高中立体几何证明垂直的专题训练

1、高中立体几何证明垂直的 专题训练深圳龙岗区东升学校一一罗虎胜立体几何中证明线面 垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：(1)通过“平移”。(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质。(3)利用勾股定理。(4)利用三角形全等或三角行相似。(5)利用直径所对的圆周角是直角，等等。(1)通过“平移”，根据若a/b,且b平面，则a平面1.在四棱锥 p-abcdfr, pbcieh角形，ab5xt面 pbc ab/ cq ab=1 dg2e为pd中点.求证：a已平向pdc.分析：取pc的中点f,易证ae/bf,易证a代工bfl平向 pdcb q2 .如图，四棱锥 p-abcd

2、的底向是正方形，pal底闻 abcd, /pda=45，点e为棱ab的中点.求证：平向pcel平向pcd;分析：取pc的中点g,易证eg/af ,又易证 afl平面pdcs eg,平囿pcd则平而pcel平而pcd3 、 如图所示，在四棱锥 pd j pbc（第2题图）abcd 中，ab 平面pad , ab/cd , pd ad,e是pb的中点， f是cd上的点，且1df ab, ph为 pad中ad边上的局。 2(1)证明：ph 平面abcd;(2)若ph 1, ad ”，fc 1,求三棱锥e bcf的体积;(3)证明：ef 平面pab.分析：要证ef 平面pab ,只要把fe平移到dg,

3、也即是取ap的中点g,易证ef/gd, 易证dg,平面pab4.如图所示，四棱锥p abcd底面是直角梯形ba ad, cd ad, cd 2ab, pa 底面 abcd,e为pc的中点，fa=ado证明：be 平面pdc ;分析：取 pd的中点f,易证 af/be,易证afl平面 pdc(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质5、在三棱锥 p abc 中，ac bc 2, acb 90, ap bp ab , pcp(i )求证：pc ab;(n)求二面角b ap c的大小；/ x.ac .6、如图，在三棱锥 p abc中，/ pab是等边三角形，/ pac=/pbc=90 o证明：ab，pc

4、因为 pab是等边三角形,pac pbc 908、如图1,在直角梯形 abcd中，ab/cd , ab1的正方形，pa cd,pa 1,pd 近.所以 rt pbc rt pac ,可得 ac bc。如图，取ab中点d ,连结pd, cd,则 pd ab , cd ab,所以ab 平面pdc ,所以ab pc 。(3)利用勾股定理7、如图，四棱锥p abcd的底面是边长为 求证：pa平面abcd ;1八ad ,且 ab ad -cd 1 .2现以ad为一边向形外作正方形 adef ,然后沿边 ad将正方形 adef翻折，使平面adef与平面abcd垂直，m为ed的中点，如图2.(1)求证：am

5、 /平面bec ;(2)求证：bc 平面bde ；面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点，ca cb cd bd 2, ab ad . 2.(1)求证：ao 平面bcd ;(2)求异面直线ab与cd所成角的大小；(1)证明：连结ocq bo do, ab ad, q bo do,bc cd, 在aoc中，由已知可得 而 ac 2,ao2 co2 ac2,q bd i oc o, aoao bd.co bd.ao 1,co j3.aoc 90o,即 ao平面bcdoc.10、如图，四棱锥s abcd中，ab bc ,bcab bc 2,cd sd 1(i)证明：sd平面sab ；(n)求a

6、b与平面sbc所成角的大小.解法一：(i)取ab中点e,连结de,则四边形bcde为矩形，de=cb=2 ,连结 se,贝u se ab,se j3.cd ,侧面sab为等边三角形,又 sd=1 ,故 ed2 se2 sd2 ,所以 dse为直角。由 ab de, ab se,de i se e得ab平面sde,所以ab sd。sd与两条相交直线 ab、se都垂直。所以sd平面sab。 aml平面 oead，amldo法二：连om,易证口口8obm于是doom(4)利用三角形全等或三角行相似11 .正方体 abcdaibicidi中。为正方形 abcd的中心，m为bbi的中点,求证：di。，平

7、面mac.分析：法一：取 ab的中点e,连aie,oe,易证 abm2于是 amaie,又 oel平面 abba. .oelam,12 .如图，正三棱柱 abcaibici的所有棱长都为 2,d为cci中点.求证：abi,平面aibd;分析： 取bc的中点e,连ae,b ie,易证 dcb/ebbi,从而bd ebi13 、.如图，已知正四棱柱 abcdaibicidi中，过点b作bic的垂线交侧棱cci于点e,交bic于点f, 求证：aic,平面bde;(5)利用直径所对的圆周角是直角14、如图，ab是圆。的直径，c是圆周上一点，pa，平面abc.(1)求证：平面pac，平面pbc;(2)若d也是圆周上一点，且与 c分居直径ab的两侧，试写出图中所有互 相垂直的各对平面.15、如图，在圆锥po中，已知ac的中点.证明：平面podpa 平面abcd ,以bd的po = j2,。的直径ab 2,c是狐ab的中点，d为平面pac；16、如图，在四棱锥p abcd中，底面abcd是矩形, 中点。为球心、bd为直径的球面交