概率论(第二版) 多维随机变量及其分布课件

1、第三章 多维随机变量及其分布3.3.1 多维随机变量 定义3.1.1 若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(X, Y) 是二维随机变量. 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).3.1 多维随机变量及其联合分布在研究四岁至六岁儿童的生长发育情况时，我们感兴趣的是每个儿童（样本点 ）的身高 和体重 ，这里 一个二维随机变量。)(1X)(2X),(21XX在研究每个家庭的支出情况时，我们感兴趣于每个家庭（样本点 ）的衣食住行四个方面。若用 ， ， ， 分别表示衣食住行的花费占其家庭收入的百分比，则 就是一个四维随机变量。)(1X)(2X)(4X)(3X),(4321XXXX

2、定义3.1.2 3.1.2 联合分布函数F(x, y) = P( X x, Y y)为(X, Y) 的联合分布函数. (以下仅讨论两维随机变量)任对实数 x 和 y, 称注意：F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.x1x2(x1, x2)联合分布函数的基本性质(1) F(x, y) 关于 x 和 y 分别单调增.(2) 0 F(x, y) 1，F(, y) = 0，F(x, ) =0，F(+, +) = 1.(3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续.(4) 当ab, cd 时，有F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0.注意：

3、上式左边 = P(aXb, cY d).(单调性)(有界性)(右连续性)(非负性) 二维离散随机变量 3.1.3 联合分布列若(X, Y) 的可能取值为有限对、或可列对，则称(X, Y)为二维离散随机变量.二维离散分布的联合分布列称pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ., 为(X,Y) 的联合分布列，其表格形式如下:Yy1 y2 yj x1x2xi p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j 联合分布列的基本性质(1) pij 0, i, j = 1, 2,(2) pij = 1. (非负性)(正则性)确定联合分布列的方法 (1) 确定

4、随机变量 (X, Y) 的所有取值数对. (2) 计算取每个数值对的概率. (3) 列出表格.例3.1.1 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求 (X, Y) 的联合分布列.X Y0 41 3 2 2 3 14 0P(X=0, Y=4)=1340.5 0.5C P(X=2, Y=2)=22240.50.5C =1/4=6/16 P(X=3, Y=1)=33140.50.5C =1/4 P(X=4, Y=0)= 0.54 =1/16P(X=1, Y=3)=0.54=1/16解：概率非零的(X,Y) 可能取值对为:其对应的概率分别为：X01234Y 0 1 2 3

5、 4列表为： 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0课堂练习设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得3.1.4 联合密度函数则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。-( , y) = ( , ) xyF xp u v dvdu称p(x, y) 为联合密度函数。联合密度函数的基本性质(1) p(x, y) 0

6、. (非负性) (2) -( , ) d d1p x y x y 注意：( , )( , )d dDP X YDp x yx y(正则性)例3.1.3 若 (X, Y) (23 ),0, 0( , )0,xyAexyp x y其 它试求常数 A.解:1( , )d dp x y x y (23 )00d dxyAex y 所以, A=62300ddxyAexey23110023xyAee =A/6例3.1.4 若 (X, Y) (23 )6,0, 0( , )0,xyexyp x y其 它试求 P X 2, Y 1.解: P X2, Y1212, 1( , )d dxyp x yx yx2,

7、y3时，有Pij=0. 当i+j3时，事件x=i,Y=j表示取出的3件产品中有i件一等品，j件二等品，3-i-j件三等品，所以有.1.03.06.0)!3( !33jijiijjijip由以上公式，就可以具体算出（X,Y）的联合分布列。X0123Y 0 1 2 3 列表为： 0.001 0.009 0.027 0.027 0.018 0.108 0.162 0 0.108 0.324 0 0 0.216 0 0 0二、多维超几何分布从中任取 n 只，记 Xi 为取出的n 只球中，第i 种球的只数.口袋中有 N 只球，分成 r 类 。第 i 种球有 Ni 只， N1+N2+Nr = N.则 (X

8、1, X2, , Xr)的联合分布列为：12121122(, , ., ) = rrrNNNnnnNnP XnXnXn 例例 一批产品共有100件，其中一等品60件、二等品30件、三等品10件。从这批产品中地任取3件，以X和Y分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量（X,Y）的联合分布列。 解解 记i与j分别为X和Y的取值。 当i+j3时，有Pij=0. 当i+j3时，事件x=i,Y=j表示取出的3件产品中有i件一等品，j件二等品，3-i-j件三等品，所以有.31003103060CCCCpjijiij由以上公式，就可以具体算出（X,Y）的联合分布列。X0123Y 0 1

9、2 3 列表为： 0.0007 0.0083 0.0269 0.0251 0.0167 0.1113 0.1614 0 0.1095 0.3284 0 0 0.2116 0 0 0三、二维均匀分布设D为R2中的有界区域，其面积为SD 若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为：则称 (X, Y) 服从 D 上的二维均匀分布，记为 (X, Y) U (D) .1,( , )( , )0DSx yDp x y，其 它其中SD为D的面积.二维均匀分布所描述的随机现象就是向平面区域D中随机投点，如果G是D中的一个子区域，那么。的面积的面积D1),(),(GdxdySdxdyyxpGYXPGDG

10、例例 设D为平面上以(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)为顶点的正方形区域。如今向该区域内随机投点，其坐标(X,Y)服从D上的均匀分布，试求概率P(YX2) .解解 区域D的面积为1，所以二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为其他。, 0, 1),(Dyxyxp)(2XYP101021yxxydydx10 021xdydx.3110331102xdxx四、二维正态分布若二维连续随机变量 (X, Y) 的联合密度函数为：21222121222212121( , )21()()()()1exp22(1)p x yxyxy 则称 (X, Y) 服从二维正态分布，记为 (X, Y) N

11、 ( ) .221212, , , , 练习 1 设二维离散型随机变量X，Y的分布律为：X01Y 0 1 2 0.2 0. 3 0. 1 0.1 A 0.1 其中A为常数，那么P（X=0|Y1）=练习 2设随机变量Xi，i=1，2的分布列如下，且满足P(X1X2=0)=1，试求P(X1=X2).PXi -1 0 1 0.25 0. 5 0. 25 3.2 边际分布与随机变量的独立性二维联合分布函数（分布列、密度函数）含有丰富的信息，主要有以下三个方面信息：每个分量的分布（边际分布）。两个分量之间的关联程度（相关系数）。给定一个分量时，另一个分量的分布（条件分布）。3.2.1 边际分布函数巳知

12、(X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，则 Y 的分布函数为FY (y) = F(+ , y)，称为Y的边际分布。 X 的分布函数为FX (x) = F(x, +),称为X的边际分布。例例 设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数为这个分布被称为二维指数分布，其中参数0.求X与Y的边际分布函数。., 0. 0, 0,1),(其他yxeeeyxFxyyxyx3.2.2 边际分布列巳知 (X, Y) 的联合分布列为 pij，则 X 的分布列为： 1()ijjiiippP Xxp Y 的分布列为： 1 ()ijijjjppP YypXY12jyyy12ixxx111212122212jjiii

13、jppppppppp ip12ipppjp12jppp3.2.3 边际密度函数巳知 (X, Y) 的联合密度函数为 p(x, y)，则 X 的密度函数为 ： ( )( , )dp xp x y y Y 的密度函数为 ： ( )( , )dp yp x y x 由联合分布可以求出边际分布. 但由边际分布一般无法求出联合分布. 所以联合分布包含更多的信息.注 意 点 (1) 二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y) N ( )，注 意 点 (2)221212, , , , 则 X N ( )，211, Y N ( ).222, 二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.设 (X, Y

14、)服从区域 D=(x, y), x2+y2 1时，p(x, y)=0，所以 p(x)=0当|x|1时,22111d( )xxyp x221x不是均匀分布 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为,0( ,)0 ,yexyp x y其他求(1)概率PX+Y1.解解: PX+Y1=y=xx+y=11/21/210ddxyxxey11212ee(2)边际密度函数PX(x)和PY(y). 若满足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(y) ii) pij = pipj iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) 则称 X 与Y 是独立的，3.2.4 随机变量间的独立性(1) X

15、 与Y是独立的其本质是：注 意 点 , P aXb cYdP aXb P cYd任对实数a, b, c, d，有(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.例3.2.3 (X, Y) 的联合分布列为:X01Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1问 X与Y 是否独立？解: 边际分布列分别为:X 0 1P 0.7 0.3Y 0 1P 0.5 0.5因为(0, 0)0.3P XY(0) (0)0.70.50.35P XP Y所以不独立例3.2.4已知 (X, Y) 的联合密度为 ,0, 0;( , )0 ,.xyexyp x y 其 他问 X 与Y 是否独立？()0d0( )00

16、 x yxeyexp xx, 0( ) 0,0yeyp yy所以X 与Y 独立。注意：p(x, y) 可分离变量.解解: 边际分布密度分别为:注 意 点 (1) (1) (X, Y) 服从矩形上的均匀分布，则X与Y 独立. (2) (X, Y) 服从单位圆上的均匀分布，则 X与Y 不独立. 见前面例子 (3) 联合密度 p(x, y) 的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 X与Y 不独立.注 意 点 (2) (4) 若联合密度 p(x, y) 可分离变量，即 p(x, y) = g(x)h(y) 则 X与Y 独立。(习题3.2 16题) (5) 若 (X, Y) 服从二元正态

17、N ( ) 则 X与Y 独立的充要条件是 = 0.221212, , , , 3.3 多维随机变量函数的分布问题：已知n维随机变量 (X1, X2,Xn) 的分布，如何求出 Z=g (X1, X2,Xn)的分布？(1) 设(X1, X2, , Xn) 是n维离散随机变量， 则 Z = g(X1, , Xn) 是一维离散随机变量.3.3.1 多维离散随机变量函数的分布(2) 多维离散随机变量函数的分布求解方法： i) 对(X1, X2, , Xn)的各种可能取值， 写出 Z 相应的取值. ii) 对Z的 相同的取值，合并其对应的概率.练习 设二维离散型随机变量X，Y的分布律为：X01Y 0 1

18、2 0.2 0. 3 0.1 0.1 0.2 0.1 试求：（1）Z1=2X+Y;（2）Z3=maxX,Y的分布列。3.3.2离散场合的卷积公式设离散随机变量 X 与 Y 独立，则 Z=X+ Y 的分布列为1).()()(iiixkYPxXPkZP这个概率等式被称为离散场合下的卷积公式卷积公式。泊松分布的可加性若 X P(1) ，Y P(2)，注意： X Y 不服从泊松分布.且独立，则 Z = X+ Y P(1+2).二项分布的可加性若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，注意：若 Xi b(1, p)，且独立，则 Z = X1 + X2 + + Xn b(n, p).且独立，则 Z

19、= X+ Y b(n1+n2, p).3.3.3 连续场合的卷积公式定理3.3.1 设连续随机变量X与Y 独立， 则 Z=X+ Y 的密度函数为( )( )()d =()( )dZXYXYpzpx pzxxpzy pyy 设 X 与 Y 独立，XU(0, 1), YExp(1). 试求 Z = X+Y 的密度函数.解:11, 01( )0, xXp x其 它2, 0( ) 0,0yeyYpyy12( )( )()dZp zp x p zx x被积函数的非零区域为：0 x0用卷积公式：(见下图)xz1z = x因此有(1) z 0 时pZ(z) = 0 ;(2) 0 z 1 时()0d1zz x

20、zexe pZ(z) =(3) 1 z 时pZ(z) =1()0d(1)z xzexee1卷积公式的应用 X与Y 是独立同分布的标准正态变 量，求 Z = X+ Y 的分布.( )( )()dZXYpzpx pzxx解：2211()expexp2222dxzxx21exp2222z所以 Z = X+ Y N(0, 2).进一步的结论见后dxxzxz)(exp22212正态分布的可加性若 X N( )，Y N( ) ，注意： X Y 不服从 N( ).211, 222, 且独立，则 Z = X Y N( ).221212, 221212, X Y N( ).221212, 独立正态变量的线性组合

21、仍为正态变量. (见下)独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ., an 不全为零, 则22111 , iiinniiiniiiaaa XN3.3.4 最大值与最小值分布 设X与Y 独立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列.解:X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2 1/2Z = max(X, Y) 的取值为: 0, 1P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4P(Z=1) = P(X=0, Y=1) +

22、P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1)= 3/4设 X1, X2, Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x) 和 pX(x).一般情况若记Y = max (X1, X2, Xn),Z = min (X1, X2, Xn)则 Y 的分布函数为:FY (y) = FX(y)n Y 的密度函数为:pY(y) = nFX(y)n1 pX(y) Z 的分布函数为:FZ(z) = 11 FX(z)n Z 的密度函数为:pZ(z) = n1 FX(z)n1 pX(z) 例例 设某段道路上有5个路灯，每个路灯平均寿命是2000 小时，若每只灯泡每天用10个小时，则30天内需要换灯

23、泡的概率是多少？后来此段道路改建，加装了15个路灯，则30天内需要换灯泡的概率是多少？.5276. 011)300(75. 030051eeTP解解 设所有灯泡的使用寿命是相互独立，同分布的随机变量，其共同分布为指数分布Exp()，其中=1/2000.5个灯泡中第一个灯泡烧坏的时间T1=minX1,X5.则T1 Exp(5)，30天需要换灯泡的概率为道路改建后，灯泡变成了20个，则30天需要换灯泡的概率为.9502. 011)300(3300201eeTP本节主要给出 X 与 Y 的相关系数3.4 多维随机变量的特征数3.4.1 多维随机变量函数的数学期望定理 3.4.1 设 (X, Y) 是

24、二维随机变量， Z = g(X, Y)，则E(Z) = Eg(X, Y) =(,)(,)(,)d dijijijg xypg xyp xyx y 在长为 a 的线段上任取两点 X 与 Y，求两点间的平均长度. 因为X与Y都服从(0,a)上的均匀分布，且X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合密度函数为., 0,0),(21其他ayxyxpa aadxdyayxYXE0021|)(|)()(10002 axaaxdydxxydydxyxa所以两点间的平均长度为.3)(102222adxaxxaaa3.4.2 数学期望与方差的运算性质1. E(X+Y)=E(X)+E(Y)2. 当X与Y独立时，E(XY

25、)=E(X) E(Y), (性质3.4.1) (性质3.4.2)讨论 X+Y 的方差1. Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2EXE(X)YE(Y)3. 当X与Y独立时，EXE(X)YE(Y) = 0.4. 当X与Y独立时， Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y) .2. EXE(X)YE(Y) = E(XY) E(X)E(Y)注意：以上命题反之不成立.课堂练习1 X 与 Y 独立，Var(X) = 6，Var(Y) = 3， 则 Var(2XY) = ( ). 27课堂练习2 X P(2)，Y N(2, 4)， X与Y独立， 则 E( XY) = ( ); E

26、( XY)2 = ( ).4223.4.3 协方差定义3.4.1 称 Cov(X, Y) = EXE(X)YE(Y) 为 X 与 Y 的协方差.协方差的性质(4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7)(1) Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y). (性质3.4.4)(2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5)(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9)(3) Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2 Cov(X, Y) (性质3.4.6)(5) Cov(X, a

27、) = 0. (性质3.4.8)(7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10)3.4.4 相关系数定义3.4.2 称 Corr(X, Y) =为 X 与 Y 的相关系数.Cov(,)Var()Var( )X YXY若记注 意 点*, ()( )Var()Var( )XYXE XYE YXY则*Corr(, )Cov(, )XYXY相关系数的性质(1)(1) 施瓦茨不等式 Cov(X, Y) 2 Var(X)Var(Y). 相关系数的性质(2)(2) 1 Corr(X, Y) 1. (3) Corr(X, Y) = 1X 与 Y 几乎处处有

28、线性关系。(性质3.4.11)(性质3.4.12)P(Y=aX+b)=1Corr(X, Y) 的大小反映了X与Y之间的线性关系：注 意 点 Corr(X, Y) 接近于1， X 与 Y 间 正相关. Corr(X, Y) 接近于 1， X 与 Y 间 负相关. Corr(X, Y) 接近于 0， X 与 Y 间 不相关.没有线性关系例3.4.1 设 (X, Y) 的联合分布列为X1 0 1Y 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 求 X, Y 的相关系数.解:()iijijE Xx p()ijijijE XYx y p= 0同理22()iijijE X

29、x p= 3/4E(Y) = E(X) = 0另一方面= 1/81/81/8+1/8 = 0所以 Cov(X, Y)即 Corr(X, Y) = 0E(Y2) = E(X2) = 3/4= E(XY)E(X)E(Y) = 0例3.4.2 (X, Y) p(x, y) =1(), 02, 0280 x yxy 其 它求 X, Y 的相关系数解:()()E XE Y22001()d d8xxyx y = 7/6222001()d d8xxyx y = 5/322()()E XE Y所以, Var(X) = Var(Y) = 11/36()E XY 22001()d d8xyxyx y = 4/34/37/67/6Corr(,)11/36X Y111 二维正态分布的特征数122212( ,) (