高数 第十单元无穷级数

1、第十单元 无穷级数101 常数项级数的概念与审敛法教学基本要求高等数学 1. 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与级数的敛散性，掌握正项级数的比较审敛法；了解交错级数的莱布尼茨定理；4了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系微积分 1. 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；了解正项级数的比较审敛法，掌握几何级数与级数的敛散性结果，掌握正项级数的比较审敛法；了解交错级数的莱布尼茨定理；4了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系知识要点 一、常数项级数的敛散性判别法

2、及其说明除开因，而判定发散外，常用以下方法判别级数的收敛性.名 称定 理注意与说明正项级数收敛它的部分和数列有界存在正项级数的部分和数列单调上升比较判别法若，则收敛收敛(简记：若大敛则小敛)发散发散(简记：若小散则大敛)(1) 若两个正项级数,除有项外都满足定理条件,则结论亦成立(2) 选取已知的收敛或发散级数与所求的级数比较(3)同性和同性相比,即：收敛与收敛比较；发散与发散比较(4)记住几个常见级数的敛散性：如等比级数、级数等敛散性比较判别法的极限形式设和均为正项级数，且，(1)若，且收敛，则收敛(2) 若，且发散，则发散选取已知的收敛或发散级数与所求的级数比较 利用比较法的极限形式应尽可

3、能地利用等价无穷小给出的等价形式，或利用法则、公式确定关于的阶比值判别法设 (1) 是判别正项级数收敛性的充分条件，不是必要条件(3) 适用于中含有或关于的若干连乘积形式(2) 当时,一般用比较判别法来判断级数的敛散性根值判别法设 (3) 适用于中含有以为指数幂的因子积分判别法设是上非负单调连续函数，则与同时敛散利用反常积分来判别正项级数收敛性的一种方法莱布尼茨判别法若交错级数满足条件：(1)，(2)则交错级数收敛，且其和，其项余和的绝对值(1)该判别方法仅适用于交错级数判断收敛性，不涉及绝对收敛性(2)该方法中的条件是充分条件任意项级数绝对收敛判别法：若收敛，则必收敛， 称绝对收敛；如果收敛

4、，而发散， 则称条件收敛逆定理不成立可用正项级数收敛性的判别法来判断级数是否绝对收敛常用于比较判别法及其极限形式的正项级数是:几何级数(等比级数)：当时级数收敛；当时级数发散.级数：当时级数收敛，当时级数发散.级数，当时级数收敛，当时级数发散.二、正项级数判敛的一般程序：比较法的一般形式比较法的极限形式积分判别法比值法 根值法 发散 发散，收敛三、任意项级数的判敛程序： 发散 绝对收敛 用正项级数判别法用莱布尼兹定理 或级数性质 是否为零任意项级数 是 否 收敛 条件收敛 用比较法 否 收敛 发散 发散 绝对收敛 发散错误诊断例1 判别下列级数的敛散性：（1）； （2）（1）错解 因为，故该级

5、数收敛错误分析 是级数收敛的必要条件,不是充分条件因此不能用一般项的极限为零判别级数收敛，但如果，级数一定发散. 正确解法 因，由发散，知该级数发散（2）错解因为不存在，所以该级数发散错误分析正项级数的比值判别法只是正项级数收敛的充分条件，不是必要条件也就是说，正项级数收敛，并不一定有正确解法因为该级数是正项级数，且当时，由于等比级数收敛，由比较判别法知所给级数收敛例 若与皆收敛，且对于一切自然数有，证明也收敛错误证明由于，且收敛，故由比较判别法可知收敛错误分析上述证明的依据是级数的比较判别法，但是这个判别法只适用于正项级数而题中并没有指明与为正项级数，因此上述证明方法不正确正确证法由于，因此

6、，即与皆为正项级数由于与都收敛，因此收敛由正项级数的比较判别法可知收敛又，由级数的性质可知收敛典型例题补充例1 选择题 下列命题中正确的是（ ）A 若与都收敛，则可能发散B 若收敛，发散，则必定发散C 若与都发散，则必定发散D 若收敛，则与必定收敛解 正确答案是B由级数的性质知命题A错误由反正法知命题B正确事实上，假设收敛，由收敛及知，也收敛，这与已知矛盾故必定发散若设发散，也发散，但是收敛可知命题C与D都不正确说明 若收敛，发散，则必定发散可以作为判定级数发散的充分条件使用例1表明有限项相加的性质不能随意使用到无穷多项相加之中例2 判别下列级数的敛散性：（1）；（2） ；（3）；（4） 解

7、（1）因为，所以发散（2）分析：由于，而注意： 可知所给级数不能利用比值判别法判定解法1 注意 由于当时，可知，正项级数为收敛级数，由比较判别法可知收敛解法2 由于当时，可知当时则 ，由于收敛，可知收敛（3）因为，所以收敛（4）分析：题中的没有限制其值，因此应该对加以讨论解 因为故当时，原级数发散；当时，原级数收敛；当时，不能用比值判别法判定所给级数的收敛性但注意到数列为单调增加且有上界，由于，又，由极限的性质可知当充分大时，必有，因此故发散例3 讨论级数的敛散性分析：通项中有因子，可考虑用积分判别法解 令，当时，又，故在是正的单调递减函数，且， 故由积分判别法知级数收敛例4 设，试判定与的收

8、敛性，并指出是绝对收敛，还是条件收敛？分析：是交错级数，是正项级数由于，注意到时，等价解 因为，所以，由于为发散的调和级数，因此为发散级数因为，且，则由莱布尼兹定理知收敛从而知其条件收敛因，且由于级数为收敛级数，故由极限形式的比较判别法可知收敛课堂练习一、填空题若正项级数收敛，则是 级数已知，则是 级数已知，则是 级数级数的和为 级数是 级数二、选择题1下列命题中正确的是（ ）A若收敛，则必有； 若发散，则必有；若，则必定收敛； 若，则必定发散2下列命题中正确的是（ ）A若收敛，则必条件收敛；若发散，则必定发散；若发散，则必定发散； 若收敛，则必定收敛3若级数收敛于，则级数（ ） A收敛于；

9、收敛于； 收敛于； 发散4若级数和都收敛，则级数（ ）A一定条件收敛；一定绝对收敛；一定发散； 可能收敛可能发散设为常数，则为（ ）A绝对收敛； 条件收敛； 发散； 收敛性与有关三、判别下列级数的敛散性1；2； 3四、判别下列级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？ 1； 2 （为常数）答案 一、1收敛；2发散；3收敛；5发散二、1A；2B；C；B；C三、发散，级数；发散，因； 收敛四、1条件收敛； 2绝对收敛102 幂级数教学基本要求高等数学 1. 了解函数项级数的收敛域与和函数的概念2 . 掌握简单幂级数收敛区间的求法了解幂级数在其收敛区间的一些基本性质会利用，与的麦克劳林（Mac

10、laurin）展开式将一些简单的函数展开成幂级数微积分 1会求简单幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；了解幂级数在其收敛域（或收敛区间）内的一些基本性质，会求一些简单的幂级数的和函数会利用，与的麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数展开成幂级数知识要点一、幂级数收敛域的求法幂级数的收敛域由区间组成，区间的大小决定于收敛半径，端点的收敛性另行讨论1. 对于，称之为“不缺项”情形若（或），则当时，；当时，；当，其中称为收敛半径收敛区间为对于“缺项”情形 需要考察后项与前项比值的极限，即若，则当的处级数绝对收敛；当的处级数发散，这样就可得级数的收敛半径和收敛区间说明 （1）若，且，还要

11、考察数项级数与的敛散性以此得出级数收敛区域的可能四种情形：、或（2）对于端点处数项级数的收敛性可以对照标准级数得出，或由数项级数收敛判别法判定常见的标准级数有：几何级数（收敛，发散）、调和级数发散、级数（收敛，发散）和莱布尼兹级数收敛二、 函数的求法1. 根据和函数的定义，先求级数的部分和，再取极限得到2. 通过和差运算将级数化为易求和的若干级数的和或差3. 通过逐项积分或微分将幂级数化为常见函数的幂级数并求和，然后再作相反的分析运算得到原幂级数的和函数4. 变量代换5. 利用已知函数展式三、函数展成幂级数的方法：直接法 现求出，得到幂级数，并求此级数的收敛域，再证在此收敛域内泰勒公式中余项收

12、敛于零，从而得到幂级数展开式(该方法在做题时一般不用,不作要求)间接法 利用五个重要的幂级数展开式，通过适当的变量代换、四则运算、复合以及微分、积分等方法将一个函数展成幂级数，并指出其收敛区域如果没有限定展开方法，一律采用间接法错误诊断例1 求的收敛半径错解 由于，因此，可知所给级数的收敛半径错解分析 由于所给级数为“缺项”情形，而运算中采用了不缺项情形的计算方法，因此上述运算时错误的正确解法因为可知当，即时原级数绝对收敛因此所给级数收敛半径典型例题补充 例1 求下列级数的收敛半径与收敛区间 （1）；（2）； （3）解 （1）因为，故收敛半径为，收敛区间为，即（2）考察幂级数和因，故两个级数收

13、敛半径分别为，从而原级数的收敛半径为，收敛区间为，即（3）这是“缺项”的幂级数情形因为当时，即，原级数收敛，收敛半径为2，收敛区间为例2 求下列级数的收敛域（1）；（2）解（1）因为，故收敛半径为，收敛区间为，即当时，原级数变为，由莱布尼兹判别法知级数收敛当时，原级数变为，是调和级数发散故该级数的收敛域为（2）分析：所给级数不是幂级数，但引入变量替换，则原级数可转化为由于，因此当时，原级数转化为发散因此收敛域为，即故原级数的收敛域为或说明 利用变量替换转换级数类型再求收敛域，是利用已知知识解决新问题的范例这种思想方法应该学习例3 求下列幂级数的收敛域与和函数（1）； （2）解 （1）由，知当时

14、，原级数化为发散，因此原级数的收敛域为设和函数为，则 ， （2）当时级数收敛；当时级数发散；当时，级数为绝对收敛故收敛域为设和函数为，则 ， 积分有 ，又，故，再积分有 由知， 利用和函数的连续性， ， 例4 将函数展成麦克劳林级数解 利用，积分有 ，故 ， 课堂练习一、填空题1设有级数，若，则该级数的收敛半径等于 2设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为 3幂级数的收敛区间为 4 幂级数的收敛域是 5幂级数的收敛半径为 二、解答题 1已知幂级数再点处收敛，试判定的收敛性如果它收敛，那么它是条件收敛，还是绝对收敛？2求幂级数的收敛域3求幂级数：（1）；（2） 的和函数4将展开成的幂级数答

15、案 一、1；二、1绝对收敛； ，103 傅立叶级数教学基本要求高等数学 了解函数展开为傅立叶(Fourier)级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在和上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在上的函数展开为傅立叶正弦或余弦级数知识要点一 周期为的函数展成傅立叶级数的方法： 设是周期为的周期函数，在可积 （1）求出的傅立叶系数：；（2）写出的傅立叶级数： 当是以为为周期的奇函数时， 此时的傅立叶级数为： ，称为正弦级数当是以为为周期的偶函数时， 此时的傅立叶级数为： ，称为正弦级数 （3）根据收敛定理写出傅立叶级数的和函数 在的连续点处收敛于；在的间断点处收敛于；在处收敛于二、定义在上的

16、函数展成正弦级数（或余弦级数）方法：（1）首先需对所给函数进行奇延拓（或偶延拓），使之成为周期函数；（2）对延拓后的周期函数展成正弦级数（或余弦级数）错题解析例1 设函数,而,其中,则为( )A. ；B. ；C. ；D. 错解由条件知，是作奇延拓后的傅立叶展式，则由收敛定理知，错误分析的傅立叶级数在其连续点处收敛于，而在本题中，在处无定义，故求无意义正确解法由条件知，是作奇延拓后的傅立叶展式，则由收敛定理知，典型例题补充例1 将函数，展开成以2为周期的傅立叶级数，并由此求级数的和解 由于是偶函数，所以因为 ，所以 ，令，则 ，得例2 将函数在展成余弦级数，讨论其收敛情况，并求级数的和解 将作偶

17、延拓，令对展开有， 又因 ，故 ，从而 ，当时，有 由此得，课堂练习1 将函数在上展成傅立叶级数，并求级数的和2 把函数在内分别展成正弦级数答案 ，；，当时，右边级数收敛于零单元测试A组练习题一、填空题 1若级数收敛，则_. 2级数的敛散性是_. 3求出级数的和=_. 4设数列收敛于，则级数的和为_. 5当为_时，级数收敛（为常数）.二、选择题 1下列级数中发散的是（ ） A B. C D 2.下列级数中条件收敛的是（ ） A B C D 3.在函数的泰勒级数中，项的系数是（ ） A B C D 4级数的收敛区间是（ ） A.-1 B.-1 C.-1 D.-0，则（ ） A发散 B绝对收敛 C条件收敛 D敛散性与k有关 3. 若级数收敛，则（ ） A必收敛 B不一定收敛C D发散 4. 若幂级数处收敛,则该幂级数在处必然（ ） A.绝对收敛； B.条件收敛； C.发散； D.收敛性不确定； 5. 函数的麦克劳林展开式前三项的和为（ ） A.； B.； C.； D.三、