广东省深圳市2020年高考数学一模试卷(文科)Word版含解析

1、一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合 A=2, 4，6，8，B=x|x2 9x+18W0，则 A n B=（A. 2, 4 B. 4, 6 C. 6, 8 D. 2, 82. 若复数冷7, (a R)为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=(A. - 3 B . - 2 C . 2 D . 3“6.” 现“ A ”4,3. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“ 2” “ 3”从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是1112A . B . C . D 432334 .设 a=0.2 ,

2、b=log0.30.2, c=log30.2，贝U a, b, c大小关系正确的是（A. abc B. bac C. bca D. cba5.A ABC的内角A ,B, C的对边分别为a, b, c,已知 cosC= , a=1, c=2,则厶ABC的面积为（A L B *)C.，则该双曲线的离心率为（）6. 若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的A.辛 B. : C. 2 D.52H7. 将函数y=sin （6x+ ：）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平TT移=个单位，得到的函数的一个对称中心（今 0）B.哈 0） C.普 C）8.函数f （x） = ?cosx的图象大致是（A.B

3、2-19. 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了 体积计算的原理： 幕势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在 同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.禾U 用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视 图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h （Ov hv 2）的平面截该几何体，则截面面积为（）C冗B.冗4 A.2n (4 - h)10. 执行如图所示的程序框图，若输入 p=2017,则输出i的值为（）幵雄 ！-命 F/输扎P / _ 化二I ,匸血2洞厂棗甘除以2的余亦 I d* * I

4、 -求斤除以3赵余割f j心宀lA. 335 B. 336 C . 337 D . 33811. 已知棱长为2的正方体ABCD - AiBiCiDi,球0与该正方体的各个面相切,则平面ACBi截此球所得的截面的面积为（A.- B .- C .- D .-i2 .若f（x）=sin 3x+acosx在（0, n）上存在最小值，贝U实数a的取值范围是（）3B.( 0, J3C. ，+x) D .(0, +x3A. （ 0,.：）、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上，若：丄.，则I +=i3 .已知向量：=(i, 2), = (x , 3)H 1兀14. 已知a是锐角

5、，且COS （ a+）=下，则COS （ a-） =.15. 直线 ax- y+3=0 与圆（x - 2） 2+ （y-a） 2=4 相交于 M, N 两点，若 | MN| 2 一，则实数a的取值范围是.x+y_4016. 若实数x, y满足不等式组1 2x-3y-8b0)的离心率为空其右顶点与a b3上顶点的距离为 ：，过点P (0, 2)的直线I与椭圆C相交于A、B两点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设M是AB中点，且Q点的坐标为(| , 0),当QM丄AB时，求直线I的方程.21. (12 分)已知函数 f (x) = (ax+1) Inx - ax+3，a R，g (x)是 f (x

6、)的导函数，e为自然对数的底数.(1) 讨论g (x)的单调性；(2) 当 ae时，证明：g (e-a)0;(3) 当ae时，判断函数f (x)零点的个数，并说明理由.xOy 中,曲线E的参数方程为(a为选修4-4 :坐标系与参数方程22. (10分)在直角坐标系中 参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线E的普通方程和极坐标方程;(2)若直线I与曲线E相交于点A、B两点，且OA丄OB，求证：._+为定值，并求出这个定值.选修4-5:不等式选讲23. 已知 f (x) =| x+a|，g (x) =| x+3| - x.(1)当 a=1，解不等式 f (x)v g

7、 (x)；(2)对任意x - 1,1 , f (x)v g (x)恒成立，求a的取值范围.2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合 A=2, 4, 6, 8 , B=x|x2 9x+180，则 A n B=()A. 2，4 B. 4，6 C. 6，8 D. 2，8【考点】交集及其运算.【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可.【解答】 解I： A=2，4，6，8，B=x|x2 9x+18w 0=x| (x - 3)( x- 6) 0 =x|

8、 3 xbc B. bac C. bca D. cba【考点】对数值大小的比较.【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.【解答】解：a=0.23=0.008, b=logo.30.2 logo.30.3=1, c=log30.2ac,故选：B.【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力, 属于基础题.5. AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知cosC= , , a=1, c=2,则厶ABC的面积为（ ）A .三 B.= C.D.4848【考点】正弦定理.【分析】由题意cosC=, a=1, c=2,余弦定理求解b,正弦定理在求解sin

9、B,那么 ABC的面积叮_=.廿一即可.【解答】解：由题意cosC=j , a=1, c=2,那么：sinC=F222cosC=；八 ，解得b=2.由-，可得 sinB=,sinC sinB4那么 ABC的面积n(-=!故选A【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理的运用，属于基础题.6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的0， ,一 0，222-1 f (x) 0在(0，=)上恒成立，故选：C【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题9 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了 体积计算的原理： 幂势既同，则积不容异”.意思是，如果

10、两个等高的几何体在 同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利 用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视 图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h (0v hv 2)的平面截该几何体，则截面面积为（)C冗B.冗4 A.2n (4 - h)【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环， 明确其半径求面积.【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥， 底面半径为2高为2, 设截面的圆环，小圆半径为r，则为frach 2=fracr 2$，得到r=h，所以截 面圆的面积为n

11、 h；故选B.【点评】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法；关键是明确几何体形状，然后得到截面的性质以及相关的数据求面积.10. 执行如图所示的程序框图，若输入 p=2017,则输出i的值为（）【考点】程序框图.【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i的值.【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i,由于：2017=336X 6+1,故程序框图输出的i的值为337.故选：C.【点评】本题考查了程序框图的应用问题， 解题时模拟程序框图的运行过程， 正 确得出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题.11. 已知棱长

12、为2的正方体ABCD - AiBiCiDi,球0与该正方体的各个面相切, 则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（A.B. C. D.-【考点】球的体积和表面积.【分析】求出平面ACBi截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面 ACBi截 此球所得的截面的面积.【解答】解：由题意，球心与B的距离为.：=_，B到平面ACBi的距离 为一 .=_，球的半径为1,球心到平面 ACBi的距离为一-一,3333平面ACBi截此球所得的截面的圆的半径为 平面ACBi截此球所得的截面的面积为 =宀，故选D.【点评】本题考查平面ACBi截此球所得的截面的面积，考查学生的计算能力， 属于中档题.i2.若f（x）

13、 =sin3x+acoSx在（0，n）上存在最小值，贝U实数a的取值范围是（33A. f 0, B.f 0，；：3C. .；，+)D . f 0，+x)【考点】三角函数的最值.【分析】设t=sinx，由x （0， n和正弦函数的性质求出t的范围，将t代入f fx）后求出函数的导数，求出临界点，根据条件判断出函数的单调性，由导数与函数单调性的关系列出不等式，求出实数a的取值范围.【解答】解：设t=sinx，由x （0， n）得t（ 0，i，T f f x） =sin3x+acoS2x=sin3x+a f i - sin2x）， f f x）变为：y=t3- at2+a,则 y =3- 2at=t

14、 f 3t 2a），由 y =得, t=0 或 t二三，f f x） =sin x+acosx 在 f 0， n 上存在最小值，函数y=t3 at2+a在f 0，1上递减或先减后增，即0，得 a0，实数a的取值范围是f 0，+x）,故选：D.【点评】本题考查正弦函数的性质，导数与函数单调性的关系，以及构造法、换 元法的应用，考查化简、变形能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13已知向量；=（1，2）， = （x，3），若丄，则 | 一+=5.【考点】平面向量的坐标运算.【分析】丄，可得. =0，解得x.再利用向量模的计算公式即可得出.【解答】解：丄，“

15、=x+6=0，解得x=- 6.- = （- 5，5）.- I : +=5 一 .故答案为：5 -.【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.14.已知a是锐角，且COS （号，则 COS ( a-*) =【考点】两角和与差的余弦函数.【分析】由已知利用诱导公式可求sin （TT 1a-）=.，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式计算可解.【解答】解： COS （ 0+） =Sin-I a是锐角，a- （，），n . n i(a+) =Sin (a)=，-COS ( a故答案为：.【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在

16、三角函数化简求 值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.15. 直线 ax- y+3=0 与圆(x - 2) 2+ (y- a) 2=4 相交于 M ， N 两点，若 | MN| 2 一，则实数a的取值范围是 aw - .【考点】直线与圆相交的性质.【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆 心到直线的距离d,利用|MN| 2 一，建立不等式，即可得到a的范围.【解答】解：由圆的方程得：圆心(2, a),半径r=2，|a+3I严圆心到直线ax- y+3=0的距离d= .，| MN | 2 :，1+3 |Va2+1解得：a-,故答案为：aw -三【点评】此题考查了直线

17、与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到 直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.(x+y-4016. 若实数x，y满足不等式组 丄厂二-.，目标函数z=kx - y的最大值为12, 最小值为0,则实数k= 3.【考点】简单线性规划.【分析】先画出可行域，得到角点坐标.利用 k与0的大小，分类讨论，结合目 标函数的最值求解即可.龙+旷【解答】解：实数x, y满足不等式组2x-3y-80时，目标函数z=kx - y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx - y 过C (4, 0)时，Z取得最大值12.当直线z=kx- y过A (3, 1)时，Z取得最小值

18、0.可得k=3,满足题意. 当kv0时，目标函数z=kx - y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx - y 过C (4, 0)时，Z取得最大值12.可得k= - 3,当直线z=kx- y过，B (1,- 2)时，Z取得最小值0 可得k= - 2, 无解.综上k=3故答案为：3.【点评】本题主要考查简单线性规划以及分类讨论思想. 解决本题计算量较大.属 于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. ( 12分)(2017?深圳一模)设Sn为数列an的前n项和，且Sn=2an- n+1(n N ) , bn=an+1.(1) 求数列bn的通项公式；(2) 求数列nb

19、n的前n项和Tn.【考点】数列的求和；数列递推式.【分析】(1)求出数列的首项，利用通项与和的关系，推出数列bn的等比数列， 求解通项公式.(2)禾U用错位相减法求解数列的和即可.【解答】解：(1)当 n=1 时，a1=S1=2a1 - 1+1，易得 a1=0, b1=1 ；当 nA2 时，ch=Sn Sn- 1=2an n+1 2an-1 n+1 +1,整理得 an=2an- 1 + 1 , bn=an+1=2 ( an 1+1)=2bn-1 ,数列bn构成以首项为bi=1，公比为2等比数列，数列bn的通项公式bn=2n 1, n N?；(2)由(1)知 bn=2n 1，贝U nbn=n?2

20、j则 Tn=1 X 20+2X 21+3X 22+n?1，23n 2Tn=1 X 2+2 X 2 +3X 2+nX 2，由得：Tn=20+21+22+23+- +2n 1 - n?2=2n - 1 - n?21-2- Tn= (n 1) 2“+1.【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力.18. (12分)(2017?深圳一模)如图，四边形 ABCD为菱形，四边形ACEF为 平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE= 一，/ EAD= / EAB .(1) 证明：平面 ACEF丄平面ABCD ;(2) 若/ EAG=60，求三棱锥F- BDE的体积.【考点

21、】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定.【分析】(1)连接EG,说明BD丄AC,证明BD丄ED，推出BD丄平面ACFE， 然后证明平面ACEF丄平面ABCD ;(2)说明点F到平面BDE的距离为点C到平面BDE的距离的两倍，利用 Vf bde=2Vc-bde，转化求解三棱锥F-BDE的体积即可.【解答】解：(1)证明：连接EG,四边形ABCD为菱形， AD=AB , BD 丄 AC, DG=GB ,在厶EAD和厶EAB中，AD=AB , AE=AE，/ EAD= / EAB , EAD EAB , ED=EB, BD丄 ED, AC A EG=G, BD丄平面ACFE, BD?平面 A

22、BCD ,平面ACEF丄平面ABCD ;（2）v EF/ GC, EF=2GC,.点F到平面BDE的距离为点C到平面BDE的距 离的两倍，所以 Vf-BDE=2Vc-BDE ,作EH丄AC ,v平面 ACEF丄平面ABCD , EH丄平面ABCD , Vc BDE=Ve BCD=丄、 H ：八 =T ,三棱锥F- BDE的体积为T.【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.19. （ 12分）（2017?深圳一模）某市为了鼓励市民节约用电，实行 阶梯式”电 价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过 200度的部分

23、按 0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度 的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解 析式；（2） 为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年 1月份100户居民每户 的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图， 若这100户居民中，今 年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a, b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记丫为该居民用户1月份的用电费用，求丫的分布列和数学期望.

24、【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其 分布列.【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出.（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出.（3）由题意可知X可取50，150, 250，350，450，550.结合频率分布直方图 的性质即可得出.【解答】解：（1）当0wx200时，y=0.5x；当 200vx400 时，y=0.5X 200+0.8X 200+1.0X（ x- 400） =x - 140,0x200所以y与x之间的函数解析式为：y= 0.业70, 200工400（2）由（1）可知：当 y=260 时，x=400，则 P （x 400） =0.8

25、0, 结合频率分布直方图可知：0.1+2X 100b+0.3=0.8, 1008+0.05=0.2,a=0.0015, b=0.0020.(3)由题意可知 X 可取 50, 150, 250, 350, 450, 550.当 x=50 时，y=0.5X 50=25,二 P (y=25) =0.1,当 x=150 时，y=0.5X 150=75,二 P (y=75) =0.2,当 x=250 时，y=0.5X 200+0.8 X 50=140,二 P (y=140) =0.3,当 x=350 时，y=0.5X 200+0.8 X 150=220,二 P (y=220) =0.2,当 x=450

26、时，y=0.5X 200+0.8X 200+1.0X 50=310,二 P (y=310) =0.15,当 x=550 时，y=0.5X 200X 0.8X 200+1.0X 150=410,. P (y=410) =0.05. 故丫的概率分布列为：丫2575140220310410P0.10.20.30.20.150.05所以随机变量丫的数学期望EY=25 X 0.1+75X 0.2+140X 0.3+220X 0.2+310X 0.15+410X 0.05=170.5.【点评】本题考查了分段函数的性质、 频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档

27、题.20. ( 12分)(2017?深圳一模)已成椭圆C：二 b0)的离心率a b为.其右顶点与上顶点的距离为!，过点P (0, 2)的直线I与椭圆C相交于A、B两点.(1) 求椭圆C的方程；2(2) 设M是AB中点，且Q点的坐标为(，0),当QM丄AB时，求直线I 的方程.【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程.【分析】(1)椭圆的离心率为等.其右顶点与上顶点的距离为：，列出方程组，求出a= _, b=，由此能求出椭圆C的方程.(2)若直线I的斜率不存在，直线方程为x=0;若直线I的斜率存在，设其方程fy=kx+2为y=kx+2，与椭圆方程联立 * 护 ，得(2+3k2) x2+12k

28、x+6=0，由此利用根+二 1321的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件能求出直线I的方程.【解答】解：22厂(1)v椭圆C： + = =1 (ab0)的离心率为:/ bZ3其右顶点与上顶点的距离为三，由题意知：r c vs巴亠a n 32丄扛匚，解得a二北，b二应，a +b =52_k2丄 2a =b + c2 2椭圆C的方程为(2)若直线I的斜率不存在，此时M为原点，满足QM丄AB，二方程为x=0 ；若直线I的斜率存在，设其方程为y=kx+2，A (xi，yi)，B (X2，y2)，将直线方程与椭圆方程联立*J / ，得(2+3k2) x2+12kx+6=0,3212丄_-12k =

29、72k 48 0，、；L 2+3订，_ _6k4设 M (xo， yo)，贝， r1，y打 2+3k2 u2+3严2m2y0 _由 QM 丄 AB，知,化简得 3k2+5k+2=0，解得k= 1或k= ，将结果代入 =72k2 48 0验证，舍掉k=：，此时，直线I的方程为x+y 2=0，综上所述，直线I的方程为x=0或x+y- 2=0.【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭圆等知识点的合理运用.21. (12 分)(2017?深圳一模)已知函数 f (x) = (ax+1) Inx ax+3，a R，g(x)是

30、f (x)的导函数，e为自然对数的底数.(1) 讨论g (x)的单调性；(2) 当 ae时，证明：g (e a)0；(3)当ae时，判断函数f (x)零点的个数，并说明理由.【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断.【分析】(1)求导，由导数与函数单调性的关系，即可求得 g(x)的单调区间；(2) 由 g (ea) = - a2+ea，构造函数 h (x) = - x2+ex，求导，当 xe 时，h (x) 0，函数单调递增，即可求得 h (x) = - x2+ex- e2+ee 0，(3) 由(1)可知，函数最小值为g ( ) =0，故g (x)恰有两个零点xi，X2,a则

31、可判断xi, X2是函数的极大值和极小值，由函数零点的存在定理，求得函数f(x)只有一个零点.【解答】解：(1)对函数f (x)，求导得g (x) =f (x) =alnx，x,n 1 ax-1g (x) = - _= _， 当a0时，(x) 0,可得x，故g (x)的减区间为(0,)，增区间aa为(，+x);a(2) 证明：g(e-a)= - a2+e设 h(x)= - x2+ex，贝卩h(x)=ex - 2x，易知当xe时，h(x) 0，函数h (x)单调递增，h (x) = x2+ex- e+ee 0， g (e-a) 0；(3) 由(1)可知，当a e时，g (x)是先减再增的函数，其最小值为 g ( ) =aln +a=a(ln +1)v 0，aaa11aa i1而此时g ( 一)=1+ -，g (e-a)0,且e-av v 一，故g (x)恰有两个零 ee自 巳点 X1, X2,当 x ( 0, X1)时，f( x) =g (x ) 0；当 x ( X1, X2)时，f( x) =g (x) v 0；当 X ( X2, +x)时，f (x) =g (x)0, f (X)在X1, X2两点分别取到极大值和极小值，且 X1 (0,),a由 g (X1) =alnX1+=0, 知 a=-x!s! inx(ax1+1) InX1- ax1