空间曲线的切线与空间曲面的切平面

1、。第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面xx(t )设空间的曲线C由参数方程的形式给出：yy(t ) ， t(,)zz(t )设 t0 , t1( ,) ， A( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ) 、 B(x(t1 ), y(t1 ), z(t1 ) 为曲线上两点，A， B的连线 AB 称为曲线 C 的割线，当 BA时，若 AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点 A 的切线如果 xx(t )， yy(t)， z z(t) 对于 t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的因为割线的方程为xx(t0 )yy(t0

2、)z z(t0 )x(t1 ) x(t0 )y(t1 )y(t0 )z(t1 )z(t0 )也可以写为xx(t0 )yy(t0 )zz(t0 )x(t1 )x(t0 )y(t1 )y(t0 )z(t1 )z(t0 )tt 0tt 0tt0当 BA时， tt 0 ，割线的方向向量的极限为x (t0 ), y (t 0 ), z (t0 ) ，此即为切线的方向向量，所以切线方程为x x(t 0 )y y(t 0 )zz(t 0 ) x (t 0 )y (t0 )z (t0 )过 点 A(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 ) 且 与 切 线 垂 直 的 平 面 称 为 空 间 的 曲

3、线C在 点A( x(t0 ), y(t 0 ), z(t 0 ) 的法平面，法平面方程为x (t0 )( xx0 )y (t 0 )( yy0 )z (t0 )(zz0 )0如果空间的曲线C 由方程为yy( x), zz( x)且 y (x0 ), z ( x0 ) 存在，则曲线在点A( x0 , y( x0 ), z( x0 ) 的切线是xx0yy( x0 )1y (x0 )法平面方程为z z(x0 )z ( x0 )。1。( xx0 )y ( x0 )( yy(x0 )z ( x0 )( zz( x0 )0如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交，由方程组F (x, y, z)，c :0G(

4、x, y, z)0确定时， 假设在 A( x, y, z) 有(F ,G)，在 A( x, y, z) 某邻域内满足隐函数J0000000( y, z) AF ( x, y, z)0，组存在定理条件，则由方程组G( x, y, z)在点 A(x0 , y0 , z0 ) 附近能确定隐函数0yy( x), zz( x)有 y0 y( x0 ), z0 z( x0 )dy1( F ,G) , dz1( F ,G) 。于是空间的曲线 C 在， dxJ( x, z) dxJ( y, x)点 A( x0 , y0 , z0 ) 的切线是x x0y y0z z01dydzdx Adx A即x x0y y0

5、(F,G)(F ,G)( y, z) A(z, x) A法平面方程为zz0(F,G)( x, y) A(F ,G)(xx0 )(F,G)( yy0 )(F ,G)( z z0 ) 0( y, z) A( z, x) A( x, y)A类似地，如果在点 A(x0 , y0 , z0 ) 有(F,G)0 或(F,G)0 时，我们得到的切线方(x, y)A(z, x) A程和法平面方程有相同形式。所以，当向量r (F ,G) , (F ,G), (F,G) 0( y, z) A(z, x)A( x, y)A时，空间的曲线 C 在 A( x0 , y0 , z0 ) 的切线的方向向量为r例 6.32

6、求曲线 xa cos , ya sin, zb在点 a,0, b处的切线方程。2。解 当时，曲线过点a,0,b，曲线在此点的切线方向向量为a sin, a cos , b |0, a,b ，所以曲线的切线方程为xx(t 0 )yy(t 0 )z z(t 0 )0abxayz b即0ab二、空间曲面的切平面与法线设曲面 S 的一般方程为F ( x, y, z)0取 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面 S 上一点，设F (x, y, z) 在 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内具有连续偏 导 数 ， 且 Fx2 (x0 , y0 , z0 )F y2 ( x0 , y0

7、 , z0 )Fz2 (x0 , y0 , z0 )0 。 设 c 为 曲 面 S 上 过P0 (x0 , y0 , z0 ) 的任意一条光滑曲线：xx(t )c :yy(t )zz(t)设 x0x(t0 ), y0y(t0 ), z0z(t0 ) ，我们有F (x(t ), y(t ), z(t )0上式对 t 在 tt0 求导得到Fx ( x0 , y0 , z0 ) x (t0 )Fy (x0 , y0 , z0 ) y (t 0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )z (t0 )0因此，曲面 S 上过 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的任意一条光滑曲线c 在 P0 (x0

8、, y0 , z0 ) 点的切线都和向量n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为，平面就称为曲面S 在 P0 ( x0 , y0 , z0 )的切平面，向量n 称为法向量。S 在 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程是。3。Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0过点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 且与切平面垂直的直线称为曲面S 在

9、 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 点法线，它的方程为( xx0 )( yy0 )( zz0 )Fx ( x0 , y0 , z0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )设曲面 S 的方程为F ( x, y, z)0若F (x, y, z)在S有连续偏导数且Fx2 ( x0 , y0 , z0 )Fy2 (x0 , y0 , z0 )Fz2 ( x0 , y0 , z0 )0 ，则称 S 是光滑曲面。由上面讨论可以知道光滑曲面有切平面和法线。若曲面 S 的方程的表示形式为zf ( x, y) ，这时，容易得到S 在 P0 (x0 , y0 , z0

10、 ) 的切平面方程为f x ( x0 , y0 )( xx0 )f y ( x0 , y0 )( yy0 )( zz0 )0法线方程为(xx0 )( yy0 )( zz0 )f x ( x0 , y0 )f y (x0 , y0 )1我们知道，函数zf (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 可微，则由Taylor公式知f ( x, y)f (x0 , y0 )f x ( x0 , y0 )( xx0 )f y ( x0 , y0 )( yy0 )0( ( xx0 ) 2( yy0 ) 2 )也就是说，函数zf (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 附近可以用S 在 P0 ( x0

11、, y0 , z0 ) 的切平面近似代替，误差为( xx0 )2( yy0 )2 的高阶无穷小。若曲面 S 的方程表示为参数形式x x(u,v) S : y y(u, v) z z(u, v)设(,),( ,),(,)，为曲面上一点。假设在x0x u0v0y0y u0v0 z0z u0 v0P0 ( x0 , y0 , z0 )P0 (x0 , y0 , z0 ) 有 J(x, y)0，在 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 某邻域内满足隐函数组存在定理条(u, v)P0。4。xx(u, v)，(x, y, z) 附近能确定隐函数（即件，则由方程组在点 Px和y的逆映射）y0000y(u,

12、 v)uu( x, y), vv( x, y)满足 u0 u( x0 , y0 ), v0v(x0 , y0 ) 。 于是，曲面 S 可以表示为zf ( x, y) z(u(x, y), v(x, y)xx(u,v)，x, y 求偏导得到由方程组y(u,v)两边分别同时对yuyvyv,uxx( x, y)( x, y)(u,v)(u, v)uxvxvuy( x, y)y(x, y)(u, v)(u, v)故( y, z)f xzu uxzv vx(u, v)( x, y)(u, v) ,( z, x)f yzu u yzvv y(u, v)( x, y)(u, v)所以， S 在 P0 ( x

13、0 , y0 , z0 ) 的切平面方程为( y, z)( z, x)( y y0 )( x, y)( z z0 ) 0( x x0 )(u,v) (u 0 ,v0 )(u,v) ( u0 ,v0 )(u,v) (u0 ,v0 )法线方程为xx0yy0z z0( y, z)(z, x)(x, y)(u, v) (u0,v)(u, v)(u ,v )(u,v) (u,v)00000例 6.33求曲面 zyx在点 (1,1,1) 的切平面和法线方程。lnz。5。解曲面方程为( , )lnxz0，易得 n1,1, 2F xy z yz切面方程为(x1)( y1)2( z 1)0即 xy 2z 0 .

14、法线方程为x1y1z1112习题 6.61 求曲线xa cos a cost, ya sin a cost, za sin t 在点 tt0 处的切线和法平面方程2求曲线x2y 2z26 在点 (1,2,1) 处的切线和法平面方程xy z03求曲面 zarctan y 在点 (1,1, / 4)的切平面和法线方程。x4。证明曲面xyza 3 (a0) 上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。5 证明曲面zxf ( y ) 上任意一点的切平面过一定点。x。6。第七节极值和最值问题一、无条件极值与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。定义 6.3n 元函数 f ( x1 ,

15、x2 , xn ) 在点 P0 ( x10 , x20 , xn0 ) 的一个邻域 U ( P0 )Rn 内有定义。若对任何点P(x1 , x2 , xn )U (P0 ) ，有f (P0 )f ( P) 或（ f (P0 )f ( P) ）则 称 n 元 函 数f ( x1 , x2 , xn ) 在 P0 ( x10 , x20 , xn0 ) 取 得 极 大 （ 或 极 小 ） 值 ，P0 ( x10 , x20 , xn0 ) 称为函数f ( x1 , x2 , xn ) 的极大（或极小）值点。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。类似一元函数，我们称使得n 元函数

16、 f ( x1 , x2 , xn ) 的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点。我们有如下定理。定 理6.28若 P0 (x10 , x20 , xn0 ) 为 n 元 函 数f ( x1 , x2 , xn ) 的 极 值 点 ， 且。7。f ( x1, x2 , xn ) 在 P0 ( x10 , x20 , xn0 ) 的一阶偏导数存在，则P0 ( x10 , x20 , xn0 ) 为 n 元函数f ( x1, x2 , xn ) 的驻点。证 考虑一元函数 (xi)f(0,xi,0 )(i1,2)(xi ) 的极值点，x1xnn ，则 xi 是Fermat 马定理告诉我们，可导函数在极值点

17、的导数是零，于是 (xi ) f xi (x10 , , xi , xn0 )0和一元函数类似，反过来， 驻点不一定是极值点。而偏导数不存在的点也有可能是极值点。判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多， 下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理。定理 6.29若 P0 ( x0 , y0 ) 为二元函数f ( x, y) 的驻点，且f ( x, y) 在 P0 (x0 , y0 ) 的一个邻域 U (P0)R2 中有二阶连续偏导数。令A f xx ( x0 , y0 ), Bf xy (x0 , y0 ), Cf yy ( x0 , y0 ),ABQAC B2，BC则（ 1）当 Q0 时

18、，若 A 0 ， f (x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 取极小值； 若 A0 ， f (x, y)在 P0 ( x0 , y0 ) 取极大值；（ 2）当 Q0时， f (x, y) 在 P0( x0, y0 ) 不取极值；（ 3）当 Q0时， f (x, y) 在 P0( x0, y0 ) 可能取极值，也可能不取极值。例 6.34求函数 zx 2 y3 (6xy) 的极值。解 解方程组zxy3 (123x2 y)0xzx 2 y 2 (183x4 y)0y得驻点为 P0 ( 2,3) 及直线 x0, y0 上的点。8。对 P0 (2,3) 点有 A162, B108, C144,

19、 AC B20 ，于是函数 z 在 P0 (2,3)取积大值(0 )108 。z Px0的点为函数 z 的极小值点，极小值为0；满足条件的容易判断，满足条件y06x0 和 x0 的点为函数 z 的极大值点，极大值为 0。y0y6一、最值问题在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值。1、 一元函数设 yf ( x) 是定义在闭区间a, b 上的连续函数，则f ( x) 在 a, b

20、上一定有最大值和最小值。 区间的两个端点a 和 b 可能成为其最值点，而如果最值点在开区间(a, b) 取得的话，则一定是f ( x) 的极值点，即是f ( x) 的驻点或是使导数f (x) 不存在的点。假设f (x) 的所有驻点是 x11, x12 ,x1k ，使导数f ( x) 不存在的点是x12 , x22 ,xm2 ，那么max f (x) | x a,bmax f (a), f (b), f ( x11 ),f (x1k ), f ( x12 ),f ( xm2 )min f (x) | x a,bmin f (a), f (b), f (x11 ),f (x1k ), f ( x1

21、2 ),f ( xm2 )例 6.35求抛物线y22x 上与 (1,4) 最近的点。解 设 (x, y) 是抛物线y22x 上的点，则 (x, y) 与 (1,4) 的距离是d( x 1) 2( y 4) 2(1 y 21) 2( y 4)22考虑函数 f ( y) d 2，由 f ( y)0 ，得到唯一驻点 y2，于是抛物线 y 22x 上与(1,4) 最近的点是 (2,2)。9。2、多元函数类似一元函数， n 元函数 f (x1 , x2 , xn ) 的最值问题就是求f (x1 , x2 , xn ) 在某个区域 DRn 上的最大值和最小值，我们只需求出f ( x1 , x2 , xn

22、) 在 D 内部的所有极值和边界上最值，从中比较就可以选出f (x1 , x2 , xn ) 在 D 上的最值。例 6.36求平面 x2 yz4 与点(1,0,2)的最短距离。解 设 (x, y, z) 是平面 x2 yz4上的点，则 ( x, y, z) 与 (1,0, 2) 的距离是d(x 1)2y 2( z 2)2( 1 y 21) 2( 6 x y) 22考虑函数f ( x, y)d 2 ，由 f x0, f y0，得到唯一驻点(11/ 6,5 / 3) ，于是平面x 2 y z4 与点 (1,0, 2)的最短距离是 d(11/ 6,5/ 3)566三、条件极值问题和Lagrange

23、乘子法前 面 我 们 研 究 的 极 值 和 最 值 问 题 都 是 直 接 给 出 一 个 目 标 函 数 n 元 函 数f ( x1, x2 , xn ) ，然后求其极值或最值，是无条件极值问题，但是，更多的极值和最值问题是有约束条件的，即条件极值问题。一般来说，条件极值问题是指：求目标函数n 元函数 yf ( x1 , x2 , , xn )G1 (x1 , x2 , xn ) 0在一组约束条件G 2 (x1 , x2 , xn ) 0, (mn) 下的极值。G m (x1, x2 , xn ) 0我们可以尝试对上面方程组用消元法解出m 个变量，从而转化为上一节的无条件极值问题来解决，但

24、是， 消元法往往比较困难甚至是不可能的，所以，我们需要给出一种新的方法来求条件极值。下面我们介绍拉格朗日乘子法。我们以二元函数为例来说明，即：求目标函数 zf ( x, y) 在一个约束条件F ( x, y)0 限制下的极值问题。假设点 P( x, y0) 为函数z f ( x, y)在条件F ( x, y) 0下的极值点，且F ( x, y) 000满足隐函数存在定理的条件，确定隐函数yg( x) ，则 x x0 是一元函数 zf (x, g( x) 的极值点。于是f x (x0 , y0 )f y ( x0 , y0 ) g ( x0 ) 0。10。由隐函数存在定理得到f x ( x0 ,

25、 y0 )Fy (x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )Fx ( x0 , y0 ) 0f y ( x0, y0 )P0 (x0 , y0 ) 需要满足三个条件：令，于是极值点F y ( x0, y0 )f x (x0 , y0 )Fx (x0 , y0 )0f y (x0 , y0 )Fy (x0 , y0 )0F ( x0 , y0 ) 0因此，如果我们构造拉格朗日函数L( x, y,)f ( x, y)F ( x, y)其中，称为拉格朗日乘子，则上面三个条件就是Lx ( x0 , y0 )f x (x0 , y0 )Fx ( x0 , y0 )0L y ( x0 , y0 )f

26、 y (x0 , y0 )Fy ( x0 , y0 )0L ( x0 , y0 )F ( x0 , y0 )0也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题。用这种方法去求可能的极值点的方法，称为拉格朗日乘子法。类似地，求目标函数 n 元函数 yf ( x1 , x2 , xn )G1 ( x1 , x2 , xn ) 0在一组约束条件G 2 ( x1 , x2 , xn ) 0, (m n) 下的极值时，我们可以构造相应的拉格朗Gm ( x1 , x2 , xn ) 0日函数为mL( x1 , x2 , , xn , 1 , 2 , , m )f ( x1 , x2 , x

27、n )i Gi ( x1 , x2 , , xn )i 1于是，所求条件极值点满足方程组。11。mGiLx1f x1ii1x1mGiLxnf xnii1xnL 1G1 ( x1 , x2 , , xn ) 0L mG m ( x1 , x2 , xn )0例 6.37 横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆，其表面积等于S ，问其尺寸怎样时，此盆有最大的容积？解 设圆半径为 r ，高为 h ，则表面积 S(r 2rh )( r0, h0) ，容积 V1r 2 h 。2构造拉格朗日函数L(r , h, ) r 2 h( r 2rhS)解方程组Lr (x0 , y0 ) 2rh( 2rh) 0Lh (x

28、0 , y0 )r 2r0r 2rhS得到 r0SS，这时 V0S3, h02273。33V 一定达到最大体积，因此，当 h0 2S由实际情况知道，2r0时，体积最大。3习题 6.71 求函数 zx3y33xy 的极值。2 求函数 zx4y4x 22xyy 2 的极值。3求椭圆 4x2y24 上与 (1,0)最远的点4求平面 xyz1与点 ( 2,1,1) 的最短距离。5求曲面 z2xy1上与 (0,0,0) 最近的点。12。6已知容积为V 的开顶长方浴盆，问其尺寸怎样时，此盆有最小的表面积？7求用平面 Ax By Cz 0与椭圆柱面 x2y 21 相交所成椭圆的面积。a2b2第八节导数在经济

29、学中的应用一、导数的经济意义1边际函数定义 6.4设函数 yf ( x) 可导，则导函数f ( x) 在经济学中称为边际函数。在经济学中，我们经常用到边际函数，例如：边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等， 它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题， 都反映了导数在经济学中的应用。成本函数 C ( x) 表示生产 x 个单位某种产品时的总成本。平均成本函数 c( x) 表示生产 x个单位某种产品时， 平均每个单位的成本， 即 c( x)C ( x) 。边际成本函数是成本函数 C ( x)x相对于 x 的变化率，即 C( x) 的导函数 C ( x) 。由微分近似计算公式我

30、们知道C ( x)C (xx)C ( x)dC ( x)C ( x) x令x 1 ，我们有C (x)(x1)C( )，也就是说， 边际成本函数 C( x) 可以近似表示Cx已经生产 x 个单位产品后再生产一个产品所需要的成本。在生产中，我们当然希望平均成本函数c( x) 取得极小值， 这时，我们可以得到c (x)0即c ( x)xC ( x)C (x)02x则 xC (x)C ( x)0 ，于是我们得到C ( x)c( x) 。因此，平均成本函数c( x) 取得极小值时，边际成本函数和平均成本函数相等。这在经济学中是一个重要原则，就是说在生产中，当边际成本函数低于平均成本函数时， 我们应该提高

31、产量， 以降低平均成本； 当边际成本函数高于平均成本函数时，我们应该减少产量，以降低平均成本。例 6.38设某种产品生产x 个单位时的成本为C (x)2502x0.1x 2 。求（ 1） 当生产产品 100 单位时的边际成本和平均成本；（ 2） 当生产产品数量为多少时平均成本最低。解 （ 1）边际成本函数和平均成本函数为C ( x)20.2x。13。C ( x)250c( x)2 0.1xxx于是， C (100)22,c(100)14.5（ 2）平均成本函数c( x) 取得极小值时，边际成本函数和平均成本函数相等，即C ( x)c( x)20.2x25020.1xxx 50因此，当生产产品数

32、量为50 时平均成本最低。类似边际成本函数我们可以讨论其它边际函数。需求函数 p( x) 表示销售 x 单位某种产品时的单个产品的价格。那么， p( x) 是 x 的单调减少函数。收益函数是R(x)xp( x) ，边际收益函数是R (x) 。利润函数是P(x)R( x)C( x)边际利润函数是P (x) 。当利润函数取极大值时，()()()0 ，于是，PxRxCR (x) C ( x)，也就是x说取得最大利润的必要条件是边际利润等于边际成本。为了保证取得最大利润还需要下面条件P( x)R ( x)C ( x) 0即 R ( x)C ( x) 。所以，当 R ( x)C (x) 且 R ( x)

33、C (x) 时取得最大利润。例 6.39 设某种产品生产x 个单位时的成本为 C ( x) 27 1.28x 0.01x20.0003x 3 ，需求函数 p(x)10.280.01x。当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润？解 收益函数是R(x)xp( x)10.28 x0.01x 2由R(x)C() 得到x10.280.02x 1.28 0.02 x 0.0009x2我们得到 x100 。容易验证对任意 x0有 R( x)C (x) 。所以，当生产产品数量达到100 单位水平可。14。以取得最大利润。2弹性在经济学中我们常常用到弹性的概念，弹性也是一种变化率问题，与导数概念密切相关。y定

34、义 6.5设函数 yf ( x) 在点 x0 可导，则称y0为函数 yf (x) 在点 x0 与 x0xxx0y两点间的弹性；称y0在x0 时的极限为函数yf (x) 在点 x0的弹性，记为xx0Ey或 E f (x0 )Ex x x0Ex即yEylimy0x0f0x( x0 )Exxf (x0 )x x0x0如果 yf ( x) 在 x(a,b) 可导，相应地，我们可以给出(a, b) 上弹性函数的定义Eyxf (x)Exf (x)当 x 很小时，我们有近似计算公式yEyxy0Ex x x0 x0也就是说， 函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量之比，上式表示当 x 从 x0 产生 100 的改变时，y f ( x) 改变 Ef (x0 ) 00Ex需求函数 Qf ( p) 表示在价格为p 时，产品的需求量为 Q 。需求函数 Qf ( p) 是单调减少函数， Qf ( p) 的反函数也称为需求