2020年江苏专版艺考生高考数学二轮复习学案：第八课时指数与指数函数

1、第八课时指数与指数函数知识记忆131.分数指数幕(1)我们规定正数的正分数指数幕的意义是man nam a 0,m,n N*,且n 1 .正数的负分数指数幕的意义与负整数指数幕的意义相仿，m我们规定a na 0, m,n N ,且n 1 . 0的正分数指数幕等于0 ； 0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幕的运算性质：ststs tsttt ta a a ，aa ，aba b，其中 s,t Q , a 0，b 0.2.指数函数的图象与性质xy aa 10 a 1图象I P住四o、1|*1半定义域(1) R值域(2) 0,性质(3)过定点0,1当x 0时，y 1 ；当x 0时，0 y 1当x

2、 0时，0 y 1 ；当x 0时，y 1(6)在上是增函数(7)在，上是减函数【知识拓展】1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y axa 0，且a 1的图象，应抓住三个关键点：1,a，2.指数函数的图象与底数大小的比拟如图是指数函数 y ax，2 y bx，0,1，1,1.a2y(3)4-OTtcx,y dx的图象,1 a b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y0，a 1的图象越高，底数越大.底数a , b , c , d与1之间的大小关系为课前预习1.假设函数X1X a a 0且a 1的图象经过点P 2,，那么f 122.2021 苏州模拟函数f xax 22的图象恒过定

3、点 A，那么A的坐标为3 二 3 -3. a (5)3，b (5)4，c4,那么 a，b，c的大小关系是1334.计算：320 17 84 4 22X5.假设函数y a 1在上为减函数，那么实数 a的取值范围是堂讲解题型一指数幕的运算 例1化简以下各式:22.531 3(1)53 3V 82)8a22 一3a2报底训练11化简(丄)2 _(J4ab 1)14(0.1)1(a3b#题型二指数函数的图象及应用例2 f x 2x 1 .(1)求f X的单调区间；比拟f X 1与f X的大小；试确定函数g X f X X2的零点的个数.跟麻训练2函数f X取值范围是.X 1,0 X 11 ，设 a b

4、 0 ,假设 fa f b，那么 b f a 的 2X x 12题型三指数函数的性质及应用考点1指数函数单调性的应用例3 (1)(2021 徐州模拟)以下各式比拟大小正确的选项是. 3 ; 0.6 12 ； 0.8 .2; 033.1 ；x17,x0 , ,设函数f x2，假设fa 1，那么实数a的取值范围是、x,x0考点2复合函数的单调性例4(1)函数f x22x m(m为常数)，假设f x在区间2,上是增函数，那么 m的取值范围是1 2函数f (x)() x 2x 1的单调减区间为.2引申探究函数f x4x 2x 1的单调增区间是 .考点3函数的值域(或最值)例5(1)函数y1在区间3,2

5、上的值域是(2)如果函数2xa2ax1(1)在区间 1,1上的最大值是14，贝U a的值跟踪训练3(1)函数f122x,ax 0的值域是8,1 ,那么实数a的取值范围是函数f x2x，函数22x,0f x ,x 0那么函数gx的最小值是题型四指数函数底数的讨论典例 (2021 南京模拟)函数ax2 2x(a ,b为常数，且a 0 , a 1)在区间35,0上有最大值3，最小值一，那么a , b的值分别为2 2课后练习1.2021 苏州模拟设2x8y 1, 9y 3x 9，那么x y的值为2.函数f x2X 1的图象是3. a 4, ，那么a , b , c的大小关系为4.f xx h3 2 x

6、 4，b为常数的图象经过点2,1 ，那么f x的值域为5.假设函数f2x 1齐是奇函数，那么使 f x 3成立的x的取值范围为6.函数满足f x2x, x R.假设fa 2b，那么a , b的大小关系为7.设函数fx 1e , x 11x3 ,x，那么使得f x 2成立的x的取值范围是8.假设直线y2a与函数9.2021 镇江模拟1 a 0且a 1的图象有两个公共点，那么a的取值范围f x是定义在R上的奇函数且当x 0时，f X1 14x 2x，那么此函数的值域为10.函数f x2ax 2 a为常数，(1)求函数f x的定义域;假设a 0 ,试证明函数f x在R上是增函数;当a 1时，求函数y

7、 f x , x 1,3的值域.11.函数f x3(1)求f x的单调区间；9假设f x的最大值等于-，求a的值.42ax 4x 31 12.函数f x.3(1)假设a 1，求f x的单调区间;假设f x有最大值3，求a的值.13.函数f x 丄 一 3(1 x 2).2* 13(1)假设，求函数f x的值域；2假设函数f x的最小值是1，求实数的值.14.(2021 江苏淮阴中学月考)f X m，m是实常数.3x 1(1)当m 1时，写出函数f x的值域；当m 0时，判断函数f x的奇偶性，并给出证明；(3)假设f x是奇函数，不等式 f f x f a 0有解，求a的取值范围第八课时指数与

8、指数函数参考答案课前预习1.答案22.答案2,33.答案c b a4.答案25.答案2 1 1,、2堂讲解题型一指数幕的运算例1解原式1喩5645 223訥152吟丁 1(2)原式1 1 1a3(a3)3 (2b3)31(a3)21a31(2b3)1(2b3)21 1a _2b3 (a a3) ai ia3(a3i2b3)a11a3 2b35a6-1a61a3 a2a3 a2.2 1、 于11 1(a至 a)53158答案85题型二1 指数函数的图象及应用2X 1,x0例2解由f X2 1可作出函数的图象如下图.因此函数f x12x,x 0在 ,0上递减，在0, 上递增.在同一坐标系中，分别作

9、出函数f x、f x 1的图象如下图2由图象知，当2冷1 1 1 2x)，即x0 log2时，两图象相交,2由图象可知，当x log 2 时，32当 x log2 时，f x f x 1 ；32当 x log2 时，f x f x 1 .将g x f x x2的零点个数问题转化为函数f X与y x2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数fx2x 1和y x2的图象图略，有四个交点，故g x有四个零点.思维升华 1函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，假设不满足那么排除. 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最根本的指数函数的图象入手，通过平移、 伸缩、对

10、称变换而得到特别地，当底数 a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.3有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解跟总训练23答案 ，24题型三指数函数的性质及应用例3答案(1)(2)3,1例4答案(1),4,1引申探究答案0,例5答案(1)4,57(2)丄或3328解析(1)因为x 3,2 ,所以假设令t，那么t故 y t2 t1当t -时,2ymint 8时,ymax57 .故所求函数的值域为4,57.2xxa 2a 1t2 2t 1 t 1 2 2.当a 1时，因为x1,1 ,所以t1 2 1-,a，又函数y t 1 22在一，a上单调递增,aa所以Ymax

11、14，解得a 3(负值舍去).1时，因为1,1，所以t 丄，a ，a又函数ya,-上单调递增, a那么 ymax214，解得a1(负值舍去).综上，a思维升华(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解答案3,0(2) 0题型四指数函数底数的讨论典例解析令tx22x x 12 1 ,x ,0 , t 1,0 .2假设a 1，函数f x at在1,0上为增函数,1 2 1,1，b ax 2x b ,b 1 aa15依题意得ba 2，解得b 13假

12、设0 a 1,函数f xat在1,0上为减函数,1,1ax2 2x ab 1,b -，a依题意得解得综上，所求a , b的值为23322 3答案 2 , 2或 ，一3 2课后练习1答案272答案3答案ab c4答案1,95答案0,16答案ab7答案,88答案0,121 19答案T，T4 410.(1)解函数f x2ax 2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R证明任取x1,x2R，且 xX2，由a 0,得a%2ax? 2.x因为y 2在R上是增函数,所以有 2aC22ax2+2 ,即 f % f x2 .所以函数f X在R上是增函数解由知，当a 1时，fx2X 2在1,3上是增函数所以 f

13、1 f x f 3 ,即 2 f x 32.所以函数f x的值域为2,32 .2 t11.解 (1)令 t x a，那么 ft3不管a取何值，t在 ,0上单调递减，在0, 上单调递增,t又y 2是单调递减的，3因此f x的单调递增区间是，0 , 单调递减区间是 0,2.992由于f x的最大值是一且一一443所以g x x a应该有最小值2，即g 0从而a 2.12解当a 1时，f xx2 4x 3令tx24x 3,由于函数tx2 4x 3 在1上单调递增，在2,上单调递减，而y -R上单调递减，所以f x在,2上单调递减，在2,上单调递增,即函数f x的单调递增区间是2,单调递减区间是，2

14、.21 g x令 g x ax 4x3，那么 f x3由于f x有最大值3，所以g x应有最小值1，a 0因此必有 3a 4 ，解得a 1，1a即当f x有最大值3时，a的值为1.113解f x产盯32x2x13(1 x 2).21 ，得 g t t2 2 t 3(丄 t 2).2 43当 2时，gt t2 3t 32).所以t max1g43716，t min3g2所以X max37，f X min故函数f x的值域为3 37416 (2)由得g tt22(42),当g t min4916，49161，得338不符合,舍去;当2时,min1,得,2(，不符合舍去)；4当2 时，g tming2不符合舍去综上所述，实数14解当m1时，fj 1，定义域为R，31x311,，0,2，即当m1时，函数f x的值域为1,3 .当m0时，f x为非奇非偶函数.证明如下:当m0时，fx 3x 1 ，f 1231 132，因为f1 f 1，所以f x不是偶函数;又因为f1 11 ,所以fx厂113,1所以fx不是奇函数为非奇非偶函数(3)因为fx是奇函数，所以f恒成立,R恒成立