毕业设计_基于模糊算法的倒立摆控制算法设计

1、电子科技大学中山学院毕业设计论文倒立摆系统的自调式模糊算法设计学 院 名 称：机电工程学院专业名称：自动化学生姓名：黄晓康学号：2011100102019指 导 老 师：黎萍摘要倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。倒立摆系统涉及到多变量，非线性，强耦合的自然不稳定性问题。对于倒立摆系统的研究对于火箭发射姿态保持以及直升机飞行控制领域都有着现实意义，相关领域的研究成果已经应用于多种现实控制问题的领域当中。本文主要针对于一级倒立摆模型（即平衡车），以及二级倒立摆系统的控制系统算法设计及应用分析。在针对于倒立摆控制系统的算法设计过程中

2、，采用PID以及模糊控制算法的交叉结合运用，以期对该系统的控制有良好的稳定性，鲁棒性和适应性。在针对于算法设计的过程中，将在控制器中设计恰当的自调因子，来提高控制器的适应程度。主要研究工作如下：给出倒立摆系统模型，并定性分析。对倒立摆系统的能控性以及能观性进行分析，并计算相对能控性，说明倒立摆系统在平衡状态附近时能控能观的。2. 设计普通模糊控制器以及带有自适应因子的模糊控制器。倒立摆系统控制算法主要设计到PID，模糊控制，拟神经网络控制以及最优控制等算法，本研究主要集中于设计基本的模糊控制器，并设计线性自调因子，提高控制器的适应性，并在最后以仿真的形式说明控制器的实用性。3对控制方案进行讨论

3、并进行控制仿真。目前对于二级倒立摆的控制主要是平衡状态下的倒立，以及二级倒立摆的自摆起功能，本研究主要涉及到前者，但提出两种不同的控制方案，并与所设计的控制算法相结合，最后得到仿真结果。4.在本研究中设计完成控制算法后，将所设计的算法应用到平衡车上。平衡车车体采用MPU6050（加速度计与陀螺仪）为角度传感器，STM32RBT6为微控制器实现平衡功能。 关键词： 倒立摆 模糊控制器 PID 平衡AbstractInverted pendulum control system is a complex, unstable, nonlinear systems, theoretical teach

4、ing and conduct all kinds of control control is the ideal platform for experiments. Inverted pendulum system involves many variables, nonlinear, the natural instability of strongly coupled. Research for inverted pendulum system for rocket launch posture to maintain as well as helicopter flight contr

5、ol fields have significance, related fields of research results have been applied to a variety of reality-control areas.This article primarily focuses on an inverted pendulum model, and the double inverted pendulum control system design and application analysis of algorithms. For inverted pendulum c

6、ontrol system design process, cross-combination of PID and fuzzy control algorithm used in order to control the system has good stability, robustness and adaptability.For algorithm design process, design the appropriate adjusting factor in your controller, to increase the controllers comfort level.

7、Main jobs are as follows:1. pendulum model is presented and qualitative analysis. Inverted pendulum system controllability and observability analysis and calculate relative controllability, indicating when the pendulum near the equilibrium of controllability and observability.2. the ordinary fuzzy c

8、ontroller design and fuzzy controller with Adaptive factor. Inverted pendulum system control algorithm design to PID, fuzzy control and neural network control and optimal control algorithms, this research focuses on the design of basic fuzzy controller design of linear self-regulating factor, improv

9、ing the adaptability of the controller, and finally to the simulation of the controller in the form of practicality.3. Discussion of control programmes and control simulation. Current control for double inverted pendulum is a balance inverted pendulum, as well as the double inverted pendulums swing

10、function, this study relates to the former, but proposes two different control schemes, and combined with the control algorithms, and finally the simulation results.4. In this study design after completing the control algorithms, the algorithm is applied to the balance of the car, designed by. Balan

11、ced vehicle MPU6050 (accelerometers and gyroscopes) for the angle sensor,STM32RBT6 for micro-controller to achieve balance.Keywords: Balance Inverted pendulum Fuzzy controller PID目录电子科技大学中山学院1毕业设计论文1倒立摆系统的自调式1模糊算法设计1摘要2Abstract3目录5第一章绪论61.1.本设计的目的和意义61.2.概况71.3.本设计的要求81.4.拟采用的方法及技术8第二章倒立摆系统数学模型与分析11

12、2.1.二级倒立摆的基本结构112.2.二级倒立摆系统数学模型122.3.二级倒立摆系统的定性分析142.3.1系统的稳定性分析152.3.2系统的能控能观性判断152.3.3 系统参数矩阵的离散化162.4.本章小结17第三章模糊控制器算法设计173.1.模糊控制理论简介173.2.模糊控制器的设计183.2.1 输入模糊化183.2.2模糊推理机及知识库183.2.3输出清晰化203.2.4 模糊控制器推理过程213.3.融合函数的设计233.4.建立在上述算法上的二级倒立摆系统仿真243.5.本章小结27第四章变论域模糊控制器算法设计284.1.变论域的提出284.2.变论域算法的设计2

13、84.3.变论域模糊控制器的仿真304.4.本章小结33第五章模糊神经网络控制器设计335.1.模糊神经网络的提出335.2.模糊神经网络的推导345.2.1 模糊神经网络的前向算法345.2.2 模糊神经网络的学习算法365.3.模糊神经网络的仿真395.4.本章小结41第一章 绪论1.1. 本设计的目的和意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。倒立摆系统涉及到多变量，非线性，强耦合的自然不稳定性问题。倒立摆系统成本廉价，建模容易，是研究经典控制算法，最优控制算法以及智能控制算法的理想实验平台。研究倒立摆控制系统，对于控制算法

14、的研究有着深远的意义。在面对适应性，鲁棒性，快速性等控制器特性抽象的理论概念，能够更加直观，更加清晰的反应出其抽象特性。目前国内外的倒立摆系统主要有以下几种 1.1各类倒立摆系统 由于倒立摆系统与机器人行走，火箭发射姿态等实际应用问题都有一定的相似性，因此倒立摆系统的控制算法被广泛应用到各个领域当中。对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法，探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践

15、，并且可以促成相互间的有机结合。1.2. 概况早在20世纪60年代，人们就开始了对倒立摆系统的研究。1966年Schacfer和Cannon应用Bang-Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。到了20世纪60年代后期，倒立摆作为一个典型不稳定、非线性的例证被提出。自此，对于倒立摆系统的研究便成了控制界关注的焦点。倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行倒立摆、环形倒立摆、平面倒立摆；倒立摆的级数可以是一级、二级、三级、四级乃至多级；倒立摆的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义)；控制电机可以是单电机，也可以是多级电机。目前有关倒立摆的研究主要集中在

16、亚洲，如中国的北京师范大学、北京航空航天大学、中国科技大学；日本的东京工业大学、东京电机大学、东京大学；韩国的釜山大学、忠南大学，此外，俄罗斯的圣彼得堡大学、美国的东佛罗里达大学、俄罗斯科学院、波兰的波兹南技术大学、意大利的佛罗伦萨大学也对这个领域有持续的研究。近年来，虽然各种新型倒立摆不断问世，但是可自主研发并生产倒立摆装置的厂家并不多。目前，国内各高校基本上都采用香港固高公司和加拿大Quanser公司生产的系统；其它一些生产厂家还包括（韩国）奥格斯科技发展有限公司（FT-4820型倒立摆）、保定航空技术实业有限公司；最近，郑州微纳科技有限公司的微纳科技直线电机倒立摆的研制取得了成功。倒立摆

17、的研究具有重要的工程背景：(1)机器人的站立与行走类似双倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术机器人的行走控制至今仍未能很好解决。(2)在火箭等飞行器的飞行过程中，为了保持其正确的姿态，要不断进行实时、控制。(3)通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。(4)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。(5)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制也可以用多级倒

18、立摆系统进行研究。由于倒立摆系统与双足机器人，火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。1.3.

19、 本设计的要求由于在实际生活中控制器参数难整定，针对这种情况，控制领域的很多学者设计了很多自适应控制器以实现参数的自整定。本项目利用模糊控制的参数易调整，构架清晰的特点，设计出参数自整定的控制器，以提高系统控制的快速性和准确性。本项目的特点在于1.自适应性参数非线性整定，2.控制器可适用于非线性和线性系统。目前工业界普遍采用PID控制器，但是PID控制器有一定的局限性，需要经验丰富的工程师对PID三个参数进行整定，所以造成了控制器参数难以整定的局面。对于控制器而言，主要要求是“快，准，稳”，对于类神经网络的自适应性控制器而言，可以达到参数自整定的目的，并提高控制器的性能，可以用于工业生产和各种

20、需要高性能控制器的场所。本研究将设计的模糊控制器应用于倒立摆系统当中，通过仿真及实物研究对控制器的实用性进行分析。1.4. 拟采用的方法及技术1.运用lagrange方程建立二级倒立摆的数学模型在lagrange方程的基础上建立数学模型，在线性化以后，得到最后的状态方程，并定性分析系统的能控能观性。2.建立以误差与误差变化量为输入的模糊控制器模糊控制理论是建立在模糊集合论，模糊语言变量以及模糊逻辑推理基础上的一种计算机数字控制理论。它因在设计系统时不需要建立被控对象的精确数学模型而得到了广泛应用。所以模糊控制在研究像倒立摆这类系统中有着很大的优势。从线性控制与非线性控制的角度分类，模糊控制是一

21、种非线性控制；从控制器的智能性来看，模糊控制属于智能控制的范畴，而且它已经成为目前智能控制的一种重要而有效的实现形式。图1.4 模糊控制器基本结构本研究拟采用两变量输入的模糊控制器，对倒立摆系统进行调控。以期对该系统的控制有良好的稳定性，鲁棒性和适应性。3.设计控制方案控制方案一如图1.5，采用三路模糊控制器分别控制倒立摆的角度1，角度2，以及相对位移r。这种控制方法对于数据融合的处理有严重的缺陷，三路控制对倒立摆系统控制量的直接相加对于参数的整定非常困难。 图1.5 控制方案一控制方案二如图1.6，在查阅大量的相关资料后发现，应用最优控制的线性二次型调节器LQR作为融合函数，最后给模糊控制器

22、传送误差及误差变化量，来对系统进行调节。通过Q,R矩阵的定义，采用试凑法确定相对应的Q,R矩阵。这样可以大大减少控制算法的计算时间，提高了算法效率，而且为数据融合提供了依据。本研究同样也将对此种控制方案进行讨论。图1.6 控制方案二4.采用STM32微处理器搭建平衡小车平台，将设计的算法应用于平衡小车的平衡问题上。第二章 倒立摆系统数学模型与分析由于倒立摆系统的复杂性，强耦合性，导致倒立摆系统的精确模型难以建立。在建立倒立摆模型的过程中，经常采用忽略一定的因素来建立数学模型，比如忽略电机的黏性摩擦，空气阻力等等。并在建立数学模型后认为摆角的范围相对较小，对数学模型进行线性化，最终得到倒立摆的数

23、学模型。在建立数学模型的过程中，通常采用的有两种方法：1.牛顿力学分析法，2. 欧拉拉格朗日原理（lagrange方程）。在运用牛顿力学分析法的时候，通常要考虑到系统中的各个部分以及整体的受力情况，并计算以x,y坐标为参考下的力矩平衡，最后得到系统的微分方程。可见，牛顿力学分析法相对来说较为复杂。2.1. 二级倒立摆的基本结构本研究所采用的二级倒立摆由车轮，一级车体，二级摆杆，及控制电路组成。力矩电机为二级倒立摆提供动力，使导轨上的小车在导轨上来回运动，使两根摆杆竖立平衡，并保持平衡状态如图2.1。 图2.二级倒立摆基本结构二级倒立摆的控制环节有计算机，功放驱动电路，伺服电机，以及摆杆和传感器

24、组成。在控制回路中，光电编码器作为传感器测量摆杆1与摆杆2的相对角度，并传送回计算机，计算出相应的控制数据，再由功放驱动电路放大信号控制伺服电机，并最终达到平衡状态。如图2.2。 图2.2 二级倒立摆控制系统组成框图2.2. 二级倒立摆系统数学模型本处将基于欧拉拉格朗日原理（lagrange方程）对标准的二级倒立摆系统建立数学模型。在分析力学中，动力系统的拉格郎日量即拉格朗日函数，通常是描述了整个物理系统中的动力部分的函数。对于经典物理系统中，通常将朗格朗日量定义为系统的主动能减去系统的势能。下表为模型中涉及符号说明符号含义取值m0车轮质量1.21Kgm1一级车体质量0.32Kgm2二级摆杆质

25、量0.18Kgl1一级车体质心到转轴距离0.062ml2二级杆体质心到转轴距离0.172mL1一级车体长度0.136mJ1一级车体的转动惯量0.0106kg/m2J2二级摆杆的转动惯量 0.01825kg/m2f0车轮与地板间的摩擦系数23.67N*s/mf1一级车体的转轴摩擦系数0.003425 N*s/mf2二级摆杆的转轴摩擦系数0.003425 N*s/mg当地重力加速度9.8m/s2在建立数学模型的时候，我们从系统的总动能和系统的总势能量方面却考虑，由上知除车轮与地板的摩擦因数较大外，其余摩擦因数很小，所以在此忽略耗散能（即摩擦阻力的作用）。取状态变量X=r 1 2 r 1 2T 输出

26、变量为Y=r 1 2 T可以得知系统的状态方程应该为X=AX+BuY=CX (2.1)在这里我们直接给出二级倒立摆的状态方程的参数矩阵如下：M=m0+m1+m2m1l1+m2L1m1l1+m2L1J1+m1l12+m2L12m2l2m2l2L1m2l2 m2l2L1J2+m2l22 (2.2)N=-f000-f1-f20f20 f2 -f2 (2.3)G=000m1l1+m2L1g000 0 m2l2g (2.4)h=(100)T (2.5)由以上给出的各矩阵可以计算出参数矩阵如下：A=O3I3M-1GM-1N (2.6)B=(O3x1M-1h) (2.7)C=1000100000000010

27、00 (2.8)其中O3与I3分别为三阶零矩阵与三阶单位矩阵。忽略一级车体的转轴摩擦阻力和二级摆杆的转轴摩擦阻力，即N=-f000000 0 0 0 (2.9)得到在连续系统下的参数矩阵如下：A= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0-0.7473-0.1614 032.1588-3.3267 0-4.762313.6759-15.12550 040.72420012.590200(2.10)B= 000 0.6390-1.7205-0.5319 (2.11)C=100010000000001000 (2.12)在以下的研究分析中，我们将以以上参数矩阵确立

28、的状态方程为标准来对控制算法进行分析与讨论。2.3. 二级倒立摆系统的定性分析在20世纪50年代的航天技术飞速发展的条件下，控制理论在1960年左右得到了飞速发展。卡尔曼系统的将状态空间法引入到控制理论当中，并提出了能控性，能观测性的问题。状态的能控性问题是指控制作用对状态变量的支配能力，而能观测性问题是指系统的输出量（或观测量）能否反映状态变量。总体而言，能控性分析是在说明系统的状态能否被输入量所控制，而能观性分析是在说明系统的初始状态能否被观测来得到。在此处引出能控性判据与能观性判据。（能控性）线性定常系统X=AX+Bu完全能控的充分必要条件是矩阵B AB An-1B的秩为n。（能观性）对

29、于线性定常系统X=AX+BuY=CX 状态完全能观测的充分必要条件是矩阵C CA CAn-1T的秩为n。在此处引出矩阵条件数的定义，条件数是线性方程组Ax=b的解对b中的误差或不确定度的敏感性的度量。数学定义为矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即 condA=A*A-1 (2.13)式（2.13）中表示矩阵的范数。对于矩阵A的条件数而言，条件数越大说明矩阵A的数值稳定性越差，相当于在Ax=b的线性方程组中，当b改变很小时，A的改变很大，反之亦反。这对于控制系统中的参数矩阵A来说，当参数矩阵A的条件数越大，系统对于外部干扰越敏感，稳定性越差；当参数矩阵A的条件数越小，系统对于外部干

30、扰越不敏感，稳定性越好。在判断参数矩阵A的条件数时，选取矩阵的2范数，即2。可以求得A2=maxAH*A (2.14)式（2.14）中为特征值，AH为矩阵A的共轭转置矩阵。可以得出参数矩阵在去2范数下的条件数为 condA=maxAH*AminAH*A (2.15)2.3.1系统的稳定性分析在此处讨论系统的稳定性采用李亚普诺夫第一方法，又称间接法。对于线性系统，求出参数矩阵的特征值就可以判断其稳定性。下面给出李亚普诺夫第一方法定理。 如果式（2.1）中的参数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则该系统的平衡状态时渐进稳定的，且系统的稳定性与高阶导数项无关。如果在A的特征值中，至少有一个实部为正的特

31、征值，则原非线性系统的平衡状态是不稳定的。 由MATLAB计算参数矩阵A（2.10）的特征值为 =0 -15.2845 5.6337 3.5345 -5.5097 -3.4996由上可以看出开环极点有两个具有正实部，故系统是不稳定的。2.3.2系统的能控能观性判断 在文中已经给出了系统能观性与能控性的判据，在此处计算得出对于线性系统X=AX+BuY=CX，定义能控矩阵B AB A2B A3B A4B A5B由MATLAB计算得出rankB AB A2B A3B A4B A5B=6。故系统是能控的。同理定义能观矩阵C CA CA2 CA3 CA4 CA5T由MATLAB计算得出rankC CA

32、CA2 CA3 CA4 CA5T=6，故系统是能观的。由式（2.15）给出的条件数计算可以求得，condA=2.9082x103在此可以看出参数矩阵A的条件数很大。对于上文中求得的各参数矩阵，由于忽略了耗散能作用，并且所得到的模型是线性化以后的，实际上二级道理摆系统的非线性非常严重，故所得参数矩阵也不非常准确，但从条件数可以看出，该系统的相对能控性较小，换而言之，在实际的控制中，难度较大。2.3.3 系统参数矩阵的离散化 由于最终实现方式拟采用微处理器，故在仿真时将参数矩阵离散化，并在离散化以后的参数矩阵下进行系统仿真。取采样周期Ts=0.01s，采用零阶保持器的方式，最终得到离散化以后的参数

33、矩阵为Aa=1-0.0025 -0.000501.1615 -0.01810-0.0259 1.0690 0.0515 0 0 0.1345 0.1053 0 0.0402 0 0.10230-0.0413-0.008303.2902-0.38020-0.54431.39520.2176-0.0025-0.00052.24921.1615-0.01810.6450-0.02591.0690 (2.16)Bb= 0.0021-0.0057-0.0017 0.0331-0.0950-0.0272 (2.17)Cc=100010000000001000 (2.18)由上述参数矩阵可得离散化后的状态方

34、程为：Xk+1=Aa*Xk+Bb*ukYk=Cc*Xk (2.19)以下道理摆系统的仿真将建立在上式基础上。2.4. 本章小结在本章中，介绍了本次研究的二级倒立摆系统的基本结构，给出了用拉格朗日方程建立的系统状态方程，并根据实验情况设定了相应的实验数据。在第三小节中，根据二级倒立摆系统的模型进行了定性分析，验证了二级倒立摆系统的能控性和能观测性，并说明了二级倒立摆形同控制难度。在章节最后，根据所确定的数学模型进行离散化处理，为下文中的系统仿真做好了准备。第三章 模糊控制器算法设计3.1. 模糊控制理论简介模糊控制是建立在模糊数学理论之上的控制方法。在传统的控制领域当中，控制器的动态信息是影响系

35、统的关键因素，系统的动态信息越详细，就可以达到越精确的控制目的。1965年，美国L.A.Zadeh创立了模糊集合论，对不明确系统的控制做出了极大的贡献。在二十世纪七十年代以来，一些实用的模糊控制器的出现，让人们将目光逐渐投向这一领域。1974年，英国E.H.Mamdani首次根据模糊控制语句组成了模糊控制器，并应用于锅炉和蒸汽机的控制，获得了成功。八十年代以来，其典型应用已经深入生活中的方方面面，例如家用电器设备的智能洗衣机，空调，冰箱等，以及工业生产中的控制领域，例如水净化处理，发酵过程等。在此之后，模糊控制器得到了广泛应用，并与人工智能的相关领域，例如神经网络，基因算法相结合，设计出一系列

36、的智能控制算法，为解决工业上的控制问题给出了良好的方案。模糊控制器主要包括了输入模糊化，知识库，解模糊化等部分。如图3.1。 图3.1 模糊控制器基本结构3.2. 模糊控制器的设计3.2.1 输入模糊化输入模糊化一般采用隶属度函数，隶属度函数即为输入变量在论域中对于某一集合的隶属程度。隶属的函数的选择一般有两种，一种为高斯函数，另一种为三角形函数。对于这两种隶属度函数的选择没有明显的差别，为方便计算，在此处选用三角形函数。取输入变量误差E-1,1，以及误差变化量Ec-1,1，并将输入论域划分为5个集合。最终得到如图3.2的三角形隶属度函数。其中NB表示输入变量为负且大，NS表示输入变量为负且小

37、，Z表示输入变量趋近于0，PS表示输入变量为正且小，PB表示输入变量为正且大。通过三角形隶属度函数的模糊化，可将输入变量模糊化且得到在论域中的隶属度值。如图3.2 三角形隶属度函数3.2.2模糊推理机及知识库 模糊推理机采用IFTHEN的格式进行模糊推理，即如果输入变量为某种情况，则输出应该为某种情况。显然这是对于单输入而言的，对于该要设计的模糊控制器而言，在此必须采用双输入，故将输入变量组成了一种二维的情况。在此处先给出知识库的结构以及知识库中的内容，并在后文中解释说明。图3.3 知识库图3.3中所示的知识库为一个二维知识表。该表格中有输入变量E于Ec，正如输入模糊化中所述，将输入变量的论域

38、划分为NB，NS，Z，PS，PB（其语言意思在上文中已经给出），同理将输出变量的论域同样划分为NB，NS，Z，PS，PB。在这个知识库表格中，其输入E与Ec对应的即为输出变量的语言值。在此处将简单的推导知识库中信息所得到的方法，定义E=Yd-Y，其中Yd为系统输出的期望值，Y为此刻的系统输出值，而U控制器的输出变量，故E为系统的误差。即一般的闭环控制系统方框图如图3.4。 图3.4 闭环控制系统的方框图 现假设误差E为NB，Ec为NB，即为E=Yd-Y为负且绝对值很大，而Ec为误差E的变化量，同样为负且很大，故误差在增大，那么对于语言E=NB，Ec=NB可以解读为系统的输出大于期望输出，且系统

39、输出在增大。可以表示为图3.5，更易于理解。图3.5 E为NB，Ec为NB时Y的情形从图3.5中可以看出k时刻的Y大于Yd，此时E为NB，且在k+1时刻Y在增大，更加偏离与期望输出Yd。在这种情况下，根据经验可以让控制器输出一个向下的很大的力，将输出Y拉回期望值附近，故定义此时输出的力为NB。将上述推理过程用IFTHEN语言来描述，即为IF E=NB AND EC=NB , THEN U=NB.同理，再假设E=PB，Ec=PB , 此时Y的情形可用图3.6表示。图3.6 E为PB，Ec为PB时Y的情形即可解读为系统输出Y小于期望值并在偏离期望值，故此时输出一个力将其拉回期望值附近，定义此力的语

40、言值为NB。将上述推理过程用IFTHEN语言来描述，即为IF E=PB AND EC=PB , THEN U=PB.对于图3.3中给出的知识库，即有25条此类的规则，最终组成模糊推理机的知识库，并给出一个模糊的控制量。3.2.3输出清晰化在上文中我们已经知道了知识库以及知识库中输出力的语言值。在输出清晰化的过程中，我们将模糊推理机输出的模糊量，通过输出清晰化，最终得到输出清晰量，并将用于执行机构。在输出清晰化的过程中，将输出论域U规定在-1,1,并将其均分为NB，NS，Z，PS，PB（其语言意思在上文中相同）。故其论域可如图3.7所示。图3.7 输出论域的划分3.2.4 模糊控制器推理过程 在

41、这一小节中将详细的解释从输入变量到输出值的一个推理过程。在此处假设输入变量E=0.37，Ec=-0.62，即可知改系统的误差是0.37，误差的变化量为-0.62。故可知在对应的隶属度函数中，得到相应的隶属度值，如图3.8和图3.9。 图3.8 在E=0.37论域上得到的隶属度值 图3.9 在Ec=-0.62论域上得到的隶属度值在图3.8与图3.9中可以得到输入变量E分别可属集合PS与Z，且可以得到在Z集合上的隶属度值1=0.74，在PS集合上的隶属度值2=0.26。输入变量Ec分别可属集合NB和NS，且可以得到在NB集合上的隶属度值3=0.76，在NS集合上的隶属度值4=0.24。由上可知如图

42、3.10中框内启用的规则。 图3.10 在E=0.37，Ec=-0.62时启用的规则库用IFTHEN语言表示即为IF E=Z AND EC=NB , THEN U=NBIF E=Z AND EC=NS , THEN U=NSIF E=PS AND EC=NB , THEN U=NSIF E=PS AND EC=NS , THEN U=Z可见在IFTHEN语言中对于两个变量的关系用AND，在数学式中AND可取相乘或者去最小两种算法，在本文中此处取相乘。根据重心法解模糊的方法，可以得到精确的输出值U。即 1=13=0.5624 （3.1） 2=14=0.1776 （3.2） 3=23=0.1976

43、 （3.3） 4=24=0.0624 （3.4）由上式知U=1NB+2NS+3NS+4Z1+2+3+4 (3.5)即可计算出U=-0.75。以上即为模糊控制器计算输出值U的计算过程，对于不同的输入变量，以此类推即可。由于模糊控制器在计算中的这种插值特性，故将论域划分的越精细的时候，计算出的输出值U也将越精确。3.3. 融合函数的设计从上文中不难发现，模糊控制器的输入变量为二维变量，而对于二级倒立摆系统而言输入变量有r 1 2 r 1 2 这六个输入变量，这对于模糊控制器而言是不可行，如要采用上述模糊控制器，一定要设计融合函数来将六个输入变量进行整合。首先要利用最优控制理论计算出一个最优反馈矩阵

44、K，即令u=-KXT作为最优控制器的输出变量时可以让二级倒立摆系统基本稳定。即 K=Kr K1 K2 Kr K1 K1 (3.6)下面介绍利用LQR（线性二次型最优控制理论）来设计最优反馈矩阵的过程。已知最优性能控制指标函数为 J=0XTQX+uTRu dt (3.7)通过求解Ricatti方程： ATPA-ATPB(BTPB+R)-1BTPA+Q=P （3.8）来求得矩阵P。最终可以为使式3.7中的J最小，可以得到 K=BTPB+R-1（BTPA） （3.9）在最优反馈矩阵设计的过程中，LQR参数的选择非常重要。矩阵Q与矩阵R对闭环控制系统的动态性能非常重要，是用来调节输入变量与输出变量之间

45、权重的。在一般情况下，R增大时，输出变量减小，动态波动减小，跟随速度变慢；Q矩阵中对应于某一项的参数增大，那么其对应项的响应速度变快，而其他项的响应速度将变缓。故矩阵Q与R的参数与状态变量时相互耦合的，在选择时应该综合选取。用MATLAB的dlqr函数计算可得到最优反馈矩阵K=11.7074, -316.6423, 450.7791, -1.7100, -44.8912, 118.5615 (3.10)最后利用最优反馈矩阵K来构造融合函数F(X)： FX=KrK2K1K2K2K2000000KrK2K1K2 K1K2 (3.11)其中K2为矩阵K的2范数。565.399由式（3.11）最终计算

46、出 FX=0.0207-0.56000.7973000000-0.0030-0.07940.2097 (3.12)故最终得到矩阵 EEc=F(X)XT (3.13)在融合函数设计以后，控制系统的方框图如图3.11 图3.11 通过融合函数后的系统方框图3.4. 建立在上述算法上的二级倒立摆系统仿真在上文中，已经建立了二级倒立摆的状态方程，以及第三章中设计的模糊控制器和最优反馈矩阵组成的融合函数，在本小节中将对二级倒立摆系统进行控制仿真。该仿真在VS2010中编写模糊控制器的C代码，并依照系统方框图的流程建立模型，并仿真得到输入变量有r，1，2以及E与Ec的输出曲线图。选取初始值为r=0, 1=

47、0.1，2=0.1（角度单位为rad）。如图3.12至图3.14图3.12 1的仿真曲线图3.13 2的仿真曲线图3.13 r的仿真波形 图3.13 融合后E的仿真曲线图3.13 融合后Ec的仿真曲线从图3.12至图3.14来看，整体上模糊控制器和融合函数可以对二级倒立摆系统起到控制作用，但对于控制效果而言，是不尽人意的。在系统输出曲线在100步后出现高频振荡，纠其原因是由于模糊控制器本身带来的不精确性，在接近平衡点位置时无法输出一个精确的控制量来对形同进行整定。从1和2的曲线来看，在初始状态偏离平衡位置约6度角时，是可以达到控制效果的。从整体曲线上可以发现，总体上看系统输出的超调量很小，是差

48、强人意的。3.5. 本章小结在本章中，利用模糊算法的理论，设计出模糊控制器，并为了降低输入变量的维度，结合了最优控制理论，设计了基于最优反馈矩阵的融合函数。在这些算法的理论基础上，画出控制系统的方框图，并在VS2010建立模型，最终输出系统仿真曲线。仿真结果证明，模糊控制器以及融合函数对二级倒立摆系统有一定的整定作用，为下一章节中设计的自适应性算法奠定了基础。第四章 变论域模糊控制器算法设计4.1. 变论域的提出 在20世纪90年代，对于倒立摆系统的控制，人们仍停留在一级或者二级之上，对于三级倒立摆系统的控制，世界上还没有得到完全解决，在此时我国李洪兴教授首次提出变论域的模糊控制器，并在20世

49、纪末完成了四级倒立摆系统的仿真，在20世纪初期，李洪兴教授带领的团队成功应用变论域理论设计出四级倒立摆系统。变论域理论的提出很好的解决了模糊算法的不精确性，并能在最终输出变量更加智能化。变论域模糊控制器是一种建立在模糊控制器基础之上，并相应的设计出自适应性算法的控制器，其自适应性主要表现在输入论域随着误差的改变而改变，输出论域随着误差的累积而改变。根据上一章节中的推导不难发现，经典模糊控制器相当于PD控制器，但其智能性是由于PD控制器的。而在变论域模糊控制器当中，就相当于在原有的PD控制器当中引入了变量I，是误差得到累积，并最终达到良好的控制效果。4.2. 变论域算法的设计变论域算法的设计是基

50、于以下两个准则的：第一，对于E与Ec的论域，将随着输入变量E与Ec的大小变化而变化；第二，对于输出变量的论域，其变化速度应与系统误差E成正比。这是两条设计变论域算法的准则，下文中也将利用这两条准则来设计变论域因子。现假设E的论域为-1E,1E，Ec的论域为-2Ec,2Ec，输出变量U=U。对于第一条规则E与Ec的论域将随着输入变量E与Ec的大小变化而变化。从经验的角度出发，当输入变量增大时，为了得到相应的准确值，应该要增加输入变量的论域，以期能将输入变量包含在论域中，这样才可以得到相对准确的输出值；当输入变量减小时，为了得到相应的准确值，应该要减小输入变量的论域，以期能够在论域中得到更加精确的

51、输出值。从图4.1中即可发现这种变化带来的自适应不仅有利于扩展论域，并在某种程度上提高了控制器的适应性。 图4.1 输入变量的论域变化对于自适应性因子，一般选取为 e=1-*exp(-k*e2) （4.1）其中0 0。在选取=0.95，k=1时，e的图像如图4.2， 图4.2 e=1-*exp(-k*e2) 的图像可见图4.2中，输入变量的论域是非线性变化的，当输入变量越小时，论域越小，当输入变量越大时，论域越大。通过调整k值可以改变函数的非线性程度，改变的大小，可以改变输出论域的最小值。对于第二条规则，输出变量的论域的变化速度应与系统误差E成正比。即=kE,其中k0。由于是调整最终输出变量的

52、大小，正如位置式PID的计算式 u(k)=Kpe(k)+Ki*t=0ket+Kd*e （4.2）中对输入变量误差E的累积，Ki量对于消除系统稳态误差有着非常重要的意义。在此处根据规则二，可以设计出变量因子的计算式， k=Ki*k*e+ (4.3)其中Ki0，k0，0。4.3. 变论域模糊控制器的仿真在此处选用变论域模糊控制器对二级倒立摆控制系统进行仿真，其中选取E的论域为-1,1，Ec的论域为-2,2，输出变量U=u。对于1的参数选择，选取1=0.92，k1=1。对于2的参数选择，选取2=0.95，k2=1。对于的参数选择，选取Ki=0.45，k3=1，=1。选取初始值为r=0, 1=0.1，2=0.1（角度单位为rad）。仿真曲线如图4.3至图4.7，其中蓝色曲线为直接用模糊控制器输出的仿真曲线，红色曲线为变论域模糊控制器输出的仿真曲线。图4.3 1的仿真