第二章 原子的能级和辐射4

1、12.6 索末菲对玻尔理论的推广索末菲对玻尔理论的推广 nhdsmrm2一、量子化通则一、量子化通则 玻尔的量子化条件：玻尔的量子化条件： hndqpiii3 , 2 , 1inP:广义动量广义动量22r mm rnhnhdrmrm2线动量与线坐标线动量与线坐标角动量与角坐标角动量与角坐标q:广义坐标广义坐标dq:广义位移广义位移量子化通则量子化通则表示对表示对q变化一个周期的积分变化一个周期的积分i:自由度的个数自由度的个数1,2,3n 2例例1：由普朗克的量子论推导量子化通则。由普朗克的量子论推导量子化通则。nhEntAqcos谐振子的位移：谐振子的位移：tAdtdqsin 带电粒子的简谐

2、振动产生电带电粒子的简谐振动产生电磁磁波波 解：普朗克认为解：普朗克认为 振子振动频率同电磁波的频率相同振子振动频率同电磁波的频率相同 振子具有的能量是量子化的振子具有的能量是量子化的 ：谐振子的速度：谐振子的速度：一个周期的积分：一个周期的积分：22220()sinTdqdqpdqmdqmdt mAtdtdtdtTttmA022sin41213nhETETmAnn/2122即：即：nhpdq 例例2：一个质量为一个质量为m的粒子在有心力场中沿圆形轨道运动的粒子在有心力场中沿圆形轨道运动，粒子在有心力场中的势能为粒子在有心力场中的势能为，其中其中试试根据根据量子化量子化通则求出通则求出该该粒子

3、能量的允许值。粒子能量的允许值。rU024Ze解：解：粒子在该有心力场中所受的力为：粒子在该有心力场中所受的力为：2rrUF根根据牛顿定律据牛顿定律： rmr22粒子的总能量为粒子的总能量为 rmE221r2mr2Er24EmrmrmrmrmL22角动量：角动量：由量子化通则：由量子化通则： nhdEm22nhEm22222204222222)4(22hnemZhnmEn由由量子化通则量子化通则推出的结果与玻尔理论结果完全一致推出的结果与玻尔理论结果完全一致！ 3 , 2 , 1n5二、椭圆轨道理论二、椭圆轨道理论 1.量子化条件量子化条件 广义坐标：广义坐标： 广义速度：广义速度：广义动量：

4、广义动量： , rrrrrmmprr2pmrmr与与r相对应的线动量相对应的线动量 与与 相对应的角动量相对应的角动量 量子化条件：量子化条件： hndp3 , 2 , 1nn 为为角量子数角量子数hndrprr3 , 2 , 1rnnr为径向量子数为径向量子数6体系的能量：体系的能量： rZerrm2022241)(21rZemE2024121椭圆轨道方程椭圆轨道方程 ： )1 (cos112ar2221ab :离心率离心率 ZanZannar1212)(ZannZannnbr11)(22nZRhcEnnnnr n:主量子数主量子数 rnnbannn7与圆轨道相比较：与圆轨道相比较： 能量的

5、表达式无变化，对光谱的解释仍成立。能量的表达式无变化，对光谱的解释仍成立。 轨道是椭圆的，长、短半轴都是量子化的。轨道是椭圆的，长、短半轴都是量子化的。 出现了三个量子数：出现了三个量子数：n, n , nr，只有两个是独立的。，只有两个是独立的。2.2.椭圆轨道的一般椭圆轨道的一般特征特征 椭圆轨道的形状和大小由椭圆轨道的形状和大小由n和和n 决定，是量子化决定，是量子化 。nn, 3 , 2 , 10, 3, 2, 1nnnnr n一定时：一定时：n个半长轴相同，半短轴不同的轨道个半长轴相同，半短轴不同的轨道 。81n1nZaba1a1Zana12Zannb1nn, 3 , 2 , 12n

6、2 , 1nZaa14ZaaZab1124椭圆圆形, 1, 2nn3n3 , 2 , 1nZaa199对于一定的对于一定的n，有，有n个不同形状的轨道，它们具有相同个不同形状的轨道，它们具有相同的能量。这种情况称为能级的简并，的能量。这种情况称为能级的简并，n叫简并度。叫简并度。 能级简并能级简并ZaZaaZab111369椭圆椭圆圆形, 1, 2, 3nnn101.1.相对论的几个结论相对论的几个结论202cmmcT三、相对论修正三、相对论修正 220/1/cmm 121 2220 ccmc2.2.原子的能量原子的能量rZecmmUTE202041)(0mc 1/112220ccm2021m

7、11Znmern22204ce0242220)()(nZmccmm22220420)4()(nZmecmmE)(1 2220nZmccm)(1 /12222020nZccmcm圆轨道：圆轨道：精细结构常数精细结构常数0221/mmc12nZcnZc)(1 )(1222020nZnZcmcmE22020)(1nZcmcm16423181211132xxxxx)(81)(211 422020nZnZcmcm204nneZmrn13)(411 )(22220nZnZcmE220)(2nZcm主项：主项：正是未考虑相对论效应时的能量表达式！正是未考虑相对论效应时的能量表达式！2222040)4(2nZ

8、em22nZRhcce024精细结构常数精细结构常数14修正项只是在光谱的精细结构中才发挥作用，修正项只是在光谱的精细结构中才发挥作用，故故 称为称为精细结构常数精细结构常数。是考虑了相对论效应后对能量的修正！是考虑了相对论效应后对能量的修正！修正项：修正项：222)(41nZnZRhc圆轨道：圆轨道：222211() 4ZERhcZnn 15 )43()(12222nnnZnRhcZE考虑了相对论效应后，量子数为考虑了相对论效应后，量子数为n的能级分裂为的能级分裂为n个支能级。个支能级。椭圆轨道：椭圆轨道： 主项和未考虑相对论时的情况一致。主项和未考虑相对论时的情况一致。 修正项由修正项由n

9、和和n 两个量子数决定两个量子数决定 。小n 小E能级的简并消除能级的简并消除能级的精细结构能级的精细结构对于一定的对于一定的 n圆形轨道圆形轨道能量最大，椭圆轨道越扁，能量越小。能量最大，椭圆轨道越扁，能量越小。16原子中，电子绕核作椭圆运动时，它的速度是变化的。原子中，电子绕核作椭圆运动时，它的速度是变化的。3.3.电子的轨道电子的轨道靠近核时快些，远离核时慢些，靠近核时快些，远离核时慢些，保证角动量守恒。保证角动量守恒。电子的质量在轨道运动中始终是变化的。电子的质量在轨道运动中始终是变化的。 电子的轨道不再是闭合的，电子的轨道不再是闭合的，有一个连续的进动，如图。有一个连续的进动，如图。

10、电子的运动可以看成是两种运电子的运动可以看成是两种运动的迭加：一种是电子绕核作动的迭加：一种是电子绕核作椭圆轨道运动，另一种是该椭椭圆轨道运动，另一种是该椭圆的长轴绕原子核的转动。圆的长轴绕原子核的转动。172.7 史特恩史特恩盖拉赫实验与空间量子化盖拉赫实验与空间量子化 原子中，电子轨道的大小、形状和电子运动原子中，电子轨道的大小、形状和电子运动的角动量，以及原子的内部能量都是量子化的。的角动量，以及原子的内部能量都是量子化的。 在磁场或电场中原子的电子轨道也只能取一在磁场或电场中原子的电子轨道也只能取一定的几个方向，不能任意取向；一般说，在磁场定的几个方向，不能任意取向；一般说，在磁场或电

11、场中，原子的角动量的取向也是量子化的，或电场中，原子的角动量的取向也是量子化的，称空间量子化。称空间量子化。18一、电子轨道运动的磁矩一、电子轨道运动的磁矩 i电子轨道运动相当于一个闭电子轨道运动相当于一个闭合回路中的电流，其磁矩为：合回路中的电流，其磁矩为：iA/ei-eid rpdtrrdrdA221210221dtrdAA0221dtmrmmpdtpm221019mpeiA2Bnmhenpme42224102740. 94mAmheB考虑到方向考虑到方向 pme22hnp 是量子化的是量子化的 也是量子化的也是量子化的 玻尔磁子玻尔磁子二、史特恩二、史特恩盖拉赫实验盖拉赫实验 1921年

12、，史特恩和盖拉赫用实验证明了原子具有磁矩年，史特恩和盖拉赫用实验证明了原子具有磁矩,并且磁矩并且磁矩的数值和取向是量子化的。同时也证明了磁场中，电子角动量的数值和取向是量子化的。同时也证明了磁场中，电子角动量的空间取向也是量子化的，称为空间量子化。的空间取向也是量子化的，称为空间量子化。 201.1.实验装置实验装置 银原子束银原子束非均匀磁场非均匀磁场2.2.实验结果实验结果21无磁场有磁场NS223. 理论分析理论分析 原子偏转的距离为：原子偏转的距离为：具有磁矩的磁体具有磁矩的磁体在非均匀磁场要受到力的作用：在非均匀磁场要受到力的作用：coszBzBFzzzzcosz磁矩在磁矩在z方向的

13、分量方向的分量 力的方向垂直于原子的运动方向。力的方向垂直于原子的运动方向。cos)(212122LzBmtmFSzzS分立分立 z分立分立 取向量子化取向量子化原子取向量子化可以从量子化通则得到理论说明。原子取向量子化可以从量子化通则得到理论说明。23三、轨道取向量子化三、轨道取向量子化 平面圆周运动平面圆周运动 轨道的大小轨道的大小 1个量子条件个量子条件 n平面椭圆运动平面椭圆运动 轨道的大小、形状轨道的大小、形状 2个量子条件个量子条件 n,n空间椭圆运动空间椭圆运动 轨道的大小轨道的大小,形状形状,取向取向3个量子条件个量子条件 n,n,nhndrprrp dn hhndpnr径向量

14、子数径向量子数 n“取向取向”量子数量子数 n磁量子数磁量子数 p轨道角动量轨道角动量 2hnp 24轨道角动量在磁场方向的分量：轨道角动量在磁场方向的分量：cospp2hnp cosnn 1cos11,0,1),(nnn，个12nS-G实验证实了在外实验证实了在外磁场中原子轨道的空磁场中原子轨道的空间取向是量子化的。间取向是量子化的。问题：问题：12n是奇数是奇数实验结果是偶数实验结果是偶数？252.8 对应原理和玻尔理论的地位对应原理和玻尔理论的地位 一、对应原理一、对应原理 量子理论和经典理论之间存在着一一对应的关系，量子理论和经典理论之间存在着一一对应的关系，在极限条件下二者趋于一致。

15、在极限条件下二者趋于一致。 1. 能量的对应关系能量的对应关系 经典理论：经典理论： 能量连续能量连续 玻尔理论：玻尔理论： 能量不连续能量不连续 22nZRhcEn)11(222nmRhcZE222)(nmmnmnRhcZ当当n、m很大时很大时(极限条件极限条件)： nnmnnmn2422nnm26经典理论：经典理论： 223222nnpRcZfrmrn玻尔理论：玻尔理论： )11(222nmRcZ222)(mnmnmnRcZ322nnRhcZEn0E能量连续能量连续 2. 频率的对应关系频率的对应关系 当当n、m很大时很大时(极限条件极限条件)： fnfnnRcZ3223 , 2 , 1n

16、 可见，在高激发态发生跃迁时发生的辐射频率和轨可见，在高激发态发生跃迁时发生的辐射频率和轨道运动的频率或其谐频相等。玻尔理论和经典理论在这道运动的频率或其谐频相等。玻尔理论和经典理论在这个极限情况下一致起来了。个极限情况下一致起来了。2nhp2202244nn hrme Z27体系的作用量：体系的作用量： nhpdqJ若若Jh， 若若Jh， 体系的量子特征就显著地表现出来，就必须体系的量子特征就显著地表现出来，就必须用量子理论来讨论问题。用量子理论来讨论问题。体系的量子特征不显著，适合用经典理论。体系的量子特征不显著，适合用经典理论。sJh3410626. 6很小很小 ! 在宏观领域可以用经典

17、理论处理问题，在宏观领域可以用经典理论处理问题，而在微观领域必须用量子理论处理问题。而在微观领域必须用量子理论处理问题。 28二、玻尔理论的成就二、玻尔理论的成就 指出了经典理论的规律不能完全适用于原子内部；指出了经典理论的规律不能完全适用于原子内部；三、玻尔理论的局限三、玻尔理论的局限 把微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学中把微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学中的规律用于微观粒子，使得这一理论在逻辑性上有缺的规律用于微观粒子，使得这一理论在逻辑性上有缺陷。陷。 提出了微观体系特有的量子规律；提出了微观体系特有的量子规律； 对应原理具有普遍意义对应原理具有普遍意义 。 只能计算氢原

18、子和类氢离子的光谱频率，对于稍微复只能计算氢原子和类氢离子的光谱频率，对于稍微复杂些的原子就无能为力；对光谱线的强度不能处理。杂些的原子就无能为力；对光谱线的强度不能处理。29 玻尔理论的成功之处（1）应用于氢原子和类氢离子光谱时， 理论计算与实验测量结果符合得很好。（2）里德堡常数的理论值与实验值符合极好。 R实=10967758m-1， R理=10973731m-1（3）原子定态假设至今有效。（4）辐射频率法则是正确的。30玻尔理论的困难2hnp 3、轨道的概念不正确。2、角动量量子化条件 与现代实验结果不符只是人们的假设， 无理论根据。1、只能计算氢原子和类氢离子的光谱线的 频率，对于多

19、于一个电子的氦原子。理 论完全不适 用，且不能计算谱线的强度。31原原 因因1、理论内在的不统一，不是自洽的。一方、理论内在的不统一，不是自洽的。一方面提出了与经典理论完全矛盾的假设。另一面提出了与经典理论完全矛盾的假设。另一方面又认为经典理论（牛顿定律、仑定律）方面又认为经典理论（牛顿定律、仑定律）适用。所以不是一贯的量子理论，也不是一适用。所以不是一贯的量子理论，也不是一贯的经典理论，而是量子论贯的经典理论，而是量子论 + 经典理论的混经典理论的混合物。合物。2、没有抓住微观粒子的根本特性：波粒二象性，仍然把微观粒子看作经典理论中的质点。更完整、更准确的、应用面更广的关于原子的理论是192

20、5年建 立起来的量子力学。32 玻尔理论与量子力学主要结论对比表33一、玻尔的氢原子理论 椭圆轨道量子化 椭圆轨道特征二、玻尔理论应用于类氢离子三、索末菲理论四、相对论效应 222111nmZRA小结五、玻尔对应原理和地位34 思考题 （1）19世纪末经典物理出现哪些无法解决的矛盾？（1999长春光机所）（2）用简要的语言叙述玻尔理论，并根据你的叙述导出氢原子基态能量表达式.（1998南开大学）（3）写出下列物理量的符号及其推荐值（用国际单位制）：真空的光速、普朗克常数、玻尔半径、玻尔磁子、玻尔兹曼常数、万有引力恒量. （2000南开大学）35（4）解释下列概念：光谱项、定态、简并、电子的轨道

21、磁矩、对应原理.（5）简述夫兰克赫兹实验的原理、方法、实验结果的分析及结论。（6）简述玻尔对原子结构的理论的贡献和玻尔理论的地位与不足。 （中科院2001）（7）在玻尔模型的理论框架下，导出氢原子中电子作圆周运动时能量的相对论修正。（吉林大学2000）（8）何谓里德伯原子？为什么在现代生命科学、同位素分离、激光等研究领域中要研究里德伯原子？36作业题 （1）单色光照射使处于基态的氢原子激发,受激发的氢原子向低能级跃迁时可能发出10条谱线。问：入射光的能量为多少？其中波长最长的一条谱线的波长为多少？（hc=12400eV） （2）已知一对正负电子绕共同质心转动会形成类似氢原子结构-正电子素.试求

22、：正电子素处于基态时正负电子间的距离；n=5时正电子素的电离能（已知玻尔半径=0.529）. （3）不计电子自旋，当电子在垂直于均匀磁场的平面内运动时,试用玻尔理论求电子定态轨道半径和能级。37（4）已知氢原子光谱的巴耳末系的第一条谱线的波长和第二条谱线的波长,试求帕邢系的第一条谱线的波长。(2000.上海大学) （5）试用光谱的精细结构常数表示处于基态的氢原子中电子的速度、轨道半径、氢原子的电离电势和里德伯常数。 (1999.中科院)（6）利用玻尔索末菲量子化条件：导出一维谐振子的能量。在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。（7）褚书第二章习题：）褚书第二章习题：1、2、3、4、5、6

23、、7、8、9 、 10 、 11。38阅读参考文献 （1）张哲华、刘莲君编 量子力学与原子物理学（武汉大学出版社）第一章实验基础：原子态的量子化部分。（2）赵玲玲编原子物理学（上海科学技术出版社）第二章氢原子及单价原子：原子的稳定性、同一性和再生性、氢原子的量子态、奇特原子、夫朗克赫兹实验、周期系量子化的普遍原则部分。（3）苟清泉编原子物理学（高教出版社）相关部分。（4）顾建中编原子物理学（高教出版社）相关部分。（5）杨福家著原子物理学（高教出版社）相关部分。（6）张庆刚编近代物理学基础（中国科学技术出版社）第四章玻尔氢原子理论部分。 39(7)杨建邺，弗兰克赫兹实验与玻尔的氢原子理论，大学物

24、理，1994.08(8)刘兵等，玻尔与超导物理学，自然科学史研究，1997.3(9)季淑莉，汤姆逊对玻尔建立原子模型的影响，陕西师范大学学报(自然科学版)，1999.02(10)李兴鳌，爱因斯坦-玻尔关于量子力学诠释之争，自然辩证法通讯，2000.05(11)王贵友，从微观现象个体性概念到系统目的性范畴论玻尔科学观念上的“两极相通”，武汉大学学报(人文科学版)，2001.1(12)刘战存，弗兰克和赫兹对原子能级存在的实验研究，物理，2003.140 尼尔斯尼尔斯玻尔玻尔18851885年年1010月月7 7日出生于哥本哈根。父亲是哥本哈根日出生于哥本哈根。父亲是哥本哈根大学生理学教授，在其上中

25、学时就尽力启发他对物理学的兴趣。大学生理学教授，在其上中学时就尽力启发他对物理学的兴趣。19031903年进入哥本哈根大学并在大学读书期间就获得了哥本哈根科年进入哥本哈根大学并在大学读书期间就获得了哥本哈根科学院颁发的奖金。这项工作是在他父亲的实验室里完成的，他用学院颁发的奖金。这项工作是在他父亲的实验室里完成的，他用振动射流方法对表面张力进行了实验和理论上的研究，研究成果振动射流方法对表面张力进行了实验和理论上的研究，研究成果发表在发表在19081908年的英国年的英国皇家学会会刊皇家学会会刊上。他上。他19091909年获物理学硕年获物理学硕士学位，士学位，19111911年获博士学位。在

26、作博士论文时接触到量子论。年获博士学位。在作博士论文时接触到量子论。 19111911年，他到英国剑桥大学卡迪文什实验室在年，他到英国剑桥大学卡迪文什实验室在J.J.J.J.汤姆生的汤姆生的指导下学习和工作，正好这时曼彻斯特大学的卢瑟福发现了原子指导下学习和工作，正好这时曼彻斯特大学的卢瑟福发现了原子核。几个月后，尼尔斯核。几个月后，尼尔斯玻尔到卢瑟福的实验室工作了四个月，其玻尔到卢瑟福的实验室工作了四个月，其时正值卢瑟福组织大家对有核原子模型理论进行检验。尼尔斯时正值卢瑟福组织大家对有核原子模型理论进行检验。尼尔斯玻玻尔参加了整理数据和撰写论文的工作。他就这样在关键的时刻参尔参加了整理数据和撰写论文的工作。他就这样在关键的时刻参加到卢瑟福的工作并成为这个实验室的理论核心人物。加到卢瑟福的工作并成为这个实验室的理论核心人物。 1921 1921年起尼尔斯年起尼尔斯玻尔出任哥本哈根理论物理学研究所所长。玻尔出任哥本哈根理论物理学研究所所长。19391939年在美国参加原子弹研制工年在美国参加原子弹研制工作。作。1945