mathematics第7讲

1、软 件 介 绍第7讲 数列与级数2/637.1 引言引言极限是微积分中最重要的基本内容之一。远在公元前极限是微积分中最重要的基本内容之一。远在公元前3世纪，古希腊人阿基米德就采用了数列极限的思想来世纪，古希腊人阿基米德就采用了数列极限的思想来计算曲边三角形的面积。计算曲边三角形的面积。本讲的目的是通过计算机来发现数列的规律与极限状本讲的目的是通过计算机来发现数列的规律与极限状态的性质。态的性质。3/637.1 引言引言所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一组数所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一组数a1，a2，an， (1)而一个无穷级数则是由无穷项构成的和式而一个无穷级数则是由无穷项构成的

2、和式. (2)数列与极限有着密不可分的关系。数列与极限有着密不可分的关系。给定一个无穷级数给定一个无穷级数(2)，它唯一确定了一个无穷数列，它唯一确定了一个无穷数列S1，S2，.其中其中Sn = a1+an，n = 1，2，。.211 aaann4/637.1 引言引言所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一组数所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一组数a1，a2，an， (1)而一个无穷级数则是由无穷项构成的和式而一个无穷级数则是由无穷项构成的和式. (2)数列与极限有着密不可分的关系。数列与极限有着密不可分的关系。反之，给定一个无穷数列反之，给定一个无穷数列(1)，它也唯一地确定了一个，它也

3、唯一地确定了一个无穷级数无穷级数 ，这里，这里b1= a1, bn = an an-1, n = 2, 3, 。而且无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限而且无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限.因此，无穷数列与无穷级数是可以转化的。因此，无穷数列与无穷级数是可以转化的。.211 aaann 1nnb5/637.1 引言引言对于给定的数列对于给定的数列an, 需要研究的问题是：需要研究的问题是：(1) 数列数列an有什么规律和性质。有什么规律和性质。(2) 当当n时，数列时，数列an的极限是什么。的极限是什么。(3) 如果极限是无穷大如果极限是无穷大,那么它趋向于无穷大的阶是多大那么它趋向于无穷

4、大的阶是多大(4) 如果数列的极限不存在如果数列的极限不存在, 那么它在无穷大时的极限那么它在无穷大时的极限状态怎样状态怎样?对于给定一个无穷级数，也具有以上类似的问题。对于给定一个无穷级数，也具有以上类似的问题。本讲首先以斐波那契数列和调和级数为例来探讨上述本讲首先以斐波那契数列和调和级数为例来探讨上述问题，然后讨论自然对数的底问题，然后讨论自然对数的底e。6/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.1 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列的由来数列的由来13世纪意大利著名数学家斐波那契在他的著作世纪意大利著名数学家斐波那契在他的著作算盘算盘书书中记载着这样

5、一个问题：中记载着这样一个问题：一对刚出生的幼兔经过一个月后可长成成兔，成兔再一对刚出生的幼兔经过一个月后可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔。假设兔子不会死经过一个月后可以繁殖出一对幼兔。假设兔子不会死亡，问一年后总共有多少对兔子亡，问一年后总共有多少对兔子?易知，兔子总数为以下数列：易知，兔子总数为以下数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，7/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.1 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列的由来数列的由来易知，兔子总数为以下数列：易知，兔子总数为以下数列：1，1，2，3，5，8，13，21

6、，34，55，89，其递推关系式由其递推关系式由 Fn+2=Fn+1+Fn，n= 1，2，F1 = 1，F2 = 1 (3)给出，该数列被称为斐波那契数列。给出，该数列被称为斐波那契数列。8/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列 Fn+2=Fn+1+Fn，n= 1，2，F1 = 1，F2 = 1 (3)该数列被称为斐波那契数列。该数列被称为斐波那契数列。p7.2.2 斐波那契数列的极限斐波那契数列的极限为考察斐波那契数列的极限与规律，我们用计算机算为考察斐波那契数列的极限与规律，我们用计算机算出斐波那契数列每一项的值，并在平面上画出顺次连出斐波那契数列每一项的值，并在平面

7、上画出顺次连接点接点(n，Fn)，n=1，2，N的折线图，其中的折线图，其中N是一个是一个大整数。大整数。9/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.2 斐波那契数列的极限斐波那契数列的极限【例【例7-1】取】取N=20，观察斐波那契数列的折线图。，观察斐波那契数列的折线图。输入如下输入如下Mathematica程序：程序：fn_ := fn - 1 + fn - 2; f0 = 1; f1 = 1;fib = Tablefi, i, 1, 20;g1 = ListPlotfib, PlotStyle - PointSize0.02;g2 = ListPlotfib

8、, PlotJoined - True;Showg1, g2;10/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.2 斐波那契数列的极限斐波那契数列的极限【例【例7-1】取】取N=20，观察斐波那契数列的折线图。，观察斐波那契数列的折线图。输入如下输入如下Mathematica程序：程序：fib = TableFibonaccii, i, 1, 20;g1 = ListPlotfib, PlotStyle - PointSize0.02;g2 = ListPlotfib, PlotJoined - True;Showg1, g2;11/637.2 斐波那契斐波那契(Fib

9、onacci)数列数列p7.2.2 斐波那契数列的极限斐波那契数列的极限【例【例7-1】取】取N=20，观察斐波那契数列的折线图。，观察斐波那契数列的折线图。斐波那契数列的折线图：斐波那契数列的折线图： 12/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.2 斐波那契数列的极限斐波那契数列的极限练习练习 分别取分别取N = 50, 100, 200, 500，观察斐波那契数列，观察斐波那契数列的折线图。斐波那契数列是否单调递增的折线图。斐波那契数列是否单调递增?它是否趋向于它是否趋向于无穷无穷?它增加的速度是快还是慢它增加的速度是快还是慢?13/637.2 斐波那契斐波那

10、契(Fibonacci)数列数列p7.2.2 斐波那契数列的极限斐波那契数列的极限为进一步研究斐波那契数列为进一步研究斐波那契数列Fn的特性，将的特性，将Fn取对数，取对数，在直角坐标系中画出顺次连接点在直角坐标系中画出顺次连接点(n，lnFn)，n = 1，2，N的折线图的折线图14/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.2 斐波那契数列的极限斐波那契数列的极限【例【例7-2】取】取n = 20，画出，画出(n，lnFn)的折线图，并对以的折线图，并对以上数据进行拟合。上数据进行拟合。在直角坐标系中画出顺次连接在直角坐标系中画出顺次连接(n，lnFn)，n =

11、1，2，20的折线图。的折线图。fib = TableFibonaccii, i, 1, 20;lgf = Logfib;g1 = ListPlotlgf, PlotStyle - PointSize0.02;g2 = ListPiotlgf, PlotJoined - True;Showg1, g2;15/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.2 斐波那契数列的极限斐波那契数列的极限【例【例7-2】取】取n = 20，画出，画出(n，lnFn)的折线图，并对以的折线图，并对以上数据进行拟合。上数据进行拟合。在直角坐标系中画出顺次连接在直角坐标系中画出顺次连接(n

12、，lnFn)，n = 1，2，20的折线图。的折线图。16/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.3 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列的通项公式斐波那契数列满足递推关系斐波那契数列满足递推关系Fn+2 = Fn+1 + Fn (3)称这样的递推关系为二阶线性称这样的递推关系为二阶线性(齐次齐次)差分方程。差分方程。怎样寻找斐波那契数列精确的通项公式呢怎样寻找斐波那契数列精确的通项公式呢?17/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.3 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列的通项公式根据前面的观察，可以猜测数列根据前面的观察，可以猜测数列

13、Fn的通项具有指数形的通项具有指数形式，不妨设式，不妨设Fn = n，将，将Fn = n代入递推关系式代入递推关系式(3)，得到，得到 n+2 = n+1 + n。消去非零因子消去非零因子 n，有，有 2= +1。从而解得。从而解得设设Fn = c1 1n + c2 2n ，代入，代入(3)式，并由式，并由F1 = 1，F2 = 1即即可确定常数可确定常数c1和和c2为为251,25121 2211515251,511055 cc18/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.3 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列的通项公式设设Fn = c1 1n + c2 2n ，

14、代入，代入(3)式，并由式，并由F1 = 1，F2 = 1即即可确定常数可确定常数c1和和c2为为因此，斐波那契数列的通项公式为因此，斐波那契数列的通项公式为 (4)251,25121 2211515251,511055 cc 11221125125151)(51nnnnnF 19/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.4 斐波那契数列的几个例子斐波那契数列的几个例子斐波那契数列与自然界中的许多现象，如植物的枝干斐波那契数列与自然界中的许多现象，如植物的枝干与叶子的生长，有密切联系。与叶子的生长，有密切联系。它在纯数学领域的一个极为成功的应用是协助苏联数它在纯数学

15、领域的一个极为成功的应用是协助苏联数学家马蒂雅舍维奇解决了著名的希尔伯特学家马蒂雅舍维奇解决了著名的希尔伯特(Hilbert)第十第十问题。问题。此外，它在优化、运筹以及计算机科学与艺术领域都此外，它在优化、运筹以及计算机科学与艺术领域都有着极大的应用价值，下面给出斐波那契数列的几个有着极大的应用价值，下面给出斐波那契数列的几个例子。例子。20/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.4 斐波那契数列的几个例子斐波那契数列的几个例子(蜜蜂的蜜蜂的“家谱家谱”)蜜蜂的繁殖规律十分有趣。蜂后所产的卵，受精的孵蜜蜂的繁殖规律十分有趣。蜂后所产的卵，受精的孵化为雌蜂化为雌蜂

16、(即工蜂或蜂后即工蜂或蜂后)，未受精的孵化为雄蜂。，未受精的孵化为雄蜂。在追溯雄蜂的家谱时，一只雄蜂的第在追溯雄蜂的家谱时，一只雄蜂的第n代子孙数目刚好代子孙数目刚好就是斐波那契数列的第就是斐波那契数列的第n项项Fn。21/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.4 斐波那契数列的几个例子斐波那契数列的几个例子(树的分枝树的分枝)如果一棵树每年都在生长，第二年有两个分枝，通常如果一棵树每年都在生长，第二年有两个分枝，通常第 三 年 就 有 三 个 分 枝 ， 第 四 年 五 个 ， 第 五 年 八第 三 年 就 有 三 个 分 枝 ， 第 四 年 五 个 ， 第 五

17、 年 八个，个，每年的分枝数都是斐波那契数。每年的分枝数都是斐波那契数。22/637.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.4 斐波那契数列的几个例子斐波那契数列的几个例子(杨辉三角形与斐波那契数列杨辉三角形与斐波那契数列)把杨辉三角形中的数据排列在表格中，自左下至右上把杨辉三角形中的数据排列在表格中，自左下至右上斜线相加，就可以得到斐波那契数列，如表斜线相加，就可以得到斐波那契数列，如表23-1所示。所示。杨辉三角形与斐波那契数列杨辉三角形与斐波那契数列112358132111112113311464115101051161520156117213535217123/6

18、37.2 斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列数列p7.2.4 斐波那契数列的几个例子斐波那契数列的几个例子练习练习4 对斐波那契数列，设对斐波那契数列，设观察数列观察数列gn的变化趋势。的变化趋势。1 nnnFFg24/637.3 调和级数调和级数p7.3.1 调和级数的定义调和级数的定义我们熟知，数学分析中的我们熟知，数学分析中的p-级数：级数： (5)当当p 1时收敛，当时收敛，当p1时发散。时发散。特别地，当特别地，当p = 1时，级数时，级数(5)称为调和级数。称为调和级数。 11npn25/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度一个令人

19、感兴趣的问题是，调和级数发散到无穷的速一个令人感兴趣的问题是，调和级数发散到无穷的速度有多快度有多快?或者说数列或者说数列趋于无穷的速度有多快趋于无穷的速度有多快?一个直观的方法仍然是画出由点一个直观的方法仍然是画出由点(n，Sn)，n = 1，2，N构成的折线图。构成的折线图。nSn1.31211 26/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢觉得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与将它的图形与作比较，谁的发散速度快作比较，谁的发散速度快

20、?取取n = 30，分别画出调和级数的折线图、与，分别画出调和级数的折线图、与的比较图如下。的比较图如下。4,xyxyxy 4,xyxyxy 27/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢觉得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与将它的图形与作比较，谁的发散速度快作比较，谁的发散速度快?Clearn; sn_ := NSum1/i, i, n; n = 30;sn = Tablesi, i, 1, n;g1 = ListPlotsn, Plo

21、tStyle - PointSize0.02, DisplayFunction - Identity;g2 = ListPlotsn, PlotJoined - True, DisplayFunction - Identity;g3 = Showg1, g2, DisplayFunction - $DisplayFunction;4,xyxyxy 28/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢觉得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与将它的图

22、形与作比较，谁的发散速度快作比较，谁的发散速度快?4,xyxyxy 29/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢觉得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与将它的图形与作比较，谁的发散速度快作比较，谁的发散速度快?4,xyxyxy 30/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢觉得它发散的

23、速度是快还是慢?将它的图形与将它的图形与作比较，谁的发散速度快作比较，谁的发散速度快?f1x_ := x; f2x_ := Sqrtx; f3x_ := x(1/4);gf1 = Plotf1x, x, 0, 20, PlotStyle - RGBColor1, 0, 0, DisplayFunction - Identity;gf2 = Plotf2x, x, 0, 20, PlotStyle - RGBColor0, 1, 0, DisplayFunction - Identity;gf3 = Plotf3x, x, 0, 20, PlotStyle - RGBColor0, 0, 1,

24、DisplayFunction - Identity;4,xyxyxy 31/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢觉得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与将它的图形与作比较，谁的发散速度快作比较，谁的发散速度快?4,xyxyxy 32/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢觉得它发

25、散的速度是快还是慢?将它的图形与将它的图形与作比较，谁的发散速度快作比较，谁的发散速度快?Showg3, gf1, DisplayFunction - $DisplayFunction;Showg3, gf2, DisplayFunction - $DisplayFunction;Showg3, gf3, DisplayFunction - $DisplayFunction;4,xyxyxy 33/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度【例【例7-3】取充分大的】取充分大的N，观察调和级数的折线图。你，观察调和级数的折线图。你觉得它发散的速度是快还是慢觉

26、得它发散的速度是快还是慢?将它的图形与将它的图形与作比较，谁的发散速度快作比较，谁的发散速度快?4,xyxyxy 34/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度从以上结果可看出，调和级数发散的速度较慢。但是，从以上结果可看出，调和级数发散的速度较慢。但是，它到底以什么样的速度发散到无穷它到底以什么样的速度发散到无穷?让我们再做下面的让我们再做下面的练习。练习。35/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度练习练习5 对充分大的一系列对充分大的一系列n，计算，计算S2n Sn，你能否猜测，你能否猜测出出S2n Sn当当n

27、趋于无穷的极限趋于无穷的极限?更一般地，更一般地， 趋于无穷的速度是什么趋于无穷的速度是什么?反过来，反过来，固定固定n，让，让k趋于无穷，趋于无穷， 趋于无穷的速度是什么趋于无穷的速度是什么?你你能否由此得出能否由此得出Sn当当n趋于无穷的极限阶趋于无穷的极限阶?nnSSk 2nkS236/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度感觉级数增长速度的一种方法是定义函数感觉级数增长速度的一种方法是定义函数J(n)，它是不，它是不小于级数部分和小于级数部分和的最小整数。的最小整数。例如例如J(1) = 1，J(3) = 2，J(4) = 3。sn_:=NSum

28、1/i, i, n;jn_:=Ceilingsn;nSn1.31211 37/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度练习练习6 对对n = 1，2，N(N是某个较大整数是某个较大整数)，计算，计算J(2n) J(n)。你能作出什么猜测。你能作出什么猜测?n = 400;p = Tablei, j2 i - ji, i, 1, n;TableFormpx = pAll, 2;ListPlotxJ(2n)J(n)成立吗成立吗?给定给定n，你能找到，你能找到m作为作为n的函数，它能的函数，它能保证保证J(m)=J(n)+1吗吗?38/637.3 调和级数调和级

29、数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度练习练习6 对对n = 1，2，N(N是某个较大整数是某个较大整数)，计算，计算J(2n) J(n)。你能作出什么猜测。你能作出什么猜测?n = 400;p = Tablei, j2 i - ji, i, 1, n;TableFormpx = pAll, 2;ListPlotx39/637.3 调和级数调和级数p7.3.2 调和级数的发散速度调和级数的发散速度对每个对每个n，设，设J(m) = J(n)+1，则，则mn的范围是什么的范围是什么?sn_:=NSum1/i, i, n;jn_:=Ceilingsn;mn_:=Modulek, i,

30、 (k = jn; i=n; Whileji None, m, n=10m, an, Annnna 11111 nnnA47/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.1 e的由来的由来【例【例7-4】观察当】观察当n趋于无穷大时，数列趋于无穷大时，数列 和和 的变化趋势：的变化趋势：(1) 求出当求出当n = 10m，m = 1，2，6时时an，An的值并的值并观察变化趋势。观察变化趋势。解：解：(1) 输入如下代码：输入如下代码：nnna 11111 nnnA48/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.1 e的由来的由来【例【例7-4】观察当】观察当n趋于无穷大时，数列趋于

31、无穷大时，数列 和和 的变化趋势：的变化趋势：(1) 求出当求出当n = 10m，m = 1，2，6时时an，An的值并的值并观察变化趋势。观察变化趋势。解：解：(1)计算出计算出an，An的值如下表的值如下表nnna 11111 nnnA49/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.1 e的由来的由来【例【例7-4】观察当】观察当n趋于无穷大时，数列趋于无穷大时，数列 和和 的变化趋势：的变化趋势：(1) 求出当求出当n = 10m，m = 1，2，6时时an，An的值并观的值并观察变化趋势。察变化趋势。解：解：(1) 输入如下代码：输入如下代码：t1 = Tablek, Na10k

32、, k, 0, m;t2 = Tablek, NA10k, k, 0, m;ListPlott1, PlotStyle - PointSize0.02;ListPlott2, PlotStyle - PointSize0.02;nnna 11111 nnnA50/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.1 e的由来的由来【例【例7-4】观察当】观察当n趋于无穷大时，数列趋于无穷大时，数列 和和 的变化趋势：的变化趋势：(1) 求出当求出当n = 10m，m = 1，2，6时时an，An的值并观的值并观察变化趋势。察变化趋势。解：解：(1) 输入如下代码：输入如下代码：nnna 1111

33、1 nnnA51/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.1 e的由来的由来【例【例7-4】观察当】观察当n趋于无穷大时，数列趋于无穷大时，数列 和和 的变化趋势：的变化趋势：(1) 求出当求出当n = 10m，m = 1，2，6时时an，An的值并的值并观察变化趋势。观察变化趋势。解：解：(1) 画出其散点图画出其散点图nnna 11111 nnnA52/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.1 e的由来的由来【例【例7-4】观察当】观察当n趋于无穷大时，数列趋于无穷大时，数列 和和 的变化趋势：的变化趋势：(2) 在同一坐标系中画出下面三个函数在区间在同一坐标系中画出下面

34、三个函数在区间1，4上上的图像：的图像： ， ，y = e观察当观察当x增大时图像的走向。增大时图像的走向。nnna 11111 nnnAxxy101011 1101011 xxy53/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.1 e的由来的由来【例【例7-4】观察当】观察当n趋于无穷大时，数列趋于无穷大时，数列 和和 的变化趋势：的变化趋势：解：解：(2) 输入如下代码：输入如下代码：y1x_ := (1 + 1/10 x)(10 x); y2x_ := (1 + 1/10 x)(10 x + 1); y = E;Ploty, y1x, y2x, x, 0, 4, PlotStyle

35、- RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 1, 0, RGBColor0, 0, 1;nnna 11111 nnnA54/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.1 e的由来的由来【例【例7-4】观察当】观察当n趋于无穷大时，数列趋于无穷大时，数列 和和 的变化趋势：的变化趋势：解：解：(2) 输入如下代码：输入如下代码：nnna 11111 nnnA55/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.1 e的由来的由来【例【例7-4】观察当】观察当n趋于无穷大时，数列趋于无穷大时，数列 和和 的变化趋势：的变化趋势：解：解：(2) 画出三个函数在区间画出三个函数在

36、区间1，4上的图像上的图像nnna 11111 nnnA56/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.1 e的由来的由来练习练习9 将例将例7-4中的作图区间换成中的作图区间换成2，4, 或或3，5, 或或5，6，观察所得到的图像。，观察所得到的图像。通过观察可以看到通过观察可以看到, 当当n增大时增大时 递增，递增， 递减。递减。随着随着n的无穷增大，的无穷增大，an，An无限接近，并趋于共同的极无限接近，并趋于共同的极限限e：2.718 28。nnna 11111 nnnA57/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.2 用级数的部分和近似用级数的部分和近似e将以将以e为底的指数函数为底的指数函数y = ex展开成幂级数，有展开成幂级数，有可以证明该级数的收敛区间为可以证明该级数的收敛区间为( -，+)。令。令x = 1，得，得 (7)记记我们可以选择适当的我们可以选择适当的n，通过计算，通过计算Sn得到得到e的近似值。的近似值。.!.! 212 nxxxenx 1!11.!1.! 2111kknenknkS1!1158/637.4 自然对数的底自然对数的底ep7.4.2 用级数的部分和近似用级数的部分和近似e【例【例7-5】利用】利用(7)式计算式计算e的近