2020届高三数学备考冲刺140分问题15平面向量中的最值、范围问题(含解析)

1、问题15平面向量中的最值、范围问题、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.二、经验分享1. 利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化为向量形式 ，用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见

2、类型及解题策略2. 几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一 热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识 ，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解（较易）；将条件通过向量的线性运算进行转化 ，再利用求解（较难）;建系，借助向量的坐标运算，此法对 解含垂直关系的问题往往有很好效果 3 坐标是向量代数化的媒介，通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决，而坐标的获得通常要借助于直角坐标系对于某些平面向量问题，若能建立适当的直角坐标系 ，可以使图形中

3、复杂的几何 关系转化为简单明朗的代数关系，减少推理过程，有效地降低思维量，起到事半功倍的效果. 上面两题都是 通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解，体现了向量解题的工具性三、知识拓展-a b a ba bo |fl|-|i|c+i|fl|+N四、题型分析（一）平面向量数量积的范围问题II.IIIII已知两个非零向量 a和b，它们的夹角为 日，把数量 a b cos日叫做a和b的数量积（或内积），记作a b .即a b= a b cos日，规定a 0=0,数量积的表示一般有三种方法：（1）当已知向量的模和夹角时 ，可利用4 4 h定义法求解，即a b = a b cos日；（2）当

4、已知向量的坐标时 ，可利用坐标法求解，即若a = （X1, yj，b=(X2,y2),则 a b= X1X2+ yiy2；( 3)运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.【例1】在边长为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则EB ED的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则，将向量EB,ED分别表示，结合已知条件设| AE |二x ( 0乞x空2),将EB ED用变量x表示,进而转化为二次函数的值域问题.【解析】设OAOBOC =20A所在直线为览0为坐标原点建立平面直甬坐标系匚T ” =4帀=2屁口与方的夹角为y则 A (4r0) tB (

5、2,2)设 C (亡一df) -( _ 方)=1 .x2+y2 - 6x-2y+9-0,即(x-3)工一 (y-1) -1表示咲(3J)为圆心以1为半径的圆I4 4C -a表示点A,C的距离即圆上的点与点A( 4,0)的距离； /圆心到c - a的最大值为V2 +1,故选：D.【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标，正确找到变量间的关系，以及目标函数代表的几何意义是解题关键. I -*12(t nF|/1| 一 4- -【小试牛刀】【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末】 已知向量，满足*-，则*二 的取值范围是A. 2-石2 B . 1 稠C . 2-*怪2十|

6、D . V2I【答案】DF；O = fl,F；M = 6【解析】设点M为平面中任意一点，点1卢2是关于原点对称的两个点，设，根据题意|2fi + 6|+6|=|MF + Mfa = 4,根据椭圆 的定义 得到点 M的轨迹 是以1匕 为焦点 的椭圆， 方程为,即.故答案为D.(三)平面向量夹角的取值范围问题1 1- abXX. + vTv7设 a = (xi, yj, b 二(X2,y2),且 a,b 的夹角为二,则OA =2.05 =L0P = t000 = (l-t)0B.P0在t0时取得最【例3】已知向量OA与OB的夹角为-,1小值，当0 : t0 时，夹角二的取值范围为(5A. i 0,

7、-3B.(Tt Tt )3 2C.2 3D.【分析】将PQ表示为变量t的二次函数PQ，转化为求二次函数的最_ l+2cos小值问题，当 时,取最小值，由已知条件0 ：: to : 1,得关于夹角二的不等式，解不等式得解.5【解析】宙题意OA( = 2xlxc = 2c.PO = OO-OP = (-f-tOA PQ. =(1 + 厂 0川一2r(l _= 1 亠 4厂二 4耘1 os 0 =(5 - 4 cosr* -(-2-4cos0i -1 .S次函数的图像及其性质知;当上式取最小值时匚九=上巳竺由题5+4cos意可得E三籍4貳得冷2心所以戶疔故应选【点评】求变量的取值范围、最值 ,往往要

8、将目标函数用某个变量表示 ，转化为求函数的最值问题，期间要注 意变量之间的关系，进而得解.1 r “ “+- z y + d.ix+l【小试牛刀】已知非零向量a,b满足a-2在R上存在极值,则a和b夹角的取值范围为(A. 0,- _ 6B.3，C.徑2l3, 3D.【答案】Bf (x I = x* + a jc+ a - b【解析】,设a和b夹角为因为f x有极值，所以r i r rS- a -4a b 0,即A= a -4 ? i cos5 01,即COS-,所以八2(jiI H I3，3.【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末】AH = 5

9、rAC =朮=2百32AB-AAC(A E R)，则的最大值疋（)3/3A. T B.屈C. D .【答案】C【解折：1依题竜 AB - AC = 5xl0cosi4 = 25中,，点:是二门=内（包括边界）的一动点，且ccsA =|.j4-由余弦定理得BC = 153 + 10= 2x5x10coej =故貝沪+ E戸三甬形ABC直角三甬形一设加=討比过D作DPf/ACf交眈于匕 过P作附拙，交卫吁E由于肿=|肋-診MUe的，根据向量加法运童的平行四边形法则可知，P点位于线段D严上，由團可知I丽I最长时为I丽I 一由于AD = 3,BD = 2, AC AB = TF =,所以月卩=BDtA

10、n= 2、3所以|萨| = J云莎T莎 = 可故选 C.CZ.BAC=_.4【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】如图，在中， /为上一点,1 zAP = mAC + AB亠且满足2，若皿肚的面积为2V3,则皿刊的最小值为（）A. B . C . D【答案】B【解析】设丽| =込反I = bf则三角形丄肚的面积堆x 3ab = 碍 解得必=p由4P = m-4C + AB mAC + AD?且C, P, D三点共线可知用+孑=1,即m = 7/故AP=AC + AD.AB所在直线为x轴，以説点为坐标原点过/点作占艮的垂线为诱由，建立如图所示的坐 标系，贝M 0）, DQs 0），3（3a

11、, 0）? Cb,冋则AC = （b, 討 丽=&” 0）,丽=自+討 矜|4?|2 =+ 制 + （込丫 = 1 fr2 + 9a2 + 3-b2 = 5 + %? + 1 2 , 1 b2 xa2 + l = b + l-3.fi 2 8&44864164J1644则b2 -a2（当且仅当：即八一时取“=”）.故.-T的最小值为.5 【四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试】在四边形：中，已知是边上的点，且MA = MB = MC=MD = .CMD = 2Q*.,若点 在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ）31 （） =1）A.: B 丨-C D 【答案】C【解析】宙丙-NB

12、 =(MA - 顾)(MB - MN)= MN2-MA2 二丽- 1,在AMCN中，MC =九 !CN =30%:.MN2 = I2 + jVC2 -2 XATC xlx = NC2 - NC 十 1?AMN2 1 JVC* v=(ArC 亍)-jV 时在CD匕 MC = AW = 1:CMD = 120G,可得CD =畐、A 0 iVC 、吟,A-MJV2-1 0,4L即M JVB的取値范围故选U6 .【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知m,n是两个非零向量，且m = i.m 23,则m n n的最大值为A. ,5 B. 10 C. 4 D.【答案】B【解析】Q|=lr| + 2?i

13、|=3:/.(w+2wy =4+4wJi + l = 9_J2 + ffl-n = 2f V Vv Vi r V:.m+n) -m +2mn+n=5 |V V| |V| J.m + n +|卫二+ |= x|0jtY4-1,令 f x =0,得 x* 当（x）a0,当 2时，（x）c0,二当时,2f x取得最大值,故选B.7.【2018届安徽省淮南市高三第一次 （2月）模拟】已知G是L ABC的重心,过点G作直线MN与AB , AC 交于点M , N ,且AM = xAB, TN二yAC , x, y 0 ,则3x y的最小值是（）A. 8 B.7 c.5 D.4=332233【答案】D【解析

14、】如團苗G三点共线：二而=2阪,二药-乔二瓜益-走）,TG是ABC的重心:1 一 一 一 一 1 一 .Li?十亠攻t?)xA. z(Xf) ) t 3”311 ._x= -z3,解得（3x-l）（3y-1）=1；结合图象可知2童工乞1,2$兰1；77-z33x-l = Wj3v-l = 令（打囲:1+对4 n 4jx+ v = 1 +wH= - + m+- + 2*in,3333故当且仅当3等号成立,故选D8.【2018上海市杨浦区高三数学一模】设 A、B、C、AC =0,mi mmJCW=0LUJ ULU.4D.4B =0S2、D是半径为1的球面上的四个不同点 ，且满足S3分别表示 ABC

15、、厶ACD、厶ABD的面积,则S!S2S3的最大值是()1A. B. 2 C. 4 D. 82【答案】B解析】设 AB - a T b : -LD - c.4BAC-07 AC.4D=Q, .10 .15=0.45 ； AC. Q两两互相垂直扩展为长方体它的对角线为球的直径即/ +沪+ /=4，=4/ Sl. S：、分别表示 UBC、AJCD、AJED 的面积二工+S】+S3 =-(+ac + &c)5( C+J ) = 2 苦且&a = b=c 时取等号jLk/. S + d +禺的最大值是l故选B9 .【2018届河北省定州中学高中毕业班上学期期中】设向量a,b,c满足=2 , a b =

16、 -2 ,a-ctb-c6QQ 则c的最大值等于(A. 4 B. 2 C.D. 1【答案】A【解 析】a=b=2a b 2a-Lb-c = 6QLW y UU 、U11A VOA =a:0B = b,OC = ct二2 0,由三角形的正弦定理得外接圆的12.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量a,b夹角为一，b =2,对任意x R,有3庶恥小冋_国+也一#(f eJ?),则的最小值是2x2xcosai 二 *1 琴/. cowfi=-.5=120 2,女口图所心 立辽a,o,b,c四点共圆，tuv v v no n v_ v_ v v+AS 二 b a AB =b + a -2 di = 4 + 4 2i -2) 12./.AB2R= ,=4直径-,当OC为直径时，它的模C最大，最大为4,故选A.【答案】 2【解析】向量”夹角为彳冋二2 ；对任意xeR ,