6.matlab在求解方程中的

1、在求解方程中的应用在求解方程中的应用许海洋6.1 代数方程代数方程6.2 微分方程微分方程6.3 非线性方程求解非线性方程求解p求多项式零点求多项式零点6.4 常微分方程数值解法常微分方程数值解法6.1 代数方程代数方程 solve (f,t)功能：对变量t 解方程f=0，t 缺省时默认为x 或最接近字母x 的符号变量。 例：求解一元二次方程f=a*x2+b*x+c的实根 syms a b c x f=a*x2+b*x+c; solve (f,x) ans= 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c) (1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c) (1/2)1 221xyzxyzxyz

2、g1=x+y+z-1;g2=x-y+z-2;g3=2*x-y-z-1;x,y,z=solve(g1,g2,g3)x = 2/3y = -1/2z = 5/6求解方程组6.2 微分方程微分方程 dsolve(eq, s1, s2, x) 其中eq为方程；s1,s2,为初始条件，缺省时给出含任意常数c1,c2,的通解；x为自变量，缺省时默认为t 。 例：求微分方程的通解 dsolve(Dy=1+y2) ans= tan(t+c1)y的一阶导数的一阶导数 Dy, y的二阶导数的二阶导数 D2y微分方程符号解y = dsolve(Dy=1/(1+x2)-2*y2,y(0) = 0,x)y = 2*x/

3、(2*x2+2)22211yxy 符号解： pretty(y) y(x)= x / (1 + x 2) ezplot(y,-6,6)syms P tP=dsolve(DP=0.02*P*(1-P/500),P(0)=76)P = 500/(1+106/19*exp(-1/50*t)ezplot(P,0,200)pretty(P)例 P =0.02P ( 1 P/500 ) 初始条件: P(0)=76050100150200100200300400t500/(1+106/19 exp(-1/50 t)150500106119te求一元函数零点 fzero(fun, x0) X = fzero(f

4、un, x0)寻找fun在x0附近的零点6.3 非线性方程求解非线性方程求解 已知函数 f(x)，求 x 使 f(x)=0 xyxytanxy )21( kxkk(k = 1,2,)例 x = tan x f=inline(x-tan(x)x=fzero(f,3.5)x = 4.4934求多项式零点求多项式零点: roots(p)例1 求方程 x3 4x + 5 = 0 的解P=1 0 -4 5;roots(P)ans = -2.4567 1.2283 + 0.7256i 1.2283 - 0.7256i例2 求 x3 8x2 +6x 30=0的解P=1 -8 6 -30;r=roots(P)

5、r = 7.7260 0.1370 + 1.9658i 0.1370 - 1.9658i6.4 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 求解微分方程初值问题在区间t0,tf的数值解的函数为 t,x=ode23(fun,t0,tf,x0,选项) -2/3阶RKF(Runge-Kutta-Felhberg)法 t,x=ode45(fun,t0,tf,x0,选项) -4/5阶RKF(Runge-Kutta-Felhberg)法其中函数fun的编写格式如下:function xdot=fun(t,x)编写函数文件verderpol.m：function xprime = verderpol(t,x)gl

6、obal MUxprime = x(2);MU*(1-x(1)2)*x(2)-x(1);再在命令窗口中执行：global MUMU = 7;Y0=1;0t,x = ode45(verderpol,0,40,Y0);x1=x(:,1);x2=x(:,2);plot(t,x1,t,x2)图形结果 例例2 食饵-捕食者模型 其中x(t),y(t)分别表示食饵和捕食者t时刻的数量。 求r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2时的数值解，并画出x(t),y(t)的图形以及相图(x,y)。function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02

7、;xdot=diag(r-a*x(2),-d+b*x(1)*x;0)0(, 0)0()( ,)( yyxxbxydytyaxyrxtxs_b.mts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,xplot(t,x),grid,gtext(x1(t),gtext(x2(t),plot(x(:,1),x(:,2),grid,xlabel(x1),ylabel(x2)马尔萨斯马尔萨斯(Malthus)人口模型人口模型 某时刻人口数为y0, 在以后某一时间 t 人口数y 的变化率正比于y 0)0(0yytryy y(t)=y0 e r t MATLAB符号求解方

8、法 y=dsolve(Dy=r*y,t) y =C1*exp(r*t)Thomas Malthus (1766-1834)令 r = a, y0 = exp( b ) y(t) = exp( at + b)a = ?, b = ? 人口数据拟合实验 生物学家研究发现，战争期间捕鱼量减少,食肉鱼总数会急增，数学家将鱼分成捕食者和被捕食者，分别以y2(t) , y1(t)表示它们在时刻t 的总数。假定被捕食者(食用鱼)有充分的食物。捕食者和被捕食者模型捕食者和被捕食者模型2122211102. 001. 0yyydtdyyyydtdy ( 0 t 15 ) y1(0)=20, y2(0)=20 2

9、1221102. 001. 0),(yyyyyyytf 211202. 010 . 01yyyyt0=0;tf=15;y0=20 20;t,y=ode23(lotka,t0,tf,y0);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),r) MATLAB求解:(1)定义函数;(2)调用ode23function yp = lotka(t,y)% predator-prey model.yp=diag(1 - .01*y(2), -1+.02*y(1)*y;函数文件,文件名:lotka.m 捕食者捕食者y2 被捕食者被捕食者y1 zyxydtdzzydtdyyzxdtdx )(洛伦兹模型与洛伦兹模型与“蝴蝶效应蝴蝶效应”Y-X平面 t0，80 x(0)=0,y(0)=