精心整理)特殊四边形的辅助线

1、特殊四边形的辅助线一、分割面积1. （2005*郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）.（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，AADE. ABCE和ACDE的而积之间有着怎样的关系？证明你的结论.（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ ABCD是平行四边形呢?（1）中的结论还成立吗？谙说明理由.二. 补全线段补全线段，如三角形中的五线（角平分线，中线，中垂线，垂线，中位线人四边形的对角线。2. （2008-山西）如图，已知AABC是等边三角形，D、E分別在边BC、AC上，且CD二CE,连接DE并延长至点 F,使 EF二AE,连接 AF、

2、BE 和 CF.（1）请在图中找岀一对全等三角形，用符号“旦”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由：（3）若AB二6, BD二2DC,求四边形ABEF的而积.3. （2007常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6,菱形EFGH的三个顶点E, G, H分别在正方形ABCD边 AB, CD, DA 上，AH=2,连接 CF（1）当DG二2时，求AFCG的而积：（2）设DG=x,用含x的代数式表示AFCG的面积；（3）判断AFCG的而积能否等于1,并说明理由.4. （2007莆阳）在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN丄AB分别交AB, CD于松N,连接BE

3、交MN于点0,过0作0P丄BE分别交AB, CD于P, Q.探究：（1）如图，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE, MP, NQ的长度，猜测AE与MP+NQ 之间的数量关系，并证明你所猜测的结论：探究：（2）如图，若点E在DA的延长线上时，AE, HP, NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论： 再探究：（3）如图，连接并延长BN交AD的延长线DG于H,若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在 图中完成符合题意的图形，并判断AE, HP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写岀结论.图中线5. 在ZjABCD 中，BC二2AB, CE丄AB 于 E, F 为 AD 的中点，ZAEF

4、=54 ,则 ZB二6. （201P鞍山）已知如图，D是ABC中AB边上的中点，AACE和ABCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF.求证：DE二DFE中位线7. （2013*沙坪坝区模拟）如图，ZJABCD中，AC与BD相交于点0, ZABD二2ZDBC, AE丄BD于点E.（1）若ZADB二25 ,求ZBAE 的度数；（2）求证：AB=20E.垂线8. （2013宁夏）在6LBCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE丄AB,交AD于E,连结CE, CP.已知ZA=60 :（1）若BC二8, AB二6,当AP的长为多少时，ACPE的而积最大，并求出面积的最大值.（2

5、）试探究当厶CPEACPB时，口迢CD的两边AB与BC应满足什么关系？角平分线9. （2007*哈尔滨）如图1,在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E, AF平分ZBAC,交BD于点F.（1）求证：EFAC二AB：2（2）点G从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A：从点A出发，沿着BA的延长线 运动，点G与A：的运动速度相同，当动点C：停止运动时，另一动点打也随之停止运动.如图2, AN平 分ZBAG,交BD于点F”过点F,作FE丄AC，垂足为E”请猜想EF，丄人6与AB三者之间的数量关2系，并证明你的猜想：（3）在（2）的条件下，当AE=3, CE二2时，求BD

6、的长.CD正方形对角线10. （2005-湖州）如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则担 （结果不取近似值）11. （2009-r州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与 GH交于点P.（1）若 AG二AE,证明：AF=AH；（2）若ZFAH=45 ,证明：AG十AE二FH：（3）若RtAGBF的周长为1,求矩形EPHD的而积.A ED12（2011-防城港）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方 形AEFG,线段EB和GD相交于点H.（1）求证:EB二GD：（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理

7、由：（3）若 AB二2, AG=VZ，求 EB 的长.13（2014安徽）如图1,正六边形ABCDEF的边长为/ P是BC边上一动点，过P作PM/7AB交AF于吐 作PN/7CD交DE于N（1） ZMPN二:求证：PM+PN=3a：（2）如图2,点0是AD的中点，连接OM、ON,求证：0M二ON：（3）如图3,点0是AD的中点，0G平分ZM0N,判断四边形OMG是否为特姝四边形？并说明理由.D三、制造全等三角形14（2012-重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点乩 过M作ME丄 CD 于点 E, Z1=Z2.（1）若CE二,求BC的长：（2）求证：AM二

8、DF+HE.15. （2014-南平）在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长 线上.（1）如图1, AABC和AAPE均为正三角形，连接CE. 求证：ABP9ZXACE. ZECH的度数为 .（2）如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE.则ZECM的度数为 .如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE.则ZECM的度数为 .（3）如图4, n边形ABC和n边形APE均为正n边形，连接CE,请你探索并猜想ZECM的度数与正多 边形边数n的数量关系（用含n的式子表示ZECM的度数），并利用图4 （放大后的局部

9、图形）证明你 的结论.图1图2H16. 已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF二DE.(1) 如图1,判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；(2) 如图2,对角线AC与BD交于点0BD, AC分别与AE, BF交于点G,点H. 求证：0G二0H： 连接0P,若AP二4, 0P=V2，求AB的长.17已知 RtAABC 和 RtZXADE, ZACB二ZAED二90 , ZBAC二ZDAE二30 , P 为线段 BD 的中点，连接 PC, PE.(1) 如图b若AC二AE, C.A.E依次在同一条直线上，则ZCPE二:PC与PE存在的等疑关系是（

10、2）如图2,若ACHAE, C. A. E依次在同一条直线上，猜想ZCPE的度数及PC与PE存在的等量关系，并写出你的结论：（不需要证明）:（3）如图3,在图2的基础上，若将RtAADE绕点A逆时针任意旋转一个角度，使C、A、E不在一条直线上,图1图2图318. （2009-临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点.Z AEF二90 ,且EF交正方形外角ZDCG的平分线CF于点F,求证：AE二EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,则AM二EC,易证 AME仝AECF,所 以AE二EF在此基础上，同学们作了进一步的研究

11、：（1）小颖提岀：如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上（除B, C外）的任意一点”， 其它条件不变，那么结论“AE二EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程： 如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，英他条件不变，结论“AE二EF”仍 然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由.19. （2012-深圳）如图，RtAABC中，ZC二90 ,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于 点0,连接0C,已知AC二5, 006/5，则另一直角边BC的长为7四. 构

12、造四边形，等腰三角形构造平行四边形20. （2008-旅顺口区）两个全等的三角形如下图所示放世，点B、A、D在同一直线上.操作：在图中，在CB边上截取CM二AB,连接DH,交AC于N请探究ZAND的大小，并证明你的结论.21则在/JABCD中，ZBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.若ZABC=120 , FGCE, FG二CE, 分别连接DB、DG、BG, ZBDG的大小是（）AD22. 如图，已知6BCD中，DE丄BC于点E, DH丄AB于点乩AF平分ZBAD,分别交DC、DE、DH于点F、G. M, 且DE二AD（1）求证：AADGAFDM（2）猜想AB与DG+CE之间有何数

13、量关系，并证明你的猜想.23. （2010-本溪）我们给出如下泄义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：（1）写岀你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称：（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条 对角线的大小关系，并证明你的结论.参考答案一、分割面积7. （2005郴州）附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）.（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，AADE. ABCE和ACDE的而积之间有着怎样的关系？证明你的（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然

14、成立？为什么？ ABCD是平行四边形呢?（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.考 正方形的性质；矩形的性质：梯形.点：专压轴题：探究型.题：分 正方形，矩形，平行四边形图形中的三个三角形都是等高的三角形，它们的面积关系，就要看底边的关 析：系了，由于AE+EB=CD,所以SaAde+Sabce=SaCde在这三个图形中都成立：梯形不具备这一特征，就 不一定成立.解解：Saade+Sabce=Sacde答：方法1：同底同高Saade+Sabce-aEXX AD二（AE+EB）二X AB二 SADEC方法2：因为过E作EFBC交DC于F,贝9四边形AEFD和EBCF是

15、矩形 所以 S小aed=Saefd，Saebc=Saefc所以 S厶ADE+SABCE=Sr.EFD+SEFC=S厶DEC 四边形ABCD是矩形时（1）中结论成立，方法同上 当四边形ABCD是平行四边形时，结论还是成立. 当四边形ABCD是梯形时，中结论当E点为AB中点时成立，英它情况不成立不成立.理由如下：设 Sz.ADE=S1, SaBCE=S2 SaDEC=S3,梯形ABCD底为ib下底为b而积为S,如图.则%誌bh； S2ah2S3=S-S2（a+b）（切也）_*血-轲广* （ahq+bh?）如果 Saade+Sabce=Sadec 则有丄（bhj= （ah j 4-bh2），a（hi

16、-h2）=b （hi - hz）.2 2如果hi=h2则E为AB中点，如果hiHh2,则世b,四边形ABCD是平行四边形.点评:解答本题要充分利用正方形、矩形,平行四边形的对边相等的性质：观察图形的底与髙的关系，利用等底，等髙的两个三角形而积相等,确左三角形的而积关系.二、补全线段补全线段，如三角形中的五线（角平分线,中线，中垂线，垂线，中位线），四边形的对角线。5. （2008-山西）如图，已知AABC是等边三角形，D. E分别在边BC、AC上，且CD二CE,连接DE并延长至点 F,使 EF二AE,连接 AF、BE 和 CF.（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“仝”表示，并加以证明；（

17、2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB二6, BD二2DC,求四边形ABEF的而积.考点：平行四边形的判左：全等三角形的判泄.专题：证明题：压轴题.分析：（1）从图上及已知条件容易看出 BDEAFEC, ABCEAFDC, AABEAACF.判左两个三角形全 等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找岀相等的边.（2）由（1）的结论容易证明ABDF, BDAF,两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（3）EFAB, EFHAB,四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的而积即可.解答：解：（1）（选证一）BDEZkFEC证明：.ABC是等边三角形，BC二AC, ZACB二60

18、 度.TCD 二 CE,A AEDC是等边三角形.DE二EC, ZCDE=ZDEC=60ZBDE二ZFEC二 120 度.又 VEF=AE,BD 二 FEAABDEAFEC （选证二）BCE/kFDC 证明：.ABC是等边三角形，BC二AC, ZACB二60 度.又 TCD 二 CE,EDC是等边三角形.ZBCE二ZFDC二60 , DE=CETEF 二 AE,EF+DE 二 AE+CE.FD 二 AC 二 BC AABCEAFDC （选证三）ZABE仝 ZXACF.证明：ABC是等边三角形， AB二AC, ZACB= ZBAC二60 度.TCD二CE, EDC是等边三角形. ZAEF二 ZC

19、ED二60 度.TEF二AE, AAEF是等边三角形AE二AF, ZEAF=60 度.AAABEAACF.（2）四边形ABDF是平行四边形.理由：由（1）知，AABC、AEDC. ZkAEF都是等边三角形. ZCDE=ZABC=ZEFA=60 度.ABDF, BD/7AF.四边形ABDF是平行四边形.（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形.EFAB, EFHAB .四边形ABEF是梯形.过E作EG丄AB于G,则EG二2価S N 边形 gr ）EG（AB+EF） X2a/3 x（6+4） =10a/32点评：此题考查了全等三角形的判怎，平行四边形的判立，及梯形而积的求解，用到的知识点比较多

20、，较复 杂.22. （2007常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6,菱形EFGH的三个顶点E, G, H分别在正方形 ABCD 边 AB, CD, DA 上，AH=2,连接 CF（1）当DG=2时，求AFCG的而积：（2）设DG=x,用含x的代数式表示AFCG的而积；（3）判断AFCG的而积能否等于1,并说明理由.考点：正方形的性质；全等三角形的判左与性质；菱形的性质.专题：计算题：压轴题：探究型.分析：(1)要求AFCG的而积，可以转化到而积易求的三角形中，通过证明厶DGHACFG得岀.(2) 欲求AFCG的而积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明厶AHEAMFG 可得

21、；(3) 若 SAFCG=b 由 SaFcg=6 - X,得 x=5,此时，在DGH 中，HGfjQT相应地，在AAHE 中,AE=a/ 37$,即点E己经不在边AB上.故不可能冇Safcg=1 解答：解：(1) 正方形ABCD中，AH=2tDH=4,VDG=2,.HG=2j 即菱形EFGH的边长为25.在AAHE和厶DGH中，VZA=ZD=90% AH=DG=2, EH=HG=2屈AAAHEADGH (HL),AZAHE=ZDGH,VZDGH+ZDHG=90,AZDHG+ZAHE=90% ZGHE=90%即菱形EFGH是正方形，同理可以证明 DGH9ACFG,A ZFCG=90,即点F在BC

22、边上,同时可得CF=2,从而Shcg丄4x2=4(2分)2(2)作FM丄DC, M为垂足，连接GE,VAB/7CD,ZAEG=ZMGE,HEGF,ZHEG=ZFGE,ZAEH=ZMGF在公AHE和MFG中，rZA=ZMZAEH=ZFGNHE 二 FGAHE仝MFG (AAS),AFM=HA=2,即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为疋值2.因此 Sg寺 2X 由（2）知 S厶fcg=6 x,得 x=5,在DGH 中.HG=VLAEAAHE中，AE=6,即点E已经不在边AB上.不可能有Safcg=1.（9分）另法：.点G在边DC上，菱形的边长至少为DH=4,当菱形的边长为4时：.

23、点E在AB边上且满足AE=23，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，HE的长（即菱形的边长） 将逐渐变大，.最大值为HE=2V10.此时，DG=2麻,故 0x （4 分）VZPQr Q=ZBAE=90% QQf 二AB,AABAEAQQ，P（5 分）Q P=AE,Q P=MP+Qz M=MP+NQ,AAE=MP+NQ（6 分）（2）如图，若点E在DA的延长线上时，结论AE=QN - MP. （8分）（3）如图，若点Ei在线段DH上时，结论：AEi二MPi+NQi（10分）若点E2在射线HG上时，结论：AE2=MP2 - NQ2（12分）图图图点评：本题考查全等三角形的判左左理以及正方形的性质的综

24、合运用.中线9.（重点题）在口ABCD 中，BC二2AB, CE丄AB 于 E, F 为 AD 的中点，ZAEF二54 ,则ZB二 72考点：平行四边形的性质：等腰三角形的性质：直角三角形斜边上的中线.专题：压轴题.分析：过F作AB、CD的平行线FG,由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即RtABCE斜边上的中点， 由此可得BC二2EG二2FG,即AGEF、ABEG都是等腰三角形，因此求ZB的度数，只需求得ZBEG的 度数即可：易知四边形ABGF是平行四边形，得ZEFG二ZAEF,由此可求得ZFEG的度数，即可得 到ZAEG的度数，根据邻补角的定义可得ZBEG的值，由此得解.解答：解：过F

25、作FGABCD,交BC于G：则四边形ABGF是平行四边形，所以AF二BG,即G是BC的中点：BC二2AB,为 AD 的中点，BG 二 AB 二 FG 二 AF,连接EG,在RtABEC中，EG是斜边上的中线，则BG二GE二FG）BC；2VAE/7FG, ZEFG二ZAEF二ZFEG二54 ,ZAEG二ZAEF+ZFEG二 108。,ZB二ZBEG二 180 -108。=72 点评：此题主要考査了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判泄和性质，正确地构造出 与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键.20(2011鞍山)已知如图，D是AABC中AB边上的中点，AACE和ABCF分别是以

26、AC、BC为斜边的等腰直 角三角形，连接DE、DF.求证：DE二DF.考点：平行四边形的判左与性质：全等三角形的判泄与性质：直角三角形斜边上的中线.专题：证明题：压轴题.分析：分别取AC、BC中点M、N,连接MD、D,再连接EM、FN,利用在直角三角形中：直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半和已知条件证明四边形MDNC为平行四边形，再利用平行四边形的性质和 已知条件证明 EMDADNF即可.解答：证明：分别取AC、BC中点M、N,连接皿、ND,再连接EH、FN,D 为 AB 中点，ZAEC=90 , ZBFC二90 ,VD是AABC中AB边上的中点, DN是AABC的中位线. dnAc,2.

27、EM二D)AC, FN二MD)BC,2 2VDN/7CM 且 DN=CM,.四边形MDNC为平行四边形，A ZCMD=ZCND V ZEMC=ZFNC=90 , ZEMC+ZCMD 二 ZFNC+ZCND, 即 ZEMD=ZFND,EMD仝DNF (SAS) DE 二 DF 点评：本题考查了平行四边形的判左和性质、全等三角形的判左和性质以及直角三角形的性质：直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半，题目难度中等综合性不小.中位线12(2013*沙坪坝区模拟)如图，6BCD中，AC与BD相交于点0, ZABD二2ZDBC. AE丄BD于点E.(1) 若ZADB二25 ,求ZBAE 的度数；(2)

28、求证：AB二20EAD考点：平行四边形的性质：直角三角形斜边上的中线：三角形中位线泄理.专题：压轴题.分析：（1）根据平行四边形的对边平行可得ADBC,再根据两直线平行，内错角相等可得ZDBC二ZADB, 然后求岀ZABD,再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出ZBAE；（2）取AB的中点F,连接EF、OF,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF二BF）AB,2 根据等边对等角可得ZABXZBEF,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可 得OFBC,根据两直线平行，内错角相等可得ZDBC二ZE0F,然后根据三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和求出ZEF0二

29、ZE0F,再根据等角对等边可得EF二0E,从而得证.解答：（1）解：在彷BCD中，ADBC, ZDBC 二 ZADB,V ZABD=2ZDBC, ZADB=25 ,ZABD二2X25 =50 ,VAEXBD,ZBAE二90 - ZABD=90c 50 二40 :（2）证明：如图，取AB的中点F,连接EF、0F,VAEXBD,.EF 二 BFAB,2 ZABD 二 ZBEF,VA0=C0,.OF是 ABC的中位线，OFBC, ZDBC 二 ZE0F,根据三角形的外角性质，ZBEF二ZEF0+ZE0F,又 J ZABD二2ZDBC, ZEF0=ZE0F,EF 二 0E, oeAb,2点评：本题考查

30、了平行四边形的对边平行，对角线互相平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和的性质，作辅助线是解题的关键.垂线20. （2013-宁夏）在6BCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE丄AB,交AD于E,连结CE, CP.已知ZA二60 :（1）若BC二8, AB二6,当AP的长为多少时，ACPE的而积最大，并求出而积的最大值.（2）试探究当厶CPEACPB时，口ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？考点：四边形综合题.专题：计算题：压轴题.分析：（1）延长PE交CD的延长线于F,设AP=

31、x, ACPE的而积为y,由四边形ABCD为平行四边形，利用 平行四边形的对边相等得到AB二DC, AD二BC,在直角三角形APE中，根据ZA的度数求出ZPEA的 度数为30度，利用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半表示岀AE与PE,由AD-AE 表示出DE,再利用对顶角相等得到ZDEF为30度，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示 出DF,由两直线平行内错角相等得到ZF为直角，表示出三角形CPE的而积，得出y与x的函数 解析式，利用二次函数的性质即可得到三角形CPE面积的最大值，以及此时AP的长：（2）由厶CPEACPB,利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到BC=CE,

32、ZB=ZPEC=120 , 进而得出ZECD二ZCED,利用等角对等边得到ED二CD,即三角形ECD为等腰三角形，过D作DM垂 直于CE, ZECD二30 ,利用锐角三角形函数泄义表示岀cos30 ,得岀CM与CD的关系，进而得 出CE与CD的关系，即可确定岀AB与BC满足的关系.解答：解：（1）延长PE交CD的延长线于F,设AP二x, ACPE的而积为y,四边形ABCD为平行四边形，.AB二DC二6, AD二BC二8,VRtAAPE, Z A二60 ,.ZPEA二30 ,.AE二2x, PE=V3x在 RtADEF 中，ZDEF二ZPEA二30 , DE二AD - AE二8 - 2x,DfA

33、e二4 - X,2VAB/7CD, PF丄AB,PF 丄 CD,S5PECF,配方得：y二坐（5） +空捶（0WxW4）,2 2当只二4时，y有最大值为12即AP的长为5时，ACPE的而积最大，最大而积是12岛：(2)当厶CPEACPB 时，有 BC二CE, ZB二ZPEC二 120 , ZCED二 180 - ZAEP - ZPEC=30 ,V ZADC=120 ,A ZECD=ZCED=180 - 120 - 30 二30 ,.DE二CD,即ZEDC是等腰三角形，过D作DM丄CE于M,则CM二Le,2在 RtACMD 中，ZECD=30 ,2CE=V5cD,TBC二CE, AB二CD,BC

34、 二届B，则当ACPE仝ACPB时，BC与AB满足的关系为BC=V盈.BC点评：此题考查了四边形的综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，平行 线的判圧与性质，以及二次函数的性质，是一道多知识点综合的探究题.角平分线25(2007哈尔滨)如图1,在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E, AF平分ZBAC,交BD于 点F.(1) 求证：ef+1ac=ab：(2) 点Ci从点C出发，沿着线段CB向点B运动(不与点B重合)，同时点Ai从点A岀发，沿着BA的 延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C停止运动时，另一动点A1也随之停止运动.如图2, AiFi平分

35、ZBAiCi,交BD于点Fi,过点Fi作F1E】丄AiCi,垂足为Ei,请猜想EiFi, AiCi与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；(3) 在(2)的条件下,当AiEj=3, CiEi=2时，求BD的长.CD考点：正方形的性质；全等三角形的判圧与性质；勾股左理.专题：证明题：压轴题：动点型：探究型.（1）过F作FM丄AB于点首先证明厶AMFAAEF,求出MF=MB.即可知道EFAE=AB2（2）连接 FiCi,过点 Fi 作 FiP丄AiB 于点 P, FiQ丄BC 于点 Q,证明 RtAAiEiFiRtAAiPFi, Rt QFiCi仝RlZkEiFiCi 后推出 AiB+BCi =

36、 AiP+PB+QB+C,Q=AiP+CiQ+2EiFi 化简为 EiFi+1aiCi=AB 2(3)设 PB=x, QB=x, PB=1, ElFl = h 又推出 EiFi+AiCAB,2解答：（1）证明：如图1,过点F作FM丄AB于点M,在正方形ABCD中，AC丄BD于点E皿扑 ZABD=ZCBD=45,TAF 平分ZBAC,EF=MF,又 VAF=AF,ARtAAMFRtAAEF.AAE=AMtVZMFB=ZABF=45AMF=MB, MB=EF, ef+1ac=mb+ae=mb+am=ab 2(2) EiFi, AiCi与AB三者之间的数量关系：EiFi-4aiCi=AB2 2证明：

37、如图2,连接FiCi,过点Fi作FiP丄AiB于点P, FiQ丄BC于点Q, VAiFi 平分ZBAiCi, AEiFi=PFi；同理 QFi=PFi, /.EiFi=PFi=QFb 又VAiFAiFu ARtAAiEiFRtAAiPFi，/. AiEi=AiP同理 RtAQFiCiRtAEiFiCi，/.CiQ=CiEb由题意：AiA=CiC AiB+BCi=AB+AiA+BC - CiC=AB+BC=2AB,VPB=PFi=QFi=QB,/. A i B+BC i=A i P+PB+QB+C i Q=A i P+C i Q+2E i F i,即 2AB=AiEi+CiEi+2EiFi=Ai

38、Ci+2EiFi ,（3）解：设 PB=x,则 QB=x,VAiEi=3, QCi=CiEi=2,RtAAiBCi 中，AiB2+BCi2=AiCi2, 即（3+x） 2+ （2+x） 2=52,/. Xl = l, X2= 6 （舍去），APB=hEiFiJ又 VAiCi=5,由（2）的结论：EiFi+lAiCi=AB,2 AB，2.BD罰.点评：本题考查的是勾股宦理的应用，全等三角形的判左以及正方形的性质等有关知识.正方形对角线 5观5湖州）如图四边形ABCD和BEFG均为正方形，则器誓_（结果不取近似值）考点：正方形的性质；相似三角形的判泄与性质.专题：计算题：压轴题.分析：易证 ABG

39、sADBF,可得BD： AB=BF：从而得出结果.解答：解：连接BD,交GF于H：连接BF.四边形ABCD与BEFG是正方形，ABD： AB=BF： BG=V2，ZABD=ZGBF=45%AZABG=ZDBF,ABGs/DBF, 1 点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质.考查了相似三角形的判泄和性质.15. (2009广州)如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF 与GH交于点P.(1) 若 AG=AE,证明:AF=AH；(2) 若ZFAH=45% 证明：AG+AE=FH：(3) 若RtAGBF的周长为1,求矩形EPHD的而积.A ED考点： 专题

40、： 分析：正方形的性质；全等三角形的判龙与性质：勾股左理. 几何综合题：压轴题.(1) 因为 AG=AE=BF=DH AB=AD, ZABC=ZADH=iAABFAADH(SAS)(2) 将AADH绕点A顺时针旋转90。后，可得 AFHAAFM然后可求得结论.(3) 设BF=x, GB=y,根据线段之间的关系利用勾股左理求出xy的值.解答：(1)证明：连接AH、AF.V ABCD是正方形，AD=AB, ZD=ZB=90V ADHG与ABFE都是矩形，ADH=AG, AE=BF,又 TAG二 AE,.DH=BF 在 RtAADH 与 RtAABF 中，TAD二AB, ZD=ZB=90, DH=B

41、F,ARtAADHRtAABF,AF=A H(2)证明：将厶ADH绕点A顺时针旋转90倒ABM的位置. 在 AAMF 与 AAFIF 中，VAM=AH, AF=AF,ZMAF=ZMAH - ZFAH=90 - 45=45=ZFAH,AAAMFAAHF.AMF=HF. MF=MB+BF=HD+BF=AG+AE,(3)解：设 BF=x, GB=y 贝ij FC=1 -x, AG=1 - y, (0xh 0y即 OG=OA+AG=VV2血.EB=GD=/oG 2 + QD 2=Vs72 = Vio.点评：本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长8. （2014

42、安微）如图1,正六边形ABCDEF的边长为a, P是BC边上一动点，过P作PM/7AB交AF于M,作 PN/CD交DE于N（1） ZMPN二 60：求证：PM+PN=3a：（2）如图2,点0是AD的中点，连接OH、ON,求证：0M二ON：（3）如图3,点0是AD的中点.0G平分ZM0N,判断四边形0MG7是否为特姝四边形？并说明理由.图1图2图3考点：四边形综合题. 专题：几何综合题；压轴题.分析：(1) (D运用ZMPN=180 -ZNPC求解，作AG丄MP交MP于点G, BH丄MP于点H, CL丄PN于点 L, DK丄PN 于点 K,利用 MP+PN二MG+GH+HP+PL+LK+KN 求

43、解，(2) 连接OE,由厶OMAAONE证明，(3) 连接OE,由厶OMAAONE,再证出 GOEANOD由()“；是等边三角形和MOG是等边三角 形求岀四边形MONG是菱形.，解答：解：(1)六边形ABCDEF是正六边形， ZA=ZB=ZC=ZD=ZE=ZF=120又PNCD,A ZBPM=60 , ZNPC=60 ,A ZMPN=180 - ZBPM - ZNPC=180 -60 60 二60 ,故答案为；60 .如图1,作AG丄MP交MP于点G, BH丄MP于点H, CL丄PN于点L, DK丄PN于点K,HP+PN二MG+GH+HP+PL+LK+KN正六边形 ABCDEF 中，PMAB,

44、作 PNCD,VZAMG=ZBPH=ZCPL=ZDNK=60c ,HP)BP, PL=1PC, NK)ND.2 2 2 2TAM二BP, PC=DN,.MG-HP+PL+KN=a, GH=LK=a, MP+PN=MG-GH+HP+PL+LK+KN=3a.(2) 如图2,连接OE,六边形ABCDEF是正六边形，ABHP, PNDC, AM 二 BP 二 EN,V ZMA0=Z0EN=60 , OA=OE,在AONE 和ZkOMA 中，rOA=OE ZMA0=Z0ENAM=EN0MA9Z0NE (SAS)A0M=0N.(3) 如图3,连接0E,由(2)得.0MA9A0NE ZM0A=ZE0N,VE

45、F/7A0, AF/70E,.四边形AOEF是平行四边形，A ZAFE=ZA0E=120 ,A ZM0N=120 ,A ZGON=60 ,V ZGOE=60 -ZEON, ZDON=60 - ZEON, ZGOE=ZDON,TOD二OE, Z0DN=Z0EG.在GOE和ZDON中，rZGOE=ZDON OE=ODZODN=ZOEGAAGOEANOD （ASA）,ON 二 OG,又 V ZGON=60 ,.ONG是等边三角形，.-.ON=NG,又TOM二04 ZM0G=60 ,.MOG是等边三角形，MG 二 GO 二 HO,/.MO=ON=NG=MG,.四边形MONG是菱形.点评：本题主要考査了

46、四边形的综合题，解题的关键是恰当的作出辅助线，根据三角形全等找出相等的线段.三.制造全等三角形5. （2012*重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点过M作 ME丄CD 于点 E, Z1=Z2.（1）若CE=1,求BC的长：（2）求证：AM=DF+ME.考点：菱形的性质；全等三角形的判左与性质.专题：综合题：压轴题.分析：（1）根据菱形的对边平行可得ABCD,再根据两直线平行，内错角相等可得Z1=ZACD,所以Z ACD=Z2,根据等角对等边的性质可得CM=DM,再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE, 然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用边角边”证明ACEM和ACPM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF,延长 AB交DF于点G,然后证明Z1=ZG,根据等角对等边的性质可得AM