2020年九年级中考三轮冲刺复习同步练习：《圆的综合》（含答案）

1、2020年中考三轮冲刺复习同步练习：圆的综合1如图，已知AB是半圆O的直径，AB6，点C在半圆O上过点A作ADOC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；（2）设ODx，y，求y与x的函数关系式；（3）当AOD与CDE相似时，求线段OD的长2如图，线段AB10，P是线段AB上的动点，以AP为腰在线段AB的上方作等腰PAC，且PAPC，cosCAP，以P为圆心，PB长为半径作P交腰PC于点D（不与点P，C重合）（1）若D是PC的中点，求AC的长；（2）当P与AC相切时，求P的半径；（3）设BDx，ACy求y关于x的函数

2、表达式；连结AD，当ADB的外接圆的圆心O在P上时，求AC的长3如图O的半径OA弦BC于点D，E为优弧上一点，弦EA与BC交于点G，F为EA延长线上一点，连结BF，FBC2BEA（1）求证：BF为O的切线（2）若OA25，DG6，GC18请探究EBF与EGB的数量关系；求BF的长4若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图，AD是ABC的角平分线，当ADAB时，则ABC是“弱等腰三角形”，线段AD是ABC的“弱线”（1）如图，在ABC中B60，C45求证：ABC是“弱等腰三角形”；（2）如图，在矩形ABCD中，AB

3、3，BC4以B为圆心在矩形内部作，交BC于点E，点F是上一点，连结CF且CF与有另一个交点G连结BG当BG是BCF的“弱线”时，求CG的长（3）已知ABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且AB3BD，求AC：BC的值5如图1，ABC内接于圆，点D在劣弧上，ADBC，DCAB，Q为AC中点，点D与点P关于点Q对称（1）求证：PADABC（2）求证：点B，P，D在一条直线上（3）如图2，记PAB，PCB，ABC，请用含，的代数式表示（4）如图3，设E，F分别为AB，BC的中点，EF交BD于点H，求的值6如图示，AB是O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分BAF，过点D作

4、DEAF交射线AF于点AF（1）求证：DE与O相切：（2）若AE8，AB10，求DE长；（3）若AB10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AFEF的最大值7如图1，O是ABC的外接圆，AB是直径，D是O外一点且满足DCAB，连接AD（1）求证：CD是O的切线；（2）若ADCD，AB10，AD8，求AC的长；（3）如图2，当DAB45时，AD与O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明8已知，在O中，AB、CD是直径，弦AECD（1）如图1，求证：；（2）如图2，直线EC与直线AB交于点F，点G在OD上，若FOFG，求证：CFG是等腰三角形；（3）如图3，

5、在（2）的条件下，连接BD，若AE+CDBD，DG4，求线段FC的长9如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作ACAB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF（1）求线段AE的长；（2）若ABBO2，求tanAFC的值；（3）若DEF与AEB相似，求EF的值10如图1，AB为O的弦，弧AC弧BC，G为弧BC上一点，连接AG交BC于点D，连接CG、BG（1）求证：GCB+GBCCBA；（2）如图2，若AB为O的直径，求证：AGCG+BG；（3）如图3，在（2）的条

6、件下，F为圆上一点，连接CF交AB于点E，若CD：DB5：7，ACFCAG，AE，求线段CG的长11如图1，在ABC中，ACB90，ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，BEF的外接圆O与CB交于点D（1）求证：AC是O的切线；（2）若BC9，EH3，求O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CPAB于P，求CP的长12如图，AB是半圆O的直径，半径OCAB，OB2，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE（1）当点E是弧BC的中点时，求ADE的面积；（2）若tanAED，求AE的长；（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，当DE

7、F是等腰直角三角形时，求m的值13如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动设移动的时间为t秒（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线yx与OMN外接圆的另一个交点是点C试说明：当0t2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ONOC；试探究：当t2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由14已知，ABC内接于O，ADBC于D，BEAC于E，AD、BE交于点H（1）如图1，连接OA、OC

8、，若BHAC，求AOC的度数（2）如图2延长BE交O于点G，求证：HEGE；（3）如图3，在（2）的条件下，P是弦AC上一点，过点P作PMBC交AB于点M，若PCD+2PDC90，BM，AM，求O半径15如图，AB是O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使APDP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC（1）求证：AD；（2）填空：若AB10cm，当AP cm时，四边形AOCP是菱形；当四边形OBCP是正方形时，DPC 16如图，O是ABC外接圆，AC是直径，OFAB，过点BO的切线相交于点D，与OF的延长线交点E（1）求证：ABDBCD；（2）若C30，求证：OE

9、D是等腰三角形；（3）若O的半径为3，cosD，求OF的长17在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等点D在劣弧AB上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB当OA，且tanOAB（1）求弦CD的长；（2）如果AOF是直角三角形，求线段EF的长；（3）如果SCEF4SBOF，求线段AF的长18如图，ABC内接于O，ABBC，AOBC于D（1）求证：ABC是等边三角形；（2）若AB1，P是劣弧上一个动点，APC60（点P与B、C不重合），PA交BC于点E，设AEx，EPy，求y与x之间的函数关系式，比并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，令PAC，APC，当y取

10、何值时，sin2+sin2119如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，G是上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接AC，AD，GC，GD（1）求证：FGCAGD；（2）若AD6当ACDG，CG2时，求sinADG；当四边形ADCG面积最大时，求CF的长20如图，AB是O的直径，P为BA延长线上一点，过P作O的切线，切点为C，CD平分ACB交O于D，交AB于G（1）求证：PACPCB；（2）已知O的半径为5，PC2，过C作CHAB于H求tanADC；求GH的长参考答案1解：（1）如图1，联结OF，交BC于点HF是中点，OFBC，BC2BHBOFCOFOAOF，OCAF，AOCCOF，AOCC

11、OFBOF60，在RtBOH中，sinBOH，AB6，OB3，BH，BC2BH3；（2）如图2，联结BFAFOC，垂足为点D，ADDF又OAOB，ODBF，BF2OD2x，即，y（3）AODCDE，分两种情况：当DCEDOA时，ABCB，不符合题意，舍去当DCEDAO时，联结OFOAOF，OBOC，OAFOFA，OCBOBCDCEDAO，OAFOFAOCBOBCAODOCB+OBC2OAF，OAF30，OD即线段OD的长为2解：（1）如图1，作PEAC于点E，D是AC的中点，PC2PD，PAPC，PDPB，PA2PB，AECE，AB10，cosCAP，AP，AC2APcosCAP28，（2）设

12、P的半径为r，则AP10r，作PEAC于点E，则E点为所求的切点，在RtPEA中，sinCAP，EP（10r），当P与AC相切时，有EPr，（10r）r，解得，r，当P与AC相切时，P的半径为（3）如图2，作PFBD于点F，则BFDF，PDPB，PAPC，PBDPDB，CAPC，BPFBPD（CAP+C）CAP，DBx，ACy，PBFBx，APAEy，PB+PA10，y10，y关于x的函数表达式为y12x如图3，由题意得，延长FP与P的交点O即为ADB的外接圆的圆心，作OHAB于点H，连接OB，OA，OAOB，AHBH5，BPFCAP，cosBPFcosOPHcosCAP，设PF3k，PB5k

13、，则BFDF4k，POPB5k，PH3k，BH5k+3k5，k，xBD8k5，ACy12x1253解：（1）证明：如图1，连接BO，OABC，ODB90，OBD+BOD90，BOD2BEA，FBC2BEA，BODFBC，OBD+FBC90，即OBF90，BFOB，BF为O的切线；（2）EBFEGB，理由如下：如图2，连接BO，AB，OE，过点B作BHAG于点H，OABC，BDCDDG+CG6+1824，在RtOBD中，OBOA25，BD24，OD7，ADOAOD25718在RtBDA中，由勾股定理可得，AB30，BGBD+DG30，ABBG，BAGBGA，BHAG，BGA+GBH90，BAG+

14、GBH90，BOE+2EBO180，BOE2BAG，2（BAG+EBO）180，BAG+EBO90，EBOGBH，EBO+OBFGBH+BHG，即EBFEGB如图2，在RtDAG中，由勾股定理得，AG6，OABC，BEAGBA，BAEGAB，ABEAGB，AEBE15，EGAEAG9，EBFEGB，BEFGEB，EBFEGB，BF504（1）证明：如图作ABC的角平分线BD，交AC于D，DBCABC30，ABC60，C45，A180ABCC180604575，ADBDBC+C30+4575，ADBA，BABD，ABC是“弱等腰三角形”；（2）如图，连接EG，BG是BCF的“弱线”，BG平分FB

15、C，FBGGBE，BFBE，BGBG，BGFBGE（SAS），BGFBGE，BGBE，BGEBEG（180GBE），FGE180GBE，CGE180FGE，CGECBG，GCEBCG，GCEBCG，CE431，CG2CEBC144，CG2；（3）如图，当ABAD时，在AC上取一点E，使得AEAB，连接DE，AD是“弱线”，AD是ABC的角平分线，BADCAD，ADAD，ABDAED（SAS），DEBD，BAED，ADAB，BADB，AEDADB，CED180AED，ADC180ADB，CEDADC，CC，ADCDEC，CECD，CDAC，CEAC，CEAEBD，CD3CEBD，AC9CEBD，

16、BCBD+BDBD，AC：BC27：17；当ACAD时，如图，在AB上取一点E，使AEAC，连接DE，同理可得，即，由上面计算可得，BCCD，AC3CD，AC：BC24：175解：（1）点Q为AC中点，点D与点P关于点Q对称，AQQC，PQQD，四边形APCD是平行四边形，APCD，APCD，PAD+ADC180，四边形ABCD是圆内接四边形，ABC+ADC180，PADB，又，PADABC；（2）连接BD，PADABC，ACBADP，ACBADB，ADPADB点B，P，D在一条直线上；（3）APDABP+BAP，CPDCBP+PCB，APD+CPDABP+BAP+CBP+PCB+，四边形AP

17、CD是平行四边形，ADCAPCAPD+CPD，180ABC+，2180，90；（4）连接EP，FP，E，F分别为AB，BC的中点，AEBEAB，BFCFBC，CDAB，CDAP，AEAP，APE90，同理可得CPF90，EPF360APECPFAPC180（+），90，EPF180（+90）90，E是AB的中点，点F是BC的中点，EFAC，EFAC，BEHBAQ，BFHBCQ，AQCQ，EHHF，PHEFAC，6（1）证明：连接OD，如图1所示：ODOA，OADODA，AD平分BAF，OADFAD，ODAFAD，ODAF，DEAF，DEOD，又OD是O的半径，DE与O相切：（2）解：连接BD，

18、如图2所示：AB是O的直径，ADB90，DEAF，AED90ADB，又EADDAB，AEDADB，AD：ABAE：AD，AD2ABAE10880，在RtAED中，由勾股定理得：DE4；（3）连接DF，过点D作DGAB于G，如图3所示：在AED和AGD中，AEDAGD（AAS），AEAG，DEDG，FADDAB，DFDB，在RtDEF和RtDGB中，RtDEFRtDGB（HL），EFBG，ABAG+BGAF+EFAF+EF+EFAF+2EF，即：x+2y10，yx+5，AEEFx2+5x（x5）2+，AFEF有最大值，当x5时，AFEF的最大值为7（1）证明：连接OC，如图1所示：AB是O的直径

19、，ACB90，OCOB，BOCB，DCAB，DCAOCB，DCODCA+OCAOCB+OCAACB90，CDOC，CD是O的切线；（2）解：ADCDADCACB90又DCABACDABC，即，AC4，即AC的长为4；（3）解：ACBC+EC；理由如下：在AC上截取AF使AFBC，连接EF、BE，如图2所示：AB是直径，ACBAEB90，DAB45，AEB为等腰直角三角形，EABEBAECA45，AEBE，在AEF和BEC中，AEFBEC（SAS），EFCE，AFEBCEACB+ECA90+45135，EFC180AFE18013545，EFCECF45，EFC为等腰直角三角形CFEC，ACAF

20、+CFBC+EC8证明：（1）连接OE，AOEO，OAEOEA，AECD，OAECOB，OEAEOC，EOCCOB，；（2）连接BC，设CBO，OBOC，OCBOBC，BOC1802，FOG1802，FOFG，FGOFOG1802，四边形AECB是圆内接四边形，FEAOBC，AECD，FEAFCD，CFG180FCDFGC，CFGFCD，FGCG，FCG是等腰三角形；（3）如图，连接AC，CB，EO，延长AB至M，使BMAE，连接CM，过点C作CHAB于H，AB是直径，ACB90，ABCD，AE+CDBD，AE+ABAC，BM+ABAMAC，EACCAB，ECBC，四边形AECB是圆内接四边形

21、，ABC+AEC180，且ABC+CBM180，AECCBM，且ECBC，AEBM，AECMBC（SAS）ACCM，且CHAB，AHMHAM，cosCAB，设AH3x，AC4x，则AM6x，ABx，OCOAABx，BHABAHx，BMAEHMBHx，AECO，AEFOCF，设FAa，则FO4a，AOFOFA3a，FOFGCG4a，OGCGCOa，DGDOOG3aa2a4，a2，AOCO6，AB12，x12，x，AC9，BC3，EC3，FC49解：（1）点A（0，4），AO4，AD是Q的直径，AEBAED90，AEBAOB90，BA垂直平分CD，BCBDABOABE在ABE和ABO中，ABEAB

22、O（AAS）AEAO4；（2）设BOx，则ABx+2，在RtABO中，由AO2+OB2AB2得：42+x2（x+2）2，解得：x3，OBBE3，AB5，EAB+ABE90，ACB+ABC90，EABACB，BFAAFC，BFAAFC，设EFx，则AF4+x，BF（4+x），在RtBEF中，BE2+EF2BF2，32+x2（4+x）2，解得：x，即EF，tanAFC；（3）当DEFAEB时，BAEFDE，ADEFDE，BD垂直平分AF，EFAE4；当DEFBEA时，ABEFDE，ABDF，ADFCAB90，DF相切Q，DAEFDE，设Q交y轴于点G，连接DG，作FHDG于H，如图所示：则FDHD

23、AG，四边形OGHF是矩形，OGFH，ABEABO，OABEAB，ABAD，DAECAO，CAODAE，DAEDAE，DAEDAGFDEFDH，AGAE4，EFFHOGAO+AG4+48，综上所述，若DEF与AEB相似，EF的值为4或810证明：（1），CABCBA，GCBGAB，CBGCAG，GCB+GBCGAB+CAGCABCBA；（2）如图2，过点C作CHCG交AG于点H，AB为O的直径，AGBACB90，且ACBC，ABCBAC45AGCABC，AGC45，且CHCG，CHGAGC45，CHCG，AHC135GHCGCGBCGA+AGB135，AHCCGB，CHCG，CAHCBG，AC

24、HBCG（AAS）AHBG，AGCG+BG；（3）CD：DB5：7，设CD5a，DB7a，BCAC12a，AD13a如图3，过点E作EHAC于H，作AP平分GAC，交BC于P，作PQAD于Q，CAPDAPCAG，PQA90ACB，且APAP，CAPQAP（AAS）ACAQ12a，CPPQ，QDADAQaPD2PQ2+QD2，（5PQ）2PQ2+a2，PQa，CPa，HEAC，CAB45，HEACAB45，AHHE，AE2AH2+HE2（3）2，AHHE3，ACFCAG，CAPDAPCAG，ACFCAP，tanCAPtanACF，CH15，AC3+151812a，a，CD，BD，ADACDAGB

25、90，CADDBG，ACDBGD，BG，DG，AGAD+DG+，AGCG+BG，CG，CG11（1）证明：连接OE如图1所示：BEEF，BEF90，BF是圆O的直径，OBOE，OBEOEB，BE平分ABC，CBEOBE，OEBCBE，OEBC，AEOC90，ACOE，AC是O的切线；（2）解：ACB90，ECBC，BE平分ABC，EHAB，EHEC，BHE90，在RtBHE和RtBCE中，RtBHERtBCE（HL），BHBC9，BEEF，BEF90BHE，BF是圆O的直径，BE3，EBHFBE，BEHBFE，即，解得：BF10，O的半径长BF5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：O

26、EOF5，ECEH3，EHAB，OH4，在RtOHE中，cosEOA，在RtEOA中，cosEOA，OAOE，AE，ACAE+EC+3，ABOB+OA5+，ACB90，ABC的面积ABCPBCAC，CP12解：（1）如图，作EHAB，连接OE，OB2，D是OB的中点，ODDB1，设DHa，则OH1+a，点E是弧BC中点，COEEOH45，EHOH1+a，OE2EH2+OH2，42（1+a）2，解得a1EHOH，SADE3；（2）如图2，连接BE，过点D作DNAE，tanAED，设DN3a，NE2a，AB是直径，AEB90AND，BEDN，AN6a，AN2+DN2AD2，36a2+9a29，a，

27、AEAN+NE6a+2a；（3）当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图设DHa，DOFEDFEDH90，FDO+OFD90，FDO+EDH90，OFDEDH，且DFDE，DOFEHD90，ODFEDH（AAS）ODEH1，在RtABE中，EH2AHBH（1）2（3+a）（1a）解得a1+，（负值舍去）m；当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理可证：EFGEDH，设DHa，则GEa，EHCG1+a，在RtABE中，EH2AHBH（1+a）2（3+a）（1a）解得a1+，（负值舍去）m；当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理可证：EFMODF，设OFa，则MEa，MFOD1，EHa+1，在

28、RtABE中，EH2AHBH（a+1）2（2+a）（2a）解得a（负值舍去）m13解：（1）由题意，得OA6，OB2当0t2时，OM63t，ONt若ABOMNO，则，即，解得t1若ABONMO，则，即，解得t1.8综上，当t为1或1.8时，ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似（2）当0t2时，在ON的延长线的截取NDOM，连接CD、CN、CM，如图所示：直线yx与x轴的夹角为450，OC平分AOBAOCBOCCNCM又在O中CNO+CMO180，DNC+CNO180，CNDCMOCNDCMO（SAS）CDCO，DCNOCM又AOB90，MN为O的直径，MCN90OCM+OCN90DCN+O

29、CN90OCD90又CDCO，ODOCON+NDOCOM+ONOC当 t2时，过点C作CDOC交ON于点D，连接CM、CN，如图所示：COD45，CDO为等腰直角三角形，ODOCMN为O的直径，MCN90又在O中，CMNCNM45，MCNC又OCDMCN90，DCNOCMCDNCOM（SAS）DNOM又ODOC，ONDNOCONOMOC14解：（1）ADBC，BEAC，ACD+DAC90，ACD+EBC90，DACEBC，且BDHADC90，BHAC，BDHADC（AAS）BDAD，且ADBD，DBADAB45，AOC2ABC90（2）连接AG，GACGBC，且GAC+G90，GBC+BHD9

30、0，GBHD，BHDAHG，AHGG，AHAG，且ACBE，HEGE；（3）如图3，连接BO并延长交圆O于H，连接AH，PMBC，PCD+2PDC90，PCD902PDC，APDPCD+PDC90PDC，且ADP90PDC，APDADP，ADAP，PMBC，BH是直径，BAH90ADC，且HACB，ADCBAH，BH10，O半径为515（1）证明：如图，连接PB，AB是O的直径，BPAD，APPD，BP是线段AD的垂直平分线，BABD，AD；（2）解：APPD，BCDC，AB是O的直径，OAPC，四边形AOCP是平行四边形，当时，平行四边形AOCP是菱形，故答案为：5；当四边形OBCP是正方形

31、时，POB90，OAOP，OPAA45POB，PCAO，DPCA45，故答案为：4516解：（1）如图1，连接BO，BD是O的切线，OBD90，OBA+ABD90，AC是O的直径，ABC90，CBO+OBA90，ABDCBO，OBOC，CBOC，ABDC，又DD，ABDBCD；（2）证明：C30，OEAB，ABC90，BAO60BOABOE，由（1）知OBDE，EBODBO90，又OBOB，BOEBOD（ASA），OEOD，OED是等腰三角形；（3）OEAB，COAO，CFBF，OF是ABC中位线，OFAB，又在RtOBD中，cosD，设BD4x，则OD5x，由勾股定理（5x）2（4x）2+3

32、2，解得，x1（取正值），DB4，OD5，如图2，过点B作BMOA于M，则OMBOBD90，又BOMDOB，OBMODB，BM，OM，AM，AB，OFAB17解：（1）如图，过点O作OHAB于点H，tanOAB，设OHa，AH2a，AO2OH2+AH25，a1，OH1，AH2，OHAB，AB2AH4，弧AC弧BD，ABCD4；（2）OAOB，OAFOBA，OAFECF，当AFO90时，OA，tanOBA，OCOA，OF1，AB4，EFCFtanECFCFtanOBA；当AOF90时，OAOB，OAFOBA，tanOAFtanOBA，OA，OFOAtanOAF，AF，OAFOBAECF，OFAEFC，OFAEFC，EF