证明不等式的基本方法公开课

1、高三（高三（6 6）班欢迎您！）班欢迎您！授课人：李锋授课人：李锋 20212021年年1010月月1111日日一轮复习一轮复习 新课标新课标 数学（理）（广东专用）数学（理）（广东专用）选修选修4-5 第二节证明不等式的基本方法第二节证明不等式的基本方法复习提问：复习提问： 到目前为止，我们已经学习了那些证明不等式的方法？到目前为止，我们已经学习了那些证明不等式的方法？等等一轮复习一轮复习 新课标新课标 数学（理）（广东专用）数学（理）（广东专用）1比较法比较法 (1)比差法比差法的依据是：的依据是：ab0_. 步骤是步骤是: “作差作差”_ 变形变形(配方、通分、因式分解配方、通分、因式分

2、解等等)是手段，变形的目的是手段，变形的目的是判断差的符号是判断差的符号ab变形变形判断差的符号判断差的符号ab 一轮复习一轮复习 新课标新课标 数学（理）（广东专用）数学（理）（广东专用）2综合法与分析法综合法与分析法 (1)综合法（综合法（由因导果由因导果）：利用已知条件和某些数学定义、公理、）：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的不等，最后推导出所要证明的不等式式_(2)分析法（分析法（执果索因执果索因）：从）：从_出发，逐步寻求出发，逐步寻求使它成立的使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判，直至最后，把要证明的结论归

3、结为判定一个明显成立的不等式为止定一个明显成立的不等式为止3反证法的证明步骤反证法的证明步骤第一步作出与所证不等式第一步作出与所证不等式_；第二步从条件和假设出发，应用正确的推理方法，第二步从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出推出_，否定，否定_，从而证明原不等式成立，从而证明原不等式成立推理推理成立成立要证的不等式要证的不等式充分条件充分条件相反的假设相反的假设矛盾结论矛盾结论假设假设12nabbbb12nbbbba 一轮复习一轮复习 新课标新课标 数学（理）（广东专用）数学（理）（广东专用）4放缩法放缩法(1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值证明不等式时，通过把不等式中的某

4、些部分的值_或或_，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法放缩法(2)理论依据：理论依据：ab，bca_c. (3)数列不等式放缩方向：数列不等式放缩方向：放缩到放缩到等比数列等比数列；放缩到放缩到裂项相消裂项相消。放大放大缩小缩小5构造法构造法(1)构造函数构造函数：构造函数求导，求极值，从而产生不等式，再进行简：构造函数求导，求极值，从而产生不等式，再进行简单的变形（如移项）、代换产生新的不等式，然后再叠加、累乘等，单的变形（如移项）、代换产生新的不等式，然后再叠加、累乘等，达到证明的目的，我们把这种方法称为构造函数法达

5、到证明的目的，我们把这种方法称为构造函数法(2)构造向量构造向量：构造两个向量，利用夹角公式产生不等式，我们把这：构造两个向量，利用夹角公式产生不等式，我们把这种方法称为构造向量法种方法称为构造向量法.这种方法产生的不等式一般都可以用柯西不这种方法产生的不等式一般都可以用柯西不等式证明。等式证明。 放缩技巧放缩技巧一轮复习一轮复习 新课标新课标 数学（理）（广东专用）数学（理）（广东专用）6其他方其他方法法(1)利用已有不等式如：利用已有不等式如：基本不等式基本不等式柯西不等式柯西不等式绝对值三角不等式绝对值三角不等式伯努利不等式（伯努利不等式（p51 例题例题3）(2) 数学归纳法：与正整数

6、数学归纳法：与正整数n有关的不等式，可以使用数学归纳有关的不等式，可以使用数学归纳法，有时候可能要把原不等式加强之后才能用数学归纳法法，有时候可能要把原不等式加强之后才能用数学归纳法。 (0,0)2abab ab22222()()()abcdacbd121212| | |xxxxxx(1)1nxnx 一轮复习一轮复习 新课标新课标 数学（理）（广东专用）数学（理）（广东专用）(3) 换元法：把要证明的不等式进行代数换元（如无理式代换、换元法：把要证明的不等式进行代数换元（如无理式代换、切线长代换、增量代换等），三角换元等方式，转换为比较容易切线长代换、增量代换等），三角换元等方式，转换为比较容

7、易证明的不等式，从而达到证明的目的方法。换元时要注意等价性证明的不等式，从而达到证明的目的方法。换元时要注意等价性.cos ,sinx ay acos ,sinx ry rcos ,sinx ay b一轮复习一轮复习 新课标新课标 数学（理）（广东专用）数学（理）（广东专用）在现实世界中，相等是相对的，不等是绝对的。在打乒乓球时，“擦边球”总会让我们应接不暇，但却能让我们心情激荡，是对我们应变能力的极大考验。关键时刻的一个擦边球，或许成了你获胜的重大转机，也或许成了你失利的关键一球。这种情况如果在重大赛事中，你肯定是终生难忘！相等只是瞬间，不等才是永恒相等只是瞬间，不等才是永恒不等式中的等号恰

8、似这永恒中的一瞬间。然而这个不经意的一瞬间，往往直接决定你对不等式的使用是否正确。数学上的“擦边”也很多。解不等式时，区间的端点恰恰就是由相等求出来的，同时也是大于和小于的分界线。相等的只有很少几个点，却是决定解集的关键。直线和曲线由相离到相交，其关键时刻恰恰是“相切”这一瞬间。返回返回一轮复习一轮复习 新课标新课标 数学（理）（广东专用）数学（理）（广东专用） “放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度。还要积累常用的放缩技巧。如：一轮复习一轮复习 新课标新课标 数学（理）（广东专用）数学（理）（广东专用）返回返回一轮复习一轮复习 新课标新课标 数学（理）（广东专用）数学（理）（广东专用）经典例题：经典例题：一轮复习一轮复习 新课标新课标 数学（理）（广东专用）数学（理）（广东专用）2211111()1211nnnn22214112()412121nnnnn11 11111551()142 2314123lhsrhsnn 112512()132133lhsrhsn 证法证法1：证法证法2