极坐标与参数方程基础知识附重点题型

1、极坐标与参数方程基础知识附重点题型高中数学回归课本校本教材24（-）基础知识参数极坐标1 极坐标定义:M是平面上一点，p表示0M的长度8是ZA/6 则有序实数实数对（8）, p叫极径，0叫极角：一般地，8w0,2/r）, p0o2 常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点”（九4）,倾斜角为a常见的等址关系:正弦定理ZOMP = /r-a + q ZJOPM = a&：OP _ OMsinZOMP 一 sinZOPM 1时，方程表示双曲线：、“I = 1时，方程表示抛物线：、| 0 v a v 1l-wcos8时，方程表示椭圆提SL极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程P = ： :

2、 Q表示的曲线 2-4cos&是双曲线2（2）椭圆二+=1的参数方程:x = a cos 0. x = bsin &3参数方程：(1)圆(x-a)2 +(a -/?)2 = r2 的参数方程：x-a = rcos0.x-b = rsinO0；当点M在M。的下方时，r 0）的参数方程为（为参数）. y = 2 pt山于2 = 1,因此参数的儿何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.A t如 将参数方程为参数）化为普通方程为v = a-2（2x3）将，= sinT代入x = 2+sinS即可，但是0sin2l :4. 极坐标和直角坐标互化公式：或，Q的象限由点（x,y）所在象限确定.（

3、1）它们互化的条件则是：极点及原点重合，极轴及X轴正半轴重合.（2）将点（Q.&）变成直角坐标（pcos&Qsin&）,也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。5. 极坐标的几个注意点：（1）极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点（极点）如：已知恻C的参数方程为（8为参数），若P是恻C及y轴正半轴的交点.以圆心C为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求过点P的圆C的切线的极坐标方程。pcos（-） = 26如：已知抛物线y2=4x.以焦点F为极点，丫轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求拋物线的极坐标方程。即p = -ol-cos8（2）对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识

4、不足如：已知椭圆的长轴长为6,焦距尸迟=40,过椭恻左焦点F】作一宜线，交椭圆于两点M、N,设巧斤M=a（0dS）, Ta为 何值时，MN及椭圆短轴长相等？ a =兰或兰6 6/2/?sin（ + -）-2 = 0o （1）将上4述曲线方程化为普通方程:（2）若点P（x,y）是该曲线上任总点，求x+y的取值范困 2-2匹2+2厲|（二）基本计算1求点的极坐标：有序实数实数对（Q.8）,Q叫极径，&叫极角：如：点M的直角坐标是（-1不），则点M的极坐标为（2.斗）提示：（22肋+亍）2Z都是点M的极坐标.2.求曲线轨迹的方程步骤：（1）越立坐标系：（2）在曲线上取一点?（p.e）: （3）写出等

5、式：（4）根据08几何意义用表示上述等式，并化简（注总:：xhq*h&）： （5）验证。如：长为2。的线段.其端点在6轴和Oy轴正方向上滑动.从 原点作这条线段的垂线.垂足为M,求点M的轨迹的极坐标方程（Ox轴为极轴）.再化为直角坐标方程.解：设点M 的极坐标为(p.0).则 ZO3M = ZAOMe.且IO4l=2tsin8 , Q=IO4lcos& = 2fsin&cos& = “sin2&点M的轨迹的极坐标方程为p = nsin2（00,y0）.3.求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立八y之间的关系，构成F（x,y）=0,是求轨迹最基本的方法. 待定系数法：可先根据条件设所求曲线的

6、方程，再由条件确定其待定系数，代回方程代入法（相关点法或转移法）如：从极点作圆q = 2“cos&的弦,求备弦中点的轨迹方程解:设所求曲线上的动点M的极坐标为（*&）,圆 =加88&上的动点的极坐标为SG）由题设可知,，将其代入圆的方程得：QMCOS&（-彳s处兰）2 2定义法如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义，则可由曲线定义直接写出方程.交轨法（参数法）：、*动点P（x.y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x . y均用一中 间变址（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.4参数和极径的几何意义的运用：Q表示0M的长度；T几何意义是有向线段MP的数量：如：

7、已知过点卩（9厲）的直线/及x轴正半轴、y轴正半轴分别交干A B两点，则AB最小值为邛提示:设倾斜角为a 则或AB=IJ + I叩贝叽/仏2-貲S空竺 令/） = 0,所以/（a血=/（150 ） = -，7- + /?7 = 8血注意：木题可以取倾斜角的补角为a如过 cos* a sin acos 150 sin 150抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为斗的直线.交抛物线于A.B两点，求线段的长度解：对此拋物线有e = hp = 4,所以抛物 4线的极坐标方程为，A” 两点的极坐标分别为?和 IMI=4/（l-cos/r.,，4）=4s5/4）=4（2-/2）,l-cos&44 I AB I

8、T E41 +1朋1= 16线段AB的长度为165参数方程的应用一求最值：如：已知点P（xy）是恻x24-y2=2y上的动点，（1）求2xy的取值范际（2）若*+门0 恒成立，求实数d的取值范圈o -/5+ L/5+ 1（2）入+y+“=cos8+sin8+l+“20 返一1 炖） 2如：在椭圆衲扫=1上找一点.使这一点到直线x-2y-12 = 0的距离的最小值解：设椭圆的参数方程为，= cos&-屈in&3| = 2cos（& +彳）_3 当cos（&+彳） = 1,即& =耳时，.=芋，此时所求点为（2-3）.C选修4-4参数方程及极坐标已知极坐标系的极点及直角坐标系的原点重合，极轴及X轴

9、的正半轴重合。若曲线C1的方程为” =8/9810-15 ,曲线C2的方程为=爭cosa,(a为参数)。y = /2sinz(1) 将Cl的方程化为宜角坐标方程；(2) 若C2上的点Q对应的参数为，P为G上的动点，求PQ的最小值。提示:(1) x2 + y2 -8y + 15 = 0.P(2)当时，得点0到G的圆心的距离为/13 所以PQ的最小值为皿-1 在极坐标系中，求经过三点0(0, 0), 4(2, ), B(2/2, )的圆的极坐标方程.解：设P(p.O)是所求圆上的任意一点，则OP = OBcos(0-),(图)7T 故所求的圆的极坐标方程为 = 2血cos(&) 4已知极坐标系的极

10、点及直角坐标系的原点重合，极轴及x轴的正半轴重合若直线/的极坐标方程为.(1) 把直线/的极坐标方程化为直角坐标系方程；(2) 已知P为椭圆上一点(已知曲线C的参数方程为,)求P到宜线/的距离的最大值.解：(1)直线/的极坐标方程，则 仑psinC-並qcos8 = 3Q,2 2即psin&-pcos8 = 6,所以直线I的直角坐标方程为x- y + 6 = 0 ；(2) P 为椭圆上一点,设 P(4cosa,3sina),其中 ae0,2n),则P到直线/的距离d4cos譽s + 6l5cos(ay) + 6其中72近所以当cos(cr + ) = 1时，的最大值为在极坐标系中，圆C的方程为

11、，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线/的参数方 程为a为参数)，判断直线/和圆c的位置关系.解：消去参数f,得直线/的直角坐标方程为y = 2x+l；即p = 2(sin8+cos8),两边同乘以P得p2=2(psin0 + cos8),得0C的直角坐标方程为：(x 1尸+(x 1尸=2,圆心Q到直线/的距离 = I2T_1I=P-） = 2,4p4即p = lsin（-J）.这就是点。的轨迹方程.化为直角坐标方程为（X+渥）2+0 渥）2=丄.因此点0的轨迹是以（丄，竺）为圆心丄为半径的圆.88164 44变式训练（2010.浙江卷）如图，在极坐标系Ox中，已知曲线

12、：717TC:p = 4sin0（ 0 ）；冗7T 、3兀C p = 4cos0（ 5 0 5 或 v & 5 2zr）；冗C3：p = 4（O0）.（1）求由曲线C, C2, C3围成的区域的面积；（2）设 M（4,f）, N（2,0）,射线& = g（八 0,中 专）与 曲线G，C?分别交于A, B（不同于极点O）两点.若线段 AB的中点恰好落在直线MN上，求tana的值.解析：由已知，S 弓彫 osp =-xx22-ix22=-2.fiff 以 5,;讪=|xx22-2(-2) = 4,2 2故所求面积S =丄龙x4+丄x/rx2一4 = 6/r-442(2)设A3的中点为G(q a乙ONG = 山题意知， = 宀 =2sina + 2cosz21盘“宀汕ONOGsin(p = =, cos (p = = 在/XOGN 甲,=,y/5y/5sin ZOGN sin ZONGnil 22sina + 2cosasin。即sm(/r_a_0)所以 sin a + cos a =sin (p _2sin(a + 0) sin a+ 2 cos a化简得sina-3sinacosa = 0,又因为sina工0,所以tana = 3.极坐标与参数方程基础知识附重点题型2 2例3已知4, B分别是椭圆+ = 1的右顶点和上