2020年高考数学模拟试卷(文科20)

1、2020年高考数学模拟试卷（文科20）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题,共60.0分）1. 设集合3,4,则A. B. C. 4,D. 2,3,4,【答案】D【解析】解：集合3,4,则2,3,4,故选：D直接求出即可考查集合的并集运算,基础题2. 设,则A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：,故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题3. 若双曲线的实轴长为4,则其渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：实轴长为4,其渐近线方程为：,故选：C先由实轴长为4,求出,从而得到渐近线方程本题主要

2、考查了双曲线的渐近线方程,是中档题4. 已知,则A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：,故选：A利用指数函数、对数函数的单调性即可得出本题考查了指数函数、对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题5. 若变量x,y满足约束条件,则的最小值是A. B. C. 5D. 6【答案】B【解析】解：设变量x,y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形,平移直线经过点时,最小,最小值为：,则目标函数的最小值：故选：B先根据条件画出可行域,再利用,几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距最大,只需求出直线,过可行域内的点A时的最小值,从而得到z最小值即可借助于平面区域特性,用几何方法处理

3、代数问题,体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定6. 从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛,则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛,基本事件总数,选中的2人是1名男同学1名女同学包含的基本事件个数,则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是故选：C基本事件总数,选中的2人是1名男同学1名女同学包含的基本事件个数,由此能求出选中的2人是1名男同学1名女同学的概率本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题7. 第24届国际数学家大会

4、会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图所示,赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为,那么A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：设大直角三角形的直角边长为a,则,解得,；故选：D设大直角三角形的直角边长为a,解出利用倍角公式即可得出本题考查了勾股定理、倍角公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题8. 已知是奇函数,当时,其中e为自然对数的底数,则A. B. 1C. 3D. 【答案】A【解析】解：是奇函数,当时,则故选：A由是奇函数可得,则,代入已知可求本题主要考查了利用奇函数的

5、性质求解函数的函数值,属于基础试题9. 已知四棱锥的所有顶点都在球O的球面上,底面ABCD是等腰梯形,且满足,则球O的表面积是A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：底面ABCD是等腰梯形,且满足,可知底面ABCD的外心为AB的中点O,到顶点的距离为1,因为,所以,AB的中点O到S的距离为1,所以O是四棱锥的外接球的球心,外接球的半径为1,所以球O的表面积是：故选：C利用已知条件求出四棱锥的外接球的半径,然后求解球O的表面积本题考查几何体的外接球的表面积的求法,考查空间想象能力以及计算能力,是中档题10. 已知点F为椭圆的一个焦点,过点F作圆的两条切线,若这两条切线互相垂直,则A. 2B

6、. C. 【答案】C【解析】解：如图,由题意椭圆的右焦点为F,过点F作圆的切线,若两条切线互相垂直,可得,则,则故选：C由题意画出图形,可得,利用椭圆的性质求解a即可本题考查椭圆的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,是中档题11. 函数在区间上是单调函数,且的图象关于点对称,则A. 或B. 或2C. 或2D. 或【答案】B【解析】解：的图象关于点对称,则,整理得：,当时,所以函数,函数的最小正周期为,所以函数在区间上是单调递减函数当时,所以函数,函数的最小正周期为,所以函数在区间上是单调递减函数当时,所以函数,函数的最小正周期为,所以函数在区间上是不是单调递减函数,函数的单调性先减后增,故错

7、误故选：B首先求出函数的关系式中的和k的关系,进一步对k的取值进行验证,最后求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换,余弦型函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型12. 已知数列满足,则的最大值是A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：依题意,可化为：,令,则,于是,即,法一：当且仅当时等号成立；法二：,当且仅当时等号成立法三：,即在上,令,即,故选：C依题意,可化为：,法一：利用圆的参数方程,结合辅助角公式可求得的最大值；法二：由,利用基本不等式可求得的最大值；法三：依题意,在上,令,利用点到直线间的距离公式可求得答案本题考查数列递推式的应

8、用,考一题多解的运用,其中涉及圆的参数方程法、基本不等式法及点到直线间的距离公式的应用,考查思维与运算能力,属于中档题二、填空题（本大题共4小题,共20.0分）13. 曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】解：由,得,则曲线在点处的切线斜率,曲线在点处的切线方程为,故答案为：先对曲线求导,然后求出切线斜率,再求出切线方程本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,属基础题14. 已知向量,若向量与向量共线,则实数_【答案】【解析】解：因为向量,所以向量；与向量共线；故答案为：先求出向量的坐标,这样根据向量平行时的坐标关系即可建立关于m的方程,解出m本题主要考查向量坐标的数乘和减法运算,以及共线

9、向量的概念,共线向量的坐标关系15. 已知圆锥的顶点为S,点A,B,C在底面圆周上,且AB为底面直径,若,则直线SA与BC的夹角为_【答案】【解析】解：取AB中点O,连结SO,CO,圆锥的顶点为S,点A,B,C在底面圆周上,且AB为底面直径,平面ABC,以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OS为z轴,建立空间直角坐标系,设,则0,1,0,设直线SA与BC的夹角为,则,直线SA与BC的夹角为故答案为：取AB中点O,连结SO,CO,推导出平面ABC,以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OS为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线SA与BC的夹角本题考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、

10、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题16. 有一道题目由于纸张破损,有一条件看不清楚,具体如下：“在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,_,求角”经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,且该题的答案A是唯一确定的,则破损处应是_【答案】【解析】解：因为,所以,即,所以,又,所以由正弦定理可知,可得检验：,又因为且,所以或者,这与已知角A的解为唯一解矛盾,所以,由正弦定理可知,检验：,又,且,故应填的条件是：故答案为：由,结合余弦定理可求cosB,进而可求B,然后结合正弦定理及大边对大角即可进行求解本题主要考查了利用正弦定理及余弦定理及三角形的大边对大角定理在求

11、解三角形中的应用,属于中档试题三、解答题（本大题共7小题,共80.0分）17. 已知是公差为1的等差数列,数列满足,求数列的通项公式；设,求数列的前n项和【答案】解：由题意,可知,即,解得又数列是公差为1的等差数列,数列是常数数列,即,由知,故【解析】本题第题将代入可解出的值,从而可得数列的通项公式,然后将数列的通项公式代入可发现数列是常数数列,从而可得数列的通项公式；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式,然后运用裂项相消法求出前n项和本题主要考查数列求通项公式,以及运用裂项相消法求前n项和考查了转化思想,、方程思想、逻辑思维能力和数学运算能力,本题属中档题18. 如图,在棱长为2的正方体

12、中,E,F,M分别是棱AB,BC,AD的中点证明：平面；求点到平面的距离【答案】证明：取CD的中点N,连结MN,EN因为E,F,M,N分别是棱AB,BC,AD,CD的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面又因为,所以四边形是平行四边形,所以,所以平面又,所以平面平面,又平面,所以平面；解：因为平面,所以点到平面的距离可以转化为点M到平面的距离由已知可得,所以,又,所以,可知,所以又因为,所以点M到平面的距离为所以点到平面的距离为【解析】取CD的中点N,连结MN,EN,只需证明,四边形是平行四边形,即可证明平面；可得平面,所以点到平面的距离可以转化为点M到平面的距离由,即可得点到平面的距离本题考

13、查了空间面面平行、点面距离,属于中档题19. 某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况,对公司最近6个月的市场占有率进行了统计,结果如表：月份月份代码x123456y101415162021请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系如果能,请计算出y关于x的线性回归方程；如果不能,请说明理由；结果精确到根据调研数据,公司决定再采购一批单车扩大市场,从成本1000元辆的A型车和800元辆的B型车中选购一种,两款单车使用寿命频数如表：报废年限车型1年2年3年4年总计A8324020100B12433510100经测算,平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入,不

14、考虑除采购成本以外的其它成本,假设每辆单车的使用寿命都是整数年,用频率预计每辆单车使用寿命的概率,以平均每辆单车所产生的利润的预计值为决策依据,如果你是公司负责人,会选择哪款车型？参考数据：,参考公式：相关系数,【答案】解：由表格中数据可得,与月份代码x之间高度正相关,故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系,关于x的线性回归方程为；这100辆A款单车平均每辆的利润为：元,这100辆B款单车平均每辆的利润为：元用频率预计概率,A款单车与B款单车平均每辆的利润预计值分别为360元、415元,应采购B款车型【解析】由表格中的数据求得相关系数r值,可知y与月份代码x之间高度正相关,故可用线性回归模型拟

15、合两变量之间的关系再求出与的值,得到线性回归方程；分别求出这100辆A款单车平均每辆的利润与这100辆B款单车平均每辆的利润,比较大小得结论本题考查相关系数与线性回归方程的求法,考查计算能力,是中档题20. 设抛物线C：的焦点为F,C的准线与x轴的交点为E,点A是C上的动点当是等腰直角三角形时,其面积为2求C的方程；延长AF交C于点B,点M是C的准线上的一点,设直线MF,MA,MB的斜率分别是,证明：【答案】解：当是等腰直角三角形时,点,抛物线方程为：；抛物线方程为：,准线方程为：,焦点,设,当直线AB的斜率不存在时,即,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为：,联立方程,消去y得：,故得

16、证【解析】由题意可得：,所以,从而得到抛物线方程；设,对直线AB的斜率分情况讨论,当直线AB的斜率不存在时,易得,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为：,与抛物线方程联立,利用韦达定理化简得：,即本题主要考查了抛物线方程,以及直线与抛物线的位置关系,是中档题21. 已知函数讨论的单调性；若,方程有两个不同的实数解,求实数m的取值范围【答案】解：依题意函数的定义域为,令,则,故在单调递增,又,所以当时,即,当时,即；故在上单调递减,在上单调递增；方程化简可得,所以方程有两解等价于方程有两解,设,则,令,由于,所以在单调递减,又,所以当时,即,当时,即；故F在上单调递增,在上单调递减所以在时

17、取得最大值,又,所以存在,使得,又在上单调递增,所以当时,；当时,即因为在上单调递减,且当时,即所以方程有两解只须满足,解得：,所以方程有两个不同的实数解时,实数m的取值范围是【解析】求导可得,令,再利用导数可知在单调递增,进而可得当时,当时,由此求得函数的单调性；问题等价于方程有两解,设,利用导数研究函数的性质,可得,由此求得实数m的取值范围本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数零点与方程的关系,考查转化思想及运算求解能力,属于中档题22. 已知曲线C的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l过点,倾斜角为求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；设直线l与曲线C交于A,B两点,求的值【答案】解：曲线C的极坐标方程是,转换为直角坐标方程为直线l过点,倾斜角为整理得参数方程为为参数将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得,整理得,所以：,所以求【解析】直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间