不等式证明的方法

1、学号:用高等数学知识求函数极限的探究学院名称: 专业名称: 年级班别: 姓 名: 指导教师:年 月曰积、应用已知定理、公式等.证明已知：aa +ba +bA0，0，求证：二届.晶-a+b-2窈=心-荷2 0，用高等数学知识求函数极限的探究在整个高等数学的学习中，我们所学习的许多知识都可以用于求函数的极限，诸如利 用初等函数的连续性、利用等价无穷小代换求极限、利用夹逼准则求极限、以及利用洛必 达法则求函数极限等等。同时，极限的思想方法也贯穿于整个高等数学中，一些基本概念 如微分、积分的定义都与极限有密不可分的联系。在本文中，我主要总结了一些常用的利 用高等数学知识求函数极限的方法，并用具体实例加

2、以说明。关键词 函数极限；连续性；洛必达法则；泰勒公式在数学的学习过程中，函数极限是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等 数学中都有很好的体现.1常用方法1.1比较法（作差法）1在比较两个实数a和b的大小时，可借助a-b的符号来判断.步骤一般为：作差一一变形一一判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化2222故得河南师范大学本科毕业论文1.2作商法在证题时，一般在a , b均为正数时，借助 S-1或abO ,求证：aabbabba.证明 因为a Ab 0,所以aabb但1 ,lb丿1.3分析法（逆推法）从要证明的结论出发,a bb| aa b a b .

3、步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.例 3 求证：+1 +J15.证明 要证 弱+ 47 1，即证 12+2J55：16 + 2j75，即 435 2+Ji5，35 19 +4(15 , 4/15 16 , 7T54 , 15 1 , a b A 0 . b1.4综合法2证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等, 最终达到要证结论，这是一种常用的方法.例4 已知：a，b同号，求证:证明因为a，b同号,所以a c0 ,b-0 ,a1.5反证法先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，

4、从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的.例5已知abO, n是大于1的整数，求证： 艮阪证明假设件1，Ya这与已知矛盾，所以1.6迭合法把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不2 2 2b1 +b2+- +bn =1，求证:等式相加或相乘的性质，使原不等式获证例 6 已知：q2 + a?2 +an2 =1，aibi +a2b2 + + ab 1.所以证明 因为a12 +a22 +an2 =1，2 2 2h +b2 + +bn =1，2anJa, +a22 +an2 =1，Jbj b?2 +bn 1.由柯西不等式a1b1 +a2b2 中+anb Ja：+

5、 a：天 Jb； +b； +b： =11=1,所以原不等式获证.1.7放缩法呵在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的 各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式 中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放” “缩” 得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻 找“中介量”放缩法.例7 求证：丄咒3咒5咒咒越亜吒。.。24610000证明 令P =咒X-9999,贝U24610000所以2132522 2999913c X 10000222 -14 -1P

6、 anb + abn证明 （1）当n=2时，a2+b2 ab+ab =2ab，不等式成立;(2)若 n=k 时，ak+bkak +abk成立，则a +bk a(ak +bk) -abk +bka(akb + ab2)-abk +严= akb +abk +(a2bk -2abk +bk十)=akb + abk +bk1(a-b)2 akb + abk，即 ak+ +bk akb +abk成立.根据（1）、（ 2）， an + bn+ab2对于大于1的自然数n都成立.1.9换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.1例 9 已知：a+b+ c =1，求证：a

7、b+bc+ ca.3证明 设a t， b -aMtR），贝U c =+（1+a）t，333ab +bc +ca =1 T1七-皆(1 + a)t所以=-(1 +a a2*2 ,331 ab + be + ca 兰-.31.10三角代换法借助三角变换，在证题中可使某些问题变易例 10 已知：a2 + b2 T， X2 + y2 =1，求证：ax + by 兰1 .证明 设 a = s in 0，贝U b = cos0 ；设 x = si nW，贝U y = cos所以ax +by =sin0sin 申 +cosecos=cos(9 -申)0，(2am)2-4(1 +a2)(m2-1) 0，解得，

8、故 y - ax,1 +a21.12标准化法形如f （为，2,，Xn） = sinxi sinx?sin Xn的函数，其中0 c Xj 兀，且% + X2 +Xn为常数，则当Xj的值之间越接近时,f（X1,X2,，Xn）的值越大（或不变）；当 X1 =X2=Xn 时，f（X1, X2,，Xn）取最大值，即、 n X1+X2+Xnf (X1, X2,Xn)=sin X1 sin X2sinxmsin X2n标准化定理：当A+B为常数时，有sinAsinBMsin2号证明：记A + B =C，则求导得2 A + B2 Cf(X)=sin Asin B -sin= sin Asin(C A) - s

9、in2 2 f (A) =sin(C -2A)，由 f (A) =0得C =2A，即 A = B.又由f (A) = -cos(B - A) c0知f （A）的极大值点必在A = B时取得.河南师范大学本科毕业论文由于当a=B时，(A) =0，故得不等式.同理，可推广到关于n个变元的情形.A.aB.bC.cD.不能确定例12设A,B,C为三角形的三内角，求证:sinAsinBsin-.2证明由标准化定理得，.A. B. Csin = SI n = sin = 2 2 2当A = B =C时,.A . B . C ” 1Sin sin sin a +b +c . 1证明 由海伦公式 S 拎BC

10、=J p(p-a)( p-b)(p-c)，其中 p= -(a +b + c).两边平方，移项整理得16(SBC)2a2b2a2c2b2cabc4所以c 2.2.C 22.c224. .4.42a b +2a c +2b c a +b +c .应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。例 8、a,b,c 为 AABC 的三边长，求证：2a2b2 +2a2c2 +2b2c2a4 +b4 +c4。证明：由海伦公式S也BCP(P-a)(p-b)(p-c)，其中 p = (a +b +c)。2两边平方，移项整理得16(s血Bc)2 =2a2b2 +2a2c2 +2b2c2 -a4 -

11、b4 -c4而 S也Bc A 0，所以 2a2b2 +2a2c2 +2b2c2 a4 + b4 + c4。、选择题 11.设 0VXV 1，贝U a= J2x ,b=1+x,c=中最大的一个是()1 -x河南师范大学本科毕业论文2.若不等式X2 logax1 , b1，若ax= by= 3 , a + b= 2 寸3 ,则Q + :的最大值为()d.24.不等式Jlog2X-1 +Jog+ 20的解集是A.2 , 3 B. (2, 3)C.2,4 D.(2, 4)5.设a Ab aO,那么+一:一的最小值是b(a b)A. 2B.C.D.二、填空题1.设X, y为实数，满足3X则y4的最大值是

12、2.若对任意x0，x+fcw a恒成立，则a的取值范围是3.设函数f(x)= X2 1.对任意x 2,+s24m f(x)w f(x 1)+ 4f(m)恒成立，则实数 m的取值范围是X + yXy4.设x 0,y O,A=,B= +,则A , B的大小关系是1 +x + y 1 +x 1 + y三、解答题1 + y 1 + X1.若x,y均为正数，且 x+y 2.，求证：与中至少有一个小于2.X y22.已知 an/K + 7+, + Jn(n +1)(n N*),求证：n(n+1) an nW n+1-1).2 3n证明因为1 +- +23所以1.15 构造法9-10=2+1+4+匸1“ J

13、2启丄沢沢门十1nV 23仆出+r川济一1).在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的.例15已知：X2 + y2 1， a2 + b2 2，求证：b(x2 - y2) +2axy 42 .证明依题设，构造复数 乙=X + yi， Z2 = a + bi，则z1 1，Z2 2所以召2 X Z2 =(X + yi)2 (a +bi) =a(x2 - y2) - 2bxy + b(x2 - y2) + 2axyib(x2 - y2) +2axy = lm( zj x Z2)兰|乙2xZ2b(x2 -y2)+2axy 兰V2.1.16排序法11利

14、用排序不等式来证明某些不等式.排序不等式：设a1兰a2兰兰an， b兰b2兰兰bn，则有ab +a2bn斗十+anb1 也 七2悅 + ang 兰 aQ + azb? +其中t1,t2,tn是1,2,n的一个排列.当且仅当a1七2二=an或bb =6时取等号.简记作：反序和 乱序和 ab+bc + cd+da.证明因为a,b,c,d忘R有序，所以根据排序不等式同序和最大,a? +b2 +c2 + d? ab +bc + cd +da.1.17借助几何法1?借助几何图形,运用几何或三角知识可使某些证明变易例17已知:a,b,m 亡 r +，且 acb，求证:证明（如图1.17.1）以b为斜边，a

15、为直角边作RtAABC延长AB至D,使BD = m，延长AC至E,使ED丄AD，过C作AD的平行线交DE于F， 贝MABC s 虫adE，令 CE = n，所以a _ AB _ a + m b AC b + n又CE CF，即 n Am，所以a + m a +m a =b + m b + n b图 1.17.1河南师范大学本科毕业论文2利用函数证明不等式2.1函数极值法通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的例 18 设 XER，求证：-4 兰 cos2x + 3sinx 兰 28.证明2f(X)= cos2x +3sin x =1 -2sin x + 3sin x一23丫

16、I4丿+ 218当 sin X = 3 时,4f(X)max = 2 8 ;当 sin X = 1 时,f ( X)min = 4.1 -4cos2x+3si nx282.2单调函数法13-14当x属于某区间，有f(x)XO，则f (x)单调上升；若f(x)0，则f(x)单调下降.推广之，若证f(x)g(x)，只须证 f(a)=g(a)及 厂(x) 1 +x， X H0.设 f(x) =ex -1-X,则 f(X)=eX-1.故当 x0 时，f xp-0, f 严格递增；当X 0, f (x) 0, f严格递减.又因为f在X = 0处连续,则当X H0时,从而证得f(x)f(0)=0,ex+x

17、, X H 0.2.3中值定理法利用中值定理：f(x)是在区间a,b上有定义的连续函数，且可导，则存在t,ab， 满足f(b)-f(a) = f)(b-a)来证明某些不等式，达到简便的目的.例 20 求证：sin x-sinyx-y.证明 设 f(x) =s in X，贝U si nx-s in y =(x-y)si n 生=(x-y)cosEsinX - sin y (x y)cos| 兰|x- y .2.4利用拉格朗日函数例21 证明不等式3( - +丄+1) 0.这样就有不等式丄).r由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点xyz (3r)3(x 0, y aO,z 0

18、,丄十丄十1 =x y z令X =a, y =b, z =G则r =(丄+丄+1)，代入不等式有a b cab3(1+ V3a b c111 叮1宀皿3心020).河南师范大学本科毕业论文3利用著名不等式证明(3)3.1利用均值不等式：5-：6个正实数，则a1 + a2+an ya1a an ,当且仅当ar = = an 时取等号.例22证明柯西不等式nnn(S aibi)2 (S 42)(送 bi2).yyi =1证明要证柯西不等式成立，只要证n n 2 ( n 22 aibi 0, B aO,贝U( 1)即nZ ab ABizin无 aibi上1 1AB河南师范大学本科毕业论文a12b12

19、22.2aib1.2_ 2 AB-2同理2a2b aAB2a1bi AB -2 人2+ B222 aiA22anbnAB2 an A将以上各式相加，得nzaibi) 2A2ainZ bi2yB2根据（2），（4）式即S aibi)2. AB i 二因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得证3.2利用柯西不等式17-18例 23 设 a R , i =1，ai2ail n 丿证明由柯西不等式两边除以n即得.2丿匸12i#丿n=nS a2 .iT说明：两边乘以-后开方得ain y丄 a2 .当ai为正数时为均值不等式中的算术Vn y平均不大于平方平均.3.3利用赫尔德不等式19例24设a,b为正常数

20、,n亡N，求证:证明 n Sin xn _ cos xa+_b_nndin x cos x 丿2.j + V?七(sin2x + Isin x cos X 丿ncos2 x 严F面证不等式（3）,有均值不等式，、I十V A B河南师范大学本科毕业论文2严(cosx丿2工(斗厂(Sin2xr + Isin x 丿2 2=an 卡 +bnwn卡 a b 丄尸 引an +bnsin x cos X L V 丿3.4利用詹森不等式如例25 证明不等式3a旳卡(abc) 3aabbcc,其中a,b,c均为正数.证明 设f(x)=xl nx,x：0.由f(x)的一阶和二阶导数f(X)= ln X +1,

21、f (X)= 1x可见，f(x) =xlnx在xaO时为严格凸函数.依詹森不等式有a +b + c 1f(hr(f(a)+f(b) + f(c),从而a+b+c a+b+c 1In- (a l na+bl nb + cl nc),3 3七 aabbcc.又因乐.宁，所以ate七(abc)F aabbcc.河南师范大学本科毕业论文参考文献1李长明,周焕山.初等数学研究M.北京：高等教育出版社，1995,253-263.2叶慧萍.反思性教学设计-不等式证明综合法J.数学教学研究，2005,10(3):89-91.3胡炳生，吴俊.现代数学观点下的中学数学M.北京：高等教育出版社,1998,45-50

22、.4宋庆.一个分式不等式的再推广J.中等数学,2006,45(5):29-31.蒋昌林.也谈一类分式不等式的统一证明J.数学通报,2005,15(2):75-79.匡继昌.常用不等式M.济南：山东科技出版社，2004,23-34.7张新全.两个不等式的证明J.数学通报,2006,45(4):54-55.8Priestley M B ,Chao M T.Nonparameteric function fittingJ.J R Statist.Soc.( Series B) ,1972,34:385-392.9李铁烽.构造向量证三元分式不等式J.数学通报,2004,(2):101-102.10Be

23、nedetti J K. On the Nonparametric estimation of regression functionsJ.J R Statist.Soc(SenesB).1977,39(1):248-253.11 Hardy, litlewood , bolya G.l nequalitiesM. Cambridge :Cambridge uni versity press,1997,45 .12胡如松.垂足三角形的几个有趣性质及其猜想J.福建中学数学，2004,(5):23-25.13马雪雅.加权几何平均不等式J.数学杂志,2006,26(3):319-322.14数学分析

24、.华东师范大学数学系(第三版)M.北京：高等教育出版社,1999,87.15施咸亮.与几何平均有关的两个不等式J.浙江师范大学学报,1980,1(1):21-25.河南师范大学本科毕业论文16李家熠.用均值不等式证明不等式J.数学教学通讯，2005,11(4):130-133.17霍连林.著名不等式M.北京：中国物质出版社,1994,123-124.18 Tom M. Ap ostol. Mathematical An alysis (Seco nd Editio n)M .BeiJi ng: Ch ina Machi ne P ress,1994,17-19.19Yang Bicheng.

25、On an Extension of Hardy- Hilbert s InequaJyChinese Ann. Math.(Ser. A ),2002,23(2):247-254.20Gao Mingzhe.On Heisenberg InequalityJ.J.Mth.Anal.Appl.,1999,234(2):727-734.在论文的准备和写作过程中，笔者得到了XX老师的悉心指导和热情帮助，特别是他敏锐的学术眼光和严谨的治学态度使我受益颇深.同时，我也要感谢我的其他老师和同学们,是他们给予我的帮助让我走过大学的风风雨雨,在那些最艰苦的日子里是他们激励我、鼓励我，让我奋发图强.我也将以更

26、多的努力来回报他们，我相信我会做得更好!XXX200X年5月于XXX大学明:、论文的内容及顺序(一)中文论文的内容及顺序为:1、论文封面 2、中文摘要3、英文摘要 4、论文主体部分 5、参考文献 6致谢（中文论文的致谢） 7、附录其中1不编页码，2-7用阿拉伯数字编排页码。、除封面外每页都要有页眉，页眉在每一页的最上方，页眉内容为“河南师范大学本科 毕业论文（设计）”用小五号宋体，居中排列，论文、设计二选一。f H H IIH I H . . H学号：XXXXXXXX河南师范大学I本科毕业论文（四号黑体）Sn（IV）掺杂纳米 TiO2/AC降解橙黄G的动力学与机理研究（20磅字号，华文中宋，加

27、粗，居中）学院名称:化学与环境科学学院专业名称:XXXX年级班别:XXXX 级 XXXXX姓 名:XXX指导教师:XXX（黑体，小三，居中，上面横线上内容要居中）XXXX年XX月河南师范大学本科毕业论文（设计）（小五，宋体，居中，论文、设计二选一）、八刖 言（黑体，小三，1.5倍行距，居中）Sn（IV）掺杂纳米TiO2/AC降解橙黄G的动力学与机理研究（黑体小三，1.5倍行距，居中）摘 要（黑体，小四，1.5倍行距）采用溶胶凝胶法制备了掺杂 Sn（IV）的TiO2/AC光催化剂，以生物染料橙黄G为目标降解物，研究了多相光催化降解橙黄 G的动力学规律（300字左右）（宋体，小四，1.5倍行距）（

28、3-6关键词（黑体，小四，1.5倍行距）Sn（IV）+ TiO 2/AC ;橙黄G;动力学;个）（宋体，小四，1.5倍行距）Research on the Degrdation Kinetics and Mechanism of OG over Sn（IV）Doped TiO2/AC（Times New Roman，小三号，单倍行距，加黑，首字母大写）Abstract （Times New Roman,小四号，1.5 倍行距，加黑）Sn（IV） doped TiO2/ACPhotocatalyst was prepared by Sol-gel method. The different in

29、itial concentration of OG were used to study the degrati on kin etics of Orange G. The results showed that, the kin etics of this reacti on was in accorda nee with Lan gmuir- Hin shelwood equation-（ Times New Roma n, 小 四号，1.5倍行距）Keywords （Times New Roman,小四号，1.5 倍行距，加黑） Sn（IV）+ TiO 2/AC ； OrangeG； k

30、inetics；（Times New Roman,小四号，1.5 倍行距）四,1.5倍行距）染料废水的处理是大家颇为关注的课题之一，而偶氮染料是染料中品种最多的一类,约占染料总量的50%上。染料废水色度高，有机污染物浓度大且具有无毒、反应速度快、降解效率高、无二次污染等优点，是近年来环境污染治理技术的研究热点1（引（宋体，小用参考文献需以上标形式标注出来，并在文后将此参考文献列出来）。实验部分（黑体，小三，1.5倍行距，顶格）1.1试剂与仪器（二级标题，黑体，小四，1.5倍行距，顶格）主要仪器：光催化反应仪（自制）；300W高压汞灯（上海亚明灯泡厂有限公司）；磁 力搅拌器一一（宋体，小四，1.

31、5倍行距）如文中出现表格或插图，参考下面格式。（宋体5号，单倍不应过分超前或拖后。JIQII12(E 15191.加料口，排气口9.石英冷肼2.进水口10.反应瓶3.进气口11.储水瓶4.放空口12.蠕动泵5.曝气板13.液体流量计6.出水口14.气体流量计7.冷凝水进出口15.气体缓冲瓶8.高压汞灯16.空压机河南师范大学本科毕业论文（设计）（小五，宋体，居中，论文、设计二选一）表 1 1冃 *（宋体5号，单倍行距，居中）表格标题（黑体5号，单倍行距）表格内容（宋体5号，单倍行距）注：1、表格最好采用三线表格。2、全文的表格统一编序，也可以逐章编序，不管采用哪种方式，表序必须连续。 行距）此

32、外，表格应写在离正文首次出现处的近处，1.2反应装置采用自制流化床光催化反应仪（如图图1.1流化床光催化反应仪（宋体 5号，居中）注：毕业设计（论文）的插图必须精心制作，线条要匀称，图面要整洁美观，插图应与正文呼应，不 得与正文脱节。全文插图可以统一编序，也可以逐章单独编序，不管采用哪种方式，图序必须连续，不 得重复或跳缺。由若干分图组成的插图，分图用a,b,c 标序。图中各种代号的意义，以图注形式写在图题下方，或写在图的一侧。图应在描纸或洁白纸上用墨线绘成，或用计算机绘图，电气图或机械图应符合相应的国家标准的要求。2实验结果（黑体，小三，1.5倍行距，顶格）2.1橙黄G溶液的动力学研究（二级

33、标题，黑体，小四，1.5倍行距，顶格）在实验过程中，探索得到实验最佳反应条件为pH = 2.00, Sn（IV） （2.5at.%）,催化剂10g/l,H2O2=1.5ml/l,固定最佳反应条件，配制初始浓度分别为10mg/l、20 mg/l、30 mg/l、40 mg/l、50 mg/l、60 mg/l的溶液加入到反应体系中，以考察橙黄G光催化降解的动力了,。,可以求得k、Ka （见表2.1）。表观反应速率常数k远大于表面吸附平衡常数Ka,这说明在该光催化氧化过程中，虽然参加反应的橙黄G要经过扩散、吸附、表面反应等步骤，但是吸附为该反应的速控步。（宋体，小四，1.5倍行距）表2.1不同起始浓

34、度的橙黄 G溶液光催化作用下的参数催化剂 橙黄G起始浓度Co （mg/l）反应速率常数ki（min-1）初始反应速r0（mg/l min）去除率Sn (IV)+TiO 2/AC9.80.032190.7287.720.60.036881.391310.046711.994.242.70.05862.9296.452.50.07223.5398.1650.053123.7595.6参考文献（黑体，小三，1.5倍行距，居中）1姓在前名在后，姓在前名在后，姓在前名在后et al . Photocatalytic degradation of azo dye acid red 14in water: in vestigati on of the effect