量子力学复习提纲

1、2008级材料物理专业量子力学复习提纲要点之一1. 20世纪初，经典理论在解释黑体辐射、光电效应和原子光谱的线状结构等实验结果时遇到了严重的困难。爱因斯坦在普朗克“能量子”假设的启发下，提出了“光量子”的概念，认为光是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子 流。2. 描述光的粒子性的能量E和动量P与描述其波动性的频率 （或角频率 ） 和波矢K由Planek- Einstein 方程联系起来，即：E h； P hn K o3. 德布罗意提出，一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子、波动二 重性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。4. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）

2、粒子性的物理量为能量 E和动量P，描述其波动性的物理量为频率 （或角频率 ）和波长，它们间的关系可用 德布罗意关系式表示，即： Eh； PK o5. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理 量来描述，而是用波函数来描述。描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平丄（pr Et）面波，即： p（r,t） Aeo6. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成 正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。7. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描

3、写的状态称为束缚态，属于不同能级的*束缚定态波函数彼此正交，可表示为m ndx o（m n）。9. 设!?和G的对易关系为F,（G ik，且F F F, g? g? g，则F和G的2测不准关系式为：rwg?；如果k不等于零，则的均方偏差不会同时4为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 F?和（?不能同时测定。10. 当体系处于定态时，则体系有：1）能量有确定值；2）粒子在空间几率密度 与时间无关；3）几率流密度与时间无关。11. 粒子在一维无限深势阱中的定态解可表示为:Ent1nEntn n(x)e sin (x a)e , n 1,2,3,，当 n 为奇数时, va2a波函数具有偶宇称，当n

4、为偶数时，波函数具有奇宇称。12. 在点电荷的库仑场中运动的电子，其处于束缚态的波函数可表示成: 而与I、m无关，是n2度简并的；若n = 2时，对应巳的波函数有 2oo(r,)、nlm（r，）Rnl（r）Y|m（，），其中，主量子数 n = 1，2,3,，角量子数I =0,1, 2,.,n-1，磁量子数 m=Q 1,2,.,l 。nlm (r ,)是算符 R、L?2和L?z共同本征函数，当电子处于该波函数描述的状态时,力学量H、L2和Lz可以同时测得,体系En2 4Z22.，L=l(l 1), Lz=m 。2n13.角动量算符L?2和L?z对易，即 砂丄z0 ,因此它们有共同的本征函数完备系

5、Ym（ , ）。在Ym（,）描述的状态中，力学量L2和Lz可以同时测得,L=l （l 1） 2 , Lz=m，此时总磁矩（沿z轴方向）M=Bm2 c14.电子在点电荷的库仑场中运动，其处于束缚态的第n个能级E只与n有关,2io(r, , )、 2ii(r,)和2i i(r,)。而在非点电荷的库仑场中运动的电子，如Li，Na, K等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生 的有心力场中运动，这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电子的能级由主量子 数n和角量子数I决定，仅对m简并。15. 两个算符F?与(S有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写

6、的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。16. 选定一个特定Q表象，就相当于在Hilbert空间中选定一个特定的坐标系，力学量算符Q的正交归一完备函数系 un(x)构成Hilbert空间中的一组正交 归一完备基底。任意态矢量 (x,t)在Q表象中的表示是一列矩阵，矩阵元an(t) 是态矢量(x,t)在Q?算符的本征矢上的投影，即：an(t)un(x)* (x,t)dx。17. 选定力学量Q表象，Q?算符的正交归一的本征函数完备系记为Un(x)，一力学量算符F?在Q表象中是一个矩阵F=( Fmn)，其矩阵元为： Fnmu；(x)Fx, i )um(x)dx ；该矩阵为厄米矩阵，对角矩阵元

7、为实数。一力学x量算符F?在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵，对角元就是算符F?的本征值。18. 在坐标表象中，？ x， ?xi 一 ；而在动量表象中，？ i ， pxxPxPx。19. 若力学量算符F?不显含时间t，且与哈米顿算符H?对易，力学量F?的平均 值F不随时间而变化，则称F?为运动积分，或在运动中守恒。20. 动量算符px、Py、pz彼此对易，它们有共同的本征函数完备系:ip(r) (2 )氏、Py、PZ同时具有确定32-Pre ；在该本征函数描述的状态中,的值要点之1. 态叠加原理：若1 ,2, n是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态=C1 1+C2 2+-. + Cn

8、 n ；当体系处于态时，发现体系2 2处于 k态的几率是Ck| (k=1, 2, 3,),并且 ck1。k2. 隧道效应：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象称为隧道效应。它是粒子具有波动性的生动表现。只有当粒子的质量和势垒宽度比较小时，这种效应才显著。3. 厄密算符：若算符F满足 *F dx (F )* dx，则算符F称为厄密算 符，其性质是厄密算符的本征值必为实数，因此量子力学的力学量算符都是厄密 算符。4. 偶宇称与奇宇称：在空间反射下，如果有(r,t)(r,t)，则称波函数有确定的宇称。当(r,t) (r,t)，则称波函数具有偶宇称；当(r,t) (r,t), 则称波函数具有奇宇称。5

9、. Hilbert空间：以某一力学量的本征波函数为基底，构成的无限维的函数空间，称为Hilbert空间。任意态矢量(x,t)在该力学量表象中的表示是一列矩阵，矩阵元是态矢量(x,t)在该力学量算符的本征矢上的投影。6. 测不准原理：量子力学揭示，要同时测出微观粒子的位置和动量，其精度是有一定的限制。海森伯推得，测量一个微粒的位置时，如果不确定范围是x ,那么同时测量其动量也有一个不确定范围Px，且位置不确定度 x和动量的不确定度 px的乘积总是大于一定的数值，即x px 一。粒子的位置和动量不2能同时准确测定源于物质具有微粒和波动二象性。测不准原理是普遍存在的；若 两个力学量不对易，则它们不可

10、能同时被准确测定，其不确定度的乘积总是大于 一定的值。7. 定态：当薛定谔方程中的势能 U与时间t无关，则薛定谔方程的解可表示成(r)f(t),通过分离变量求解薛定谔方程，得到薛定谔方程的解是iEt(r)e(分离变量过程中引入的常数 E为粒子的能量)，当粒子处在由该波函数所描述的状态时，粒子的能量 E有确定的值，这种状态称为定态。18. 零点能：也就是线性谐振子基态的能量Eo -，其中 是谐振子的角频率。2零点能不等于零是量子力学中特有的， 是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零 的“静止的” 波是没有意义的，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下电子 的晶体散射实验所证实。要点之三：1请阐述力学

11、量的算符、力学量算符的本征值、力学量测量值及力学量平均值 之间的关系。答：量子力学中的所有力学量用厄米算符来表示。算符的本征函数组成正交归一本征波函数完备系。当体系处于力学量算符 F?的本征态n时，F?表示的力 学量F有确定值，该值就是F?在n态中的本征值 n,此时力学量F的测得值即 为n，F的平均值为n；当体系处在一般状态 中，F?表示的力学量F没有确 定值，而是具有一系列的可能值，这些可能值就是表示力学量算符F?的本征值n ( n=1,2,3,.)，每个可能值都以确定的几率被测得，F的平均值为2 设粒子在一维无限深方势阱中运动，方势阱 U（x）,当 x 0, x a. 。0,当0 x a当

12、x 0 x解：由于势阱U（x） ：当0 xaa，在阱内粒子所满足的定态薛定谔方程2 d222m dx在阱外粒子满足的定态薛定谔方程为在（2）中, Uo，根据波函数满足的连续性和有限性条件， 只有当 0时，（2）才能成立，所以有0 (x0,x a) 为了方便，引入符号2mE2则（2）式简写为求：（1）处于基态的粒子的动量几率分布；（2）处于基态粒子的动量平均值。2 2d20 (0xa)2m dx2它的解是Asi nx B cosx(5)根据的连续性，由（3）式的0 (x0,xa），代入，有Asi n0 Bcos00Asi na B cos a0由此求得Asin a 0A和B不能同时为零，否则 到

13、处为零,在物理上无意义因此求得1,2,3,归一化的定态薛定谔方程的解为:定态能量为：E基态波函数：12 .-si n x a a将基态波函数用动量本征函数展开:1 G(p) p(x)dp, pipxG(p)2 si n()e ai pxdx.2i -上a1 e2 _a(1)动量的几率分布为:2G(p)动量的平均值：p3.在一维无限深势阱中运动的粒子,方势阱U(x),当x0,当00, xxa，如果粒子的状态由波函数(x) Ax(a x)描写，其中A为归一化常数，a为势阱宽度。求粒子能量的概率分布和能量平均值。:当 x 0 x a解：由于势阱U（x） q当0 x &阱内粒子所满足的定态薛定谔方程为

14、2 d22m dx2(1)在阱外粒子满足的定态薛定谔方程为d22m dx2Uo在（2）中，U o,根据波函数满足的连续性和有限性条件， 只有当 0时，（2）才能成立，所以有0 (x 0, x a) (3)为了方便，引入符号2mE2，则（2）式简写为2m dx20(0 x a)它的解是Asin x B cos x (5)根据的连续性，由（3）式的0 （x 0,x a），代入，有Asin 0 B cos 00Asin a Bcos a 0由此求得B 0Asin a 0A和B不能同时为零，否则到处为零，在物理上无意义。因此求得n,n 1,2,3,归一化的定态薛定谔方程的解为:乎sina0 xn门x

15、,0x aaa, x 0定态能量为:En对波函数(x)Ax(a x)进行归一化，有(x)2dx用定态波函数I1-sin(x)将 (x) Ax(a x)展开, .a a(x) Cnn*a Cnn (x)dx0J2/asin(n x/a)Ax(a鈴1 ( 1)n nx)dx(1)粒子能量取En的几率为：|Cn型 1 (1)n2480nF 1( 1)nn(2) E5. 一个在球对称势场中运动的波函数为:(x,y,z)k(x y 2z)e r，其中 k、为实常数，r (x2 y2可能测量值及其相应的几率;1z2)2，试求:(3)I?(1)粒子的角动量量子数I ; (2) I?的的平均值 (提示：利用球

16、谐函数:Y004，Y103 cos43 sin ei)o8(J彎十詹，尸 y = rsinZ?3inp=r-sin(9 - (e1*e -ip)因此，妙十$+吐)亡”f仃门兀十i十小2 /T2由此可见(1) 粒子的角动昴鼠于数/ 11对应的w = 110 1 o(2) A的可能测值为2、一亿测值为焉，6 L h的儿率可由 Vjcj求愀分别为長牛匕人的平均值兀=頁+乎6.粒子在一维无限深方势阱U(x),当x0,当00,x a中运动，求粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵兀。解：粒子在方势阱U(x) ，当当X0,当00, x a中,归一化的定态薛定谔方程的解为:XnmnXmdx2 asin( )xsin(M)dx a 0 aacos(n m)xdx1 a (n m) x x cos a 0a1(n m)21(n m)2(1)n m4nma ( 1)n m 122