浅谈图型计算器在高一数学函数概念教学中的应用庞兴

1、浅谈图型计算器在高一数学函数概念教学中的应用广东省东莞市东莞中学数学科 庞兴【摘要】本文分析在图形计算器的支持下,如何进行高一数学函数概念的教学模式，以及概括与突出概念的本质、突破概念理解的难点的几点体会.【关键词】图型计算器；概念教学高一数学难学,这是因为高一数学概念抽象,学生较难接受.理解并掌握数学概念是学好数学的第一关.随着图形计算器与数学学科的不断整合，它正逐步影响和改变着数学教学的方方面面,其中也包括了概念的教学. 在图形计算器环境下，学生的学习时空可以被有效拓宽.学生可以不再依赖于教师，新型的师生关系可以促进学生学习方式的转变.同时，数学概念本身也会受到新型的学法和教法的改造，这也

2、必将形成技术和概念之间的有效整合.下面谈谈图形计算器支持条件下高一函数概念教学的一些体会.一、图形计算器支持条件下数学概念教学模式教无定法，但教须有法教师利用图形计算器的数据处理功能、函数功能、图形功能、简单编程功能和进行一些数理实验的功能，针对高一函数概念，探索概念形成的一般规律和方法，并形成一定的教学模式.使得教学更加具有可操作性、稳定性和发展性. 在传统的数学概念教学中，老师一般是通过举例、归纳或者开门见山式的进行概念的引入.在高效率的同时，学生相对存在接受障碍，以及因被动接受导致无法深入理解和灵活变通等不良后果.在课堂引入图形计算器后，对数学概念的教学，有了新的方式、方法.基于图形计算

3、器支持条件下的学生学习方式一般可设计为:“操作观察探究发现猜想验证”,以达到对数学知识、方法、思想的深刻理解.使学生在数学课程中运用现代信息技术，自己分析问题、解决问题、获取知识，从而达到数学知识、数学创新意识、创新能力同步增长的目的案例1.函数的单调性问题1：以函数为例，让学生在图像上任意取一点，测出点坐标，利用图形计算器的追踪功能让学生观察，点在函数图像上按横坐标增大的方式移动时，点的纵坐标的变化规律如何？学生交流讨论，总结规律后，给出增（减）函数的自然语言描述.问题2：利用图形计算器，在上任意取，的值，当时，观察，的大小关系？在此过程中，可先引导学生有规律的取，的值，观察，的大小关系，再

4、让学生发散思维任意取，的值进行观察.学生动手操作，讨论交流，教师在学生表述的过程中发掘亮点，纠正问题，适时评价，最后形成结论：在上任选两个自变量的值，自变量大对应的函数值也大.二、在概念形成中使用图形计算器，概括概念本质属性从教育和发展心理学的观点来看，概念教学的核心就是“概括”，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括其共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念.在图形计算器的支持下，学生从表层到本质，把握概念深层结构的内涵；从具体到抽象，对抽象的概念要形象描述，要用更多典型、精彩的例子解读概念；从孤立到系统，对概念之间的关系和联系，有层次化、立体化的认识概念

5、的形成与发展FF0C自己经历知识产生的过程，通过观察、归纳、抽象、概括，逐步建构概念的雏形. 案例2.1 函数奇偶性概念的教学人教A版教材在研究偶函数和奇函数概念时，分别只给出了学生比较熟悉的两个具体函数，即，和，我们感觉只从两个具体函数就归纳给出偶函数和奇函数的概念是有所欠缺的.借助图形计算器，我们可以给出更多的具体函数，让学生从多个具体函数所具有的共性中归纳总结得出概念.问题1. 画出， ，的图象，并观察它们的图象有什么共同特征？学生利用图形计算器的“图形函数”功能，能很快绘制出1个或多个函数的图象, 从直观上可以看出这组函数的图象均关于轴对称. 三、在概念理解中使用图形计算器，促进概念本

6、质的理解我们一般从概念的内涵与外延来深刻理解一个概念.概念概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性；概念的外延就是指具有概念所反映的本质属性的对象. 概念的内涵是概念的质的方面，它说明概念反映的事物是什么样的；概念的外延式概念的量的方面，通常说的概念的适应范围就是指概念的外延，它说明概念反映的是那些事物.概念的内涵和外延是两个密切联系、互相依赖的因素.案例3.1 函数奇偶性概念问题2. 列出函数， ，相应的函数值对应表，观察它们有什么共同特征？利用图形计算器的“表格函数”功能（图4），图形计算器可很快列出这5个具体函数的自变量及所对应的函数值（图5，图6）.学生从表格中容易发现这组函数当自

7、变量的取值互为相反数时，函数值相同，通过改变自变量的取值范围，可发现这一数量特征对于定义域中的任意值都成立，由此可归纳得出.此时教师可指出我们可以把符合这种特征的函数称为偶函数，进而在教师的引导下学生可尝试给出偶函数的定义，并通过学生和教师之间的交流互动完善定义. 图4 图5 图6在得出偶函数的定义后，教师可提出：问题3.画出函数，的图象，并观察它们的图象有什么共同特征？相应的函数值对应表是如何体现这些特征的？学生通过类比偶函数的研究方法很快就能够归纳出奇函数的定义. 进而教师提出：问题4.自己任意写出一些函数，观察它们的图象特点以及自变量互为相反数时，函数值所具有的特征.学生这时可从课本上任

8、意选择函数或者自编函数，从数和形两个角度进行分析，会发现有些函数的图形和数据特征符合奇函数或偶函数的定义，而有些函数不符合定义，从而很自然地提出问题，这些不符合奇函数或偶函数定义的函数叫什么函数呢？在教师的引导下，学生会顺理成章地得出这些函数既不是奇函数，也不是偶函数，从而进一步加深了对偶函数和奇函数概念的理解.有的学生还会发现函数既关于轴对称，也关于原点对称，类比已得到的概念，学生会很深刻地认识到这个函数既是偶函数又是奇函数.在上述概念的形成过程中，学生通过观察和分析大量具体的函数，从数和形两个方面，逐渐归纳、总结得出偶函数和奇函数的概念，并通过更丰富的例子，进一步加深对概念的理解，同时认识

9、到有些函数既不是偶函数也不是奇函数，并且存在既是偶函数也是奇函数的函数.这一过程既建构了知识，渗透了数形结合的数学思想，同时又培养了学生的抽象概括能力.如果没有图形计算器，课上很难作出那么多具体的函数图象，学生对于偶函数和奇函数概念的理解就难以达到一定的深度.概念理解是数学能力提高的重要环节，而数学概念包括具体的定义、公式、图形以及各种符号等.数学解题是需要学生主动领悟、整体把握与强化刺激共同发生的心理和学习过程.因此,随着教育理念由行为主义到认知主义的发展,人们越来越认识到数学能力的提高有待于对概念理解的强化.新的国家数学课程标准也强调指出,要做到真正的理解和掌握基本数学知识与技能、数学思想

10、和方法,还指出了要重视数学概念发展过程和本质的揭示,以及要关注学生理解数学概念的思想过程.案例3. 幂函数的概念传统的幂函数教学是有局限性的，受教材所限，或者是教学手段的不足，教师在组织幂函数的学习时，往往只研究5个具体的函数：.关注这5个极具代表性的幂函数，是笔者多年来一贯坚持的，之前由于缺乏信息技术手段，只能是采取“灌输”的办法：引导学生观察其中的的图象，启发他们探究函数的图象以及性质，强制性的“输入”类比的思想，学生略有所悟，其实是怀疑的，但是由于心目中根深蒂固的“依赖教师的情绪”，最终“将信将疑”变成“无庸质疑”，尽管目的达到了，但是缺乏学生自己的“身临其境”.有了图形计算器，就可以引

11、导学生绘制一定数量的幂函数（不局限于5个典型的），通过观察分析，他们很容易把幂函数分成若干类型，就能概括出每一种类型幂函数的图象特征以及性质.程度比较好的学生还可以进行适当的拓展，例如通过绘制、观察函数以及的图象（图1），拓展到形如（为奇数且互质）的情形，个别优秀学生甚至能够归纳出所有可能的情况（依据的奇偶性分类）.利用图形计算器进行这样的探究，能够使学生真正体会5个典型幂函数的代表性，加深了对有关概念的理解，同时也培养了学生观察、分类以及概括的数学能力.四、在概念易错处使用图形计算器，突破概念难点为了帮助学生跨越思维的障碍，教师往往会借助于计算机辅助教学.尽管教师借助课件的动态演示尽可能使抽

12、象的数学知识更加直观化，但对学生来说任然出于被动的接受的过程.学生不知道课件是如何制作的，学生的心往往被一种新奇感占据.而图像计算器弥补了这一不足.图形计算器使学生真正体验了知识的形成过程，并在归纳总结中认识了数学的本质.案例4.1 单调性概念的理解学生学习函数的单调性,困难在于，难以把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，难以用数学的符号语言描述函数单调性的特征即由“随着的增大，也增大”（单调增）这一自然语言到“由（区间上）任意的有”（单调增）数学符号语言的转换其中最难理解的是为什么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的、刻画当然，应该注意到，企图在一节课中就实现学生对函数

13、单调性的真正理解也是不现实的在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念步骤1：请同学们利用卡西欧图形计算器画出下列函数的图像（1） （2） （3） （4）步骤2：观察四个函数图像，函数图像似乎是下降.步骤3：要求学生利用卡西欧图形计算器函数表格功能作出随变化的表格，其中的数据如右.问题：怎样用符号语言来表述：函数在某个区间上函数值随自变量的增大而越大呢？师：对于某函数，若在区间上，当时，；当 时，能否说在该区间上函数值随的增大而增大呢?生：不能，仅仅两个数字的大小关系不能说明该区间上随的增大而增大. 师：若1，2，3

14、，4，时，相应地 y1，3，4，6，能否说在区间上，函数值随的增大而增大呢？若取无数个值呢？生：不能，应该取区间上所有值.师：能不能从前面的函数中举个例子说明呢？生：函数就是一个例子.师：那怎样代入所有这样的数呢？ 生：这好象是无法做到的事啊？怎么办呢？师：能否用字母来代表上述数组呢？如果能，对又有何要求呢？所选的数又必须能表示区间内的所有实数 .案例4.2 指数函数为什么要规定且用图形计算器在同一坐标系内作图象在此过程中，学生可清楚地看到底数a如何影响并决定着函数的性质由于函数的图象随着和自然聚集，学生可以清楚地看到这条分界线，而函数的定义域、值域、单调性、特殊点等更是一目了然然后再通过的连续变化来演示函数图象的变化规律，从而让学生更直观、更清楚地“看到”函数的性质这样呈现内容，对学生发现和认识“为什么以为分界点” “过点为什么要作为性质之一”“为什么不讨论和的情形”（如图2，图3）等，都营造了很好的环境，使教学的开放性、探索式学习等成为可能显然，如果没