 n2+ 4 n+20又 k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4） =1 k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4 ）6(k+5)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=1(1 2 3 4 5 6-0)+(2 3 4 5 6 7-16 2 3 4 5 6)+ n(

5、n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=16 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)1 k 5 = 6 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)-n(n+1)24710312(2 n 2 +2n-1)n3 + 4 n2 +4 n+20 = 12 n2(n+1)an = nm因此，这种方法对于m=5也成立，故可以推广到数列(m N*) 的求和之中。构造等式： k(k+1)(k+2)(k+m-1)=k m +Cm2 k m1+(m-1)！ k又 k(k+1)(k+2)(k+m-1)=(m+1)1 k(k+1)

6、(k+2)(k+m-1)(k+m)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+m-1)k(k+1)(k+2)(k+m-1)=(m+1)1k(k+1)(k+2)(k+m-1)(k+m)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+m-1)= (m+1)1 n(n+1)(n+2)(n+m) k m =(m+1) 1 n(n+1)(n+2)(n+m)- Cm2 k m 1+ +(m-1) ！ k当 k m 1， k m 2 k 2 ， k 都求出时，再按照这种构造等式的方法，两次用不同的手段对同一数列求和，便可以求出Sn = k m=1 m +2 m +n m =(m+1) 1 n(n+1)(n+2)(n+m

7、)- Cm2 k m1 + +(m-1) ！ k,这样便推广到数列 an = nm的前 n 项和公式。n（说明：为了书写简便，以上符号均表示数列前n 项和 k 1）参考文献：全日制普通高级中学教科书. 数学第一册上（必修），人民教育出版社作者简介：李新桥男 32 岁 中学一级教师2005.3清代 “红顶商人 ”胡雪岩说：“做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。”可见，一个人的心胸和眼光，决定了他志向的短浅或高远；一个人的希望和梦想，决定了他的人生暗淡或辉煌。人生能有几回搏，有生不搏待何时！所有的机遇和成功，都在充满阳光，充满希望的大道之上！我们走过了黑夜，就迎来了黎明；走过了荆棘，就迎来了花丛；走过了坎坷，就走出了泥泞；走过了失败，就走向了成功！一个人只要心存希望，坚强坚韧，坚持不懈，勇往直前地去追寻，去探索，去拼搏，他总有一天会成功。正如郑板桥所具有的人格和精神：“咬定青山不放松，立根原在破岩中。千磨万击还坚劲，任尔东南西北风。”梦想在，希望在，人就有奔头；愿奋斗，勇