高数下)教案第11章

1、下页上页结束首页下页上页结束首页 11.1 无穷级数的概念及基本性质无穷级数的概念及基本性质 11.2 正项级数及其敛散性的判别法正项级数及其敛散性的判别法 11.3 任意项级数任意项级数 11.4 函数项级数函数项级数 11.5 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径 幂级数的性质幂级数的性质 11.6 泰勒级数泰勒级数下页上页结束首页 11.7 幂级数的应用幂级数的应用 11.8 复数项级数复数项级数 欧拉公式欧拉公式 11.9 三角级数三角级数 欧拉欧拉-傅里叶公式傅里叶公式 11.10 傅里叶级数傅里叶级数 11.11 定义在任意区间上的函数的傅里叶级数定义在任意区间上的函数的傅里叶级数 1

2、1.12 傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式下页上页结束首页11.1 无穷级数的概念及基本性质无穷级数的概念及基本性质 设有半径为设有半径为R的圆，作圆内接正六边形，其面积的圆，作圆内接正六边形，其面积记为记为a1，可作为圆面积，可作为圆面积S的一个近似值。的一个近似值。 为了提高精确度，以正六边形的每条边为底边作为了提高精确度，以正六边形的每条边为底边作顶点在圆周上的顶点在圆周上的6个等腰三角形，它们的面积记为个等腰三角形，它们的面积记为a2，则则a1+a2是圆内接正十二边形的面积，它是圆面积是圆内接正十二边形的面积，它是圆面积S的的比比a1较精确的近似值。较精确的近似值。 下页上页结

3、束首页它是圆内接正它是圆内接正32n边形的面积，当边形的面积，当n愈大，圆内接正愈大，圆内接正32n边形的面积愈接近圆面积边形的面积愈接近圆面积S，因此当，因此当n无限增大无限增大时圆内接正时圆内接正32n边形面积的极限值就是圆面积边形面积的极限值就是圆面积S，即，即 121lim()limnninniSaaaa121nniiaaaa 再以正十二边形的每条边为底边作顶点在圆周上再以正十二边形的每条边为底边作顶点在圆周上的的12个等腰三角形，他们的面积记为个等腰三角形，他们的面积记为a3，则，则a1+a2+ a3是圆内接正二十四边形的面积。它是圆面积是圆内接正二十四边形的面积。它是圆面积S的比的

4、比a1+a2较精确的近似值。较精确的近似值。按照上述步骤继续按照上述步骤继续n次，就得到和式次，就得到和式下页上页结束首页 或或 除了计算圆面积时需要讨论形如除了计算圆面积时需要讨论形如 的的“和和”之外，还可以举出大量的例子说明我们经之外，还可以举出大量的例子说明我们经常要研究形如式常要研究形如式(1)的的“和和”。初等数学中的循环小。初等数学中的循环小数数12nSaaa12 naaa0.340.340.00340.000034与无限不循环小数与无限不循环小数21 0.40.01 0.0004 都是简单的例子。又譬如在泰勒公式中已经知道都是简单的例子。又譬如在泰勒公式中已经知道 1111e1

5、e (0 1)1!2!(1)!nn 下页上页结束首页1111elim 1e1!2!(1)!nnn111lim 11!2!nn 由于由于 ，因此，因此elim0(1)!nn11111!2!n 可见计算可见计算e时，需要讨论形如式时，需要讨论形如式(1)的的“和和”，e就是就是 当当n时的极限。时的极限。11111!2!n下页上页结束首页11.1.1 无穷级数的收敛与发散无穷级数的收敛与发散 设有数列设有数列 u1，u2，un， 则把它们依次相加得则把它们依次相加得 u1+u2+un+ 这式子成为这式子成为无穷级数无穷级数(简称为级数简称为级数)，简记为，简记为 即即1nnu121nnnuuuu下

6、页上页结束首页 以上设式中的每一项称为级数的以上设式中的每一项称为级数的项项；其中；其中un称为级称为级数的数的通项通项或或一般项一般项设设 S1=u1，S2=u1+u2， 121, nnkkSuuuu 其中前其中前n项的和项的和Sn称为级数的称为级数的第第n部分和部分和，或简称为，或简称为级数的级数的部分和部分和。如果部分和数列。如果部分和数列Sn的极限的极限 存存在且等于在且等于S，则称级数是，则称级数是收敛收敛的，且收敛于的，且收敛于S，并称，并称S为级数的为级数的和和，记作，记作limnnS121nnnuuuuS 如果极限如果极限 不存在，则称级数是不存在，则称级数是发散发散的。的。l

7、imnnS下页上页结束首页 例例1 讨论级数讨论级数的收敛性。的收敛性。 解：此级数的部分和为解：此级数的部分和为11111(1)1 22 3(1)nn nn n11111(1)1 22 3(1)nnkSk kn nlim1nnS11(1)nn n111(1)nn n从而从而 ，故，故 收敛，且收敛，且111111(1)()()122311nnn 下页上页结束首页 例例2 设设a0，讨论，讨论等比级数等比级数(或称或称几何级数几何级数)的敛散性。的敛散性。 解：级数的部分和为解：级数的部分和为1211nnnaqaaqaqaq(1)limlim11nnnnaqaSqq21(1), 1(1)1,

8、1nnnaqqSaqqqqna q当当|q|1时，由时，由 知知 不存在；不存在；limnnq limnnS当当q=1时，时， ；limlimnnnSna 综上所述，当综上所述，当|q|1时，级数时，级数 收敛于和收敛于和 ；当当|q|1时，级数时，级数 发散。发散。11nnaq1aq11nnaq故故 不存在。不存在。limnnS下页上页结束首页 例例3 讨论级数讨论级数的敛散性。的敛散性。 解：解：两式相减得两式相减得故当故当q1时，时，1211123nnnnqqqnq 21211232(1)nnnnnSqqnqqSqqnqnq 21(1)1nnnq Sqqqnq 21111nnnqqqnq

9、Sqq121 (1)(1)nnnqnqq下页上页结束首页还可以用另一种方法求还可以用另一种方法求Sn(若把若把q视为变量视为变量)：当当q1时，时，21123nnSqqnq 1d 1d1nnqSqq2d(1)dnqqnqq12(1) (1)(1)( 1)(1)nnqnqqq121(1)(1)nnnqnqq下页上页结束首页当当|q|1时，时，1(1) (1) 1nnnnqnqq n q 当当q=1时，时， ，故，故 ；(1)122nn nSn limnnS 综上所述，当综上所述，当|q|0时，时，xln(1+x)，故，故11ln(1)nnuvnn 由定理由定理2知知 发散发散11nn下页上页结束

10、首页例例2 讨论讨论p级数级数 的敛散性的敛散性11(0)pnpn解：解：(1) 当当p1，由于，由于 ，而，而 发散，发散，11pnn11nn故故 发散发散11pnn (2) 当当p1，依次地把级数的每，依次地把级数的每1项、项、2项、项、4项、项、8项、项、依次加括号，得级数依次加括号，得级数它的各项不大于级数它的各项不大于级数1111111 ()()() 2347815pppppp下页上页结束首页1111111()()()224488pppppp231111111()() 222ppp 的对应项。由于级数式的对应项。由于级数式(2)是公比为是公比为 的几何的几何级数，故由正项级数比较判别

11、法知级数式级数，故由正项级数比较判别法知级数式(1)收敛，收敛，因而级数因而级数 的部分和有上界，故级数的部分和有上界，故级数 收敛收敛1112pq11pnn11pnn综上所述，综上所述，p级数级数 当当p1时收敛，时收敛，p1时发散，时发散，例如级数例如级数11pnn22221111112nnn下页上页结束首页1111112nnn是收敛的，级数是收敛的，级数是发散的是发散的例例3 判别级数判别级数的敛散性的敛散性1111112113521nnn解：解： 由于由于 发散，故发散，故 也发散。又因也发散。又因11nn112nn11212nn故故 也发散也发散1121nn下页上页结束首页例例4 设

12、设a0，讨论级数，讨论级数 的敛散性的敛散性解：解：111nna当当a=1时，因时，因 ，故已给级数发散，故已给级数发散11lim012nna当当0a1时，因时，因 ，而等比级数，而等比级数 收敛，收敛，111nnaa11nna故由比较判别法知已给级数收敛故由比较判别法知已给级数收敛综上所述，当综上所述，当01时已给时已给级数收敛级数收敛下页上页结束首页例例5 判别级数判别级数的敛散性的敛散性解：容易证明解：容易证明1(21)!11 31 3(21)(2 )!22 42 42nnnnn(21)!1 3(21)1(2 )!2 422nnnnn由于当由于当 时，时，p级数级数 发散，故级数发散，故

13、级数 发散发散12p 11pnn112nn(21)!(2 )!nn因而级数因而级数 也发散也发散下页上页结束首页定理定理3 若若 和和 均为正项级数均为正项级数(vn0)，且，且l为常数或为常数或+，则，则 1nnu1nnvlimnnnulv 1. 当当0l0，讨论级数，讨论级数 的敛散性的敛散性解：解：1sinpnn方法一方法一 由于由于 ，故，故 与与sinlim1ppnpnn 1sinpnn11pnn 敛散性相同，即已给级数当敛散性相同，即已给级数当p1时收敛；而当时收敛；而当p1时发时发散散方法二方法二 1. 设设p1，由于当，由于当 时，时，xsin x0，02x故故sin( )2p

14、pppnn而当而当p1时级数时级数 收敛，故已给级数收敛收敛，故已给级数收敛11pnn下页上页结束首页设设0p1，由于当，由于当x0时，时，sin xx，故当，故当n充分大时，充分大时，有有 ，故，故 而当而当00，判别级数，判别级数 的敛散性的敛散性11(1)!nnan11, (1)!nnnnaauunn 定理定理4 设设 为正项级数，其中为正项级数，其中un0，且，且 ，则，则1nnu1limnnnuu 1. 当当0l1时，级数时，级数 收敛；收敛； 1nnu 3. 当当l=1时，不能确定级数时，不能确定级数 的敛散性。的敛散性。1nnu 2. 当当10，b0，讨论级数，讨论级数 的敛散性

15、的敛散性11nnnba故若故若0a1，则当，则当0b1时级数发时级数发散；当散；当b=1时级数为时级数为 ，由例，由例4知级数发散。知级数发散。111nna下页上页结束首页例例11 设设a0，讨论级数，讨论级数 的敛散性的敛散性1!nnna nn111!(1)!, (1)nnnnnna nanuunn11(1)limlimlim1(1)e(1)nnnnnnnnua nnaaunn解：解： 级数通项级数通项故当故当0ae时级数发散；当时级数发散；当a=e时时比值判别法失效，但此时由于比值判别法失效，但此时由于 随随n的增大而趋的增大而趋于于e，故，故1(1)nn1(1)enn下页上页结束首页由此

16、可知由此可知 ，故当，故当a=e时已给级数发时已给级数发散散1, lim0nnnnuuu综上所述，级数综上所述，级数 当当0ae时收敛；当时收敛；当ae时发散时发散1!nnna nn1e11(1)nnnuun因而因而下页上页结束首页11.2.2 根值判别法根值判别法对于正项级数对于正项级数 ，若，若 ，或者，或者 不存在不存在(非非)时，则比值判别法失效，这时可以考虑用以下时，则比值判别法失效，这时可以考虑用以下的的根值判别法根值判别法(或称或称柯西判别法柯西判别法)1nnu1lim1nnnuu1limnnnuu下页上页结束首页定理定理5 设设 为正项级数，且为正项级数，且 ，则，则1nnul

17、imnnnul 1. 当当0l1时，级数时，级数 收敛；收敛；1nnu 2. 当当10，讨论，讨论 的敛散性的敛散性11()nnnan解：不难看出，解：不难看出，对此级数宜用根值法而不宜用比值法，通项对此级数宜用根值法而不宜用比值法，通项故当故当a1时，此级数收敛；当时，此级数收敛；当0a0)11pnn111111(1), 111( )dlnln , 1bppbbxbpppf xxxbp解：解： 取取 ，则，则f(x)满足定理满足定理6中的一切条中的一切条件。由于件。由于1( )(1)pf xxx故当故当p1时，广义积分时，广义积分 ，收敛；当，收敛；当01时收敛，当时收敛，当00时，时，1l

18、imlim0nannun41nnun依莱布尼兹判别法知级数依莱布尼兹判别法知级数 收敛收敛111( 1)(0)nanan例例2 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性解：解：11( 1)41nnnn易见易见un+1un，但，但 ，因此这个交错级数是，因此这个交错级数是发散的发散的1lim04nnu下页上页结束首页11.3.2 绝对收敛和条件收敛绝对收敛和条件收敛121,nnnuuuu若绝对值级数若绝对值级数 发散，而级数发散，而级数 收敛，则称收敛，则称 为为条件收敛条件收敛。1nnu1nnu1nnu下面要讨论任意项级数。先引进两个重要的概念下面要讨论任意项级数。先引进两个重要的概念级数绝对收敛和

19、条件收敛级数绝对收敛和条件收敛设有任意项级数设有任意项级数把各项取绝对值所成的级数把各项取绝对值所成的级数 称为它的称为它的绝对值级数绝对值级数。1nnu若绝对值级数若绝对值级数 收敛，则称级数收敛，则称级数 为为绝对收敛绝对收敛；1nnu1nnu下页上页结束首页定理定理2 如果如果 绝对收敛，则绝对收敛，则 必收敛必收敛1nnu1nnu例例3 下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？条件收敛？(1) ；21cosnnan(2) ；(1)1021( 1)2n nnnn(3)11( 1)sin2nnn解：解：(1) 因为因为 ，而级数，而级数

20、 收敛，故对于任意收敛，故对于任意实数实数a，级数，级数 收敛，因此级数收敛，因此级数 绝对绝对收敛收敛22cos1nann211nn21cosnnan21cosnnan下页上页结束首页(2) 因为因为 (3) 因为因为101011101(1)(1)21limlimlim1222nnnnnnnunnun1( 1)sinsin22limlim112nnnnnnn故级数故级数 收敛，因此级数收敛，因此级数 绝对收敛绝对收敛1012nnn(1)1021( 1)2n nnnn而级数而级数 发散，故发散，故 也发散，因此已给级数也发散，因此已给级数不是绝对收敛不是绝对收敛11nn1sin2nn下页上页结

21、束首页但是由于但是由于故由交错级数的莱布尼兹判别法知，级数故由交错级数的莱布尼兹判别法知，级数 条件收敛条件收敛1sinsin;limlimsin022(1)2nnnnnuuunnn11( 1)sin2nnn定理定理3 若级数若级数 绝对收敛，则任意改变其各项的次绝对收敛，则任意改变其各项的次序所得的新级数仍旧绝对收敛，且级数的和不变序所得的新级数仍旧绝对收敛，且级数的和不变1nnu下页上页结束首页11.4 函数项级数函数项级数设设un(x)(n=1，2，3，)是定义在实数集合是定义在实数集合(一般为区一般为区间间)X上的函数序列，则称式子上的函数序列，则称式子u1(x)+u2(x)+un(x

22、)+为为函数项级数函数项级数，简记为，简记为对于数集对于数集X上任一点上任一点x0，对应着一个数项级数，对应着一个数项级数1( )nnux0011( )()nnx xnnuxux下页上页结束首页如果数项级数如果数项级数 收敛，称收敛，称x0为函数项级数为函数项级数 的一个的一个收敛点收敛点，否则称，否则称x0为函数项级数为函数项级数 的的发散发散点点。 的全体收敛点的集合称为它的的全体收敛点的集合称为它的收敛域收敛域01()nnux1( )nnux1( )nnux1( )nnux在收敛域上，级数在收敛域上，级数 的和依赖于点的和依赖于点x，因此函数，因此函数项级数的和是项级数的和是x的函数，并

23、称它为级数的函数，并称它为级数 的的和函和函数数，记作，记作S(x)，即当，即当x为收敛域上的点时，为收敛域上的点时，如果用如果用Sn(x)来记级数来记级数 的的部分和函数部分和函数(简称部分简称部分和和)：1( )nnux1( )nnux1( )( )nnS xux1( )nnux1( )( )nnkkSxux下页上页结束首页则对于级数的收敛点则对于级数的收敛点x，有，有用极限的用极限的N语言来描述就是：对于任意给定的正数语言来描述就是：对于任意给定的正数，存在正整数，存在正整数N，当，当nN时，使时，使|Sn(x)S(x)|，这，这里的里的N既与既与有关，又与收敛域上的点有关，又与收敛域上

24、的点x有关。用符号有关。用符号表示为表示为lim( )( )nnSxS x0,( , ),:( )( )nNNxnNSxS x 121( )( )nnnnk nr xuxuu 当函数项级数当函数项级数 收敛时，把收敛时，把1( )nnux下页上页结束首页称为函数项级数称为函数项级数 的的余和余和，显然在收敛域，显然在收敛域I的每的每一点一点x，S(x)=Sn(x)+rn(x)，由于，由于 ，故，故1( )nnuxlim( )( )nnSxS xlim( )lim( ( )( )0nnnnr xS xSx111, 1( )1, 1nknkxxSxxxn x 即余和随项数无限增加而趋于零即余和随项

25、数无限增加而趋于零例例1 考察函数项级数考察函数项级数 的收敛域、和函数及余和的收敛域、和函数及余和11nnx解：此级数部分和为解：此级数部分和为下页上页结束首页显然当显然当|x|1时，时， ；当；当|x|1时，时， 不存在。故不存在。故 的收敛域为的收敛域为|x|1，和函数为，和函数为 ，1lim( )1nnSxxlim( )nnSx11nnx11x111(| 1)1nnxxx11( )1nknk nxr xxx 常记为常记为当当|x|0时，时， 收敛，故收敛，故 绝对绝对收敛；收敛；111xx1( )nnux1( )nnux下页上页结束首页当当 ，即，即x0时，时， 发散；发散； 111x

26、x1( )nnux1231(1 sin )12(1 sin )3(1 sin )4(1 sin )nnnxxxx 当当 ，即，即x=0时，时， ，此交错级数，此交错级数111xx( 1)(0)nnun1( 1)nnn这样得到级数这样得到级数 的收敛域为的收敛域为0，+)111()1nnxn x(2) 由由11.1节例节例3得知，级数得知，级数下页上页结束首页当当|1+sinx|1收敛，收敛，|1+sinx|1时发散。而不等式时发散。而不等式|1+sinx|1的解为的解为(2k1)x2k(k=0，1，2，)它就是所给级数的收敛域。它就是所给级数的收敛域。由以上的例题可以看到，函数项级数的收敛域多

27、种多由以上的例题可以看到，函数项级数的收敛域多种多样，甚至可能是很复杂的数集。由于函数项级数仅当样，甚至可能是很复杂的数集。由于函数项级数仅当收敛时才有意义，因此一旦讨论清楚级数的收敛收敛时才有意义，因此一旦讨论清楚级数的收敛域时，就应该把它附在级数的后面，从而把级数及其域时，就应该把它附在级数的后面，从而把级数及其收敛域视为一个整体。收敛域视为一个整体。下页上页结束首页11.5 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径 幂级数的性质幂级数的性质现在我们讨论形式最简单同时又是非常重要的一类函现在我们讨论形式最简单同时又是非常重要的一类函数项级数数项级数幂级数幂级数，它的一般形式是，它的一般形式是其中其

28、中x0是一个定点，而是一个定点，而a0，a1，是常数，称为幂级是常数，称为幂级数的数的系数系数11.5.1 幂级数及其收敛半径幂级数及其收敛半径20010201()()()nnnaxxaa xxaxx下页上页结束首页幂级数幂级数 是最简单的函数项级数，因为：是最简单的函数项级数，因为：01()nnnaxx1. 它是多项式它是多项式当当n时的极限形式，而多项式是只包含加法和乘时的极限形式，而多项式是只包含加法和乘法两种最基本运算的简单函数法两种最基本运算的简单函数2. 和其他的函数项级数不同，幂级数收敛域是结构特和其他的函数项级数不同，幂级数收敛域是结构特别简单的区间别简单的区间00( )()k

29、nkkP xaxx2010200()()()nnaa xxaxxaxx下页上页结束首页由于通过变量变换由于通过变量变换y=xx0可以把幂级数可以把幂级数 化为化为因此，不失一般性，我们只需讨论因此，不失一般性，我们只需讨论x0=0时的幂级数。时的幂级数。对于这种幂级数的收敛域，有如下的对于这种幂级数的收敛域，有如下的阿贝尔定理阿贝尔定理定理定理1 设有幂级数设有幂级数 1. 当当x=x0(x00)时幂级数收敛，则当时幂级数收敛，则当|x|x0|时时 也发散；也发散；0nnna x定理定理2 设有幂级数设有幂级数 ，且，且 (可以是可以是+)，则则 0nnna x1limnnnaa 1. 当当0

30、+时，则时，则 ；1R 2. 当当=0时，则时，则R=+； 3. 当当=+时，则时，则R=0。下页上页结束首页例例1 求幂级数求幂级数 的收敛半径及收敛区间的收敛半径及收敛区间解解:11( 1)( )(21) 2nnnxn1(21)1limlim2(23)2nnnnanan当当x=2时，级数为时，级数为 ，这是收敛的交错，这是收敛的交错级数；级数；11( 1)(21)nnn当当x= 2时，级数为时，级数为 ，这是发散级数，故所论，这是发散级数，故所论幂级数的收敛区间为幂级数的收敛区间为(2，211(21)nn如果幂级数只含有如果幂级数只含有x的奇次幂或的奇次幂或x偶次幂，它的形式是偶次幂，它的

31、形式是 或或 ，这时虽有，这时虽有 ，但它的收，但它的收210nnna x20nnna x1limnnnaa下页上页结束首页敛半径敛半径R不一定等于不一定等于 ，因为这时，因为这时12211limlimnnnnnnuaxxua根据达朗贝尔判别法，当根据达朗贝尔判别法，当x21，即，即 时级数发散，在这种时级数发散，在这种情况下，级数情况下，级数 或或 的收敛半径为的收敛半径为为了避免不恰当地应用定理为了避免不恰当地应用定理2而产生的错误，通常宁可而产生的错误，通常宁可直接用达朗贝尔判别法而不用定理直接用达朗贝尔判别法而不用定理2来确定幂级数的收来确定幂级数的收敛半径及收敛区间敛半径及收敛区间1

32、|x1|x210nnna x20nnna x1R下页上页结束首页21212111(21)!limlimlim012 (21)(21)!nnnnnnnxunxunnxn例例2 求幂级数求幂级数 的收敛半径和收敛区间的收敛半径和收敛区间解解:211(21)!nnxn于是于是R=+，收敛区间为，收敛区间为(，+)，即对于一切实数，即对于一切实数x，幂级数，幂级数 收敛收敛211(21)!nnxn下页上页结束首页例例3 求幂级数求幂级数的收敛区间的收敛区间解：解：21246231(1)( 1)2131 (1)1 (1)1 (1)1335373nnnnxnxxx 2121 (1)limlim233nnn

33、nunxun当当 ，即，即 时所论幂级数绝对时所论幂级数绝对收敛；收敛；2(1)13x1313x 下页上页结束首页当当 ，即，即 或或 时级数发散；时级数发散；2(1)13x13x 13x 111111( 1)35721nn 当当 ，即，即 时，级数为时，级数为2(1)13x13x 这是收敛级数这是收敛级数由此知所论幂级数的收敛区间为由此知所论幂级数的收敛区间为13,13下页上页结束首页例例4 求幂级数求幂级数 的收敛区间的收敛区间211()nnnnxn1limlim(1)ennnnnan21(1)11| ()eennnnnnnun解：解：故收敛半径故收敛半径1eR 当当 时，时，1|ex 下

34、页上页结束首页由于由于 可知可知11e(1)nn11|131nnun故级数的一般项故级数的一般项un不趋于不趋于0，从而此时幂级数发散，从而此时幂级数发散于是幂级数于是幂级数 的收敛区间为的收敛区间为211()nnnnxn1 1(, )e e下页上页结束首页例例5 求幂级数求幂级数 的收敛区间的收敛区间解：因解：因12345( 1)12221( 1) 2112 232 45nnnnxxxxxxn 1( 1)011,( 1) 2nnnaan 2121222821,lim41212 2nnnnnaannanan22212112112 2,lim28421nnnnnaannanan下页上页结束首页由

35、于由于故由定理故由定理3知收敛半径知收敛半径当当x= 1时，级数为时，级数为把它的通项与级数把它的通项与级数1( 1)1limlim21nnnnnnan11R1( 1)0212111212 232 4nnnbn11111122462nnn故故 不存在，因而不能用定理不存在，因而不能用定理2来求收敛区间来求收敛区间1limnnnaa下页上页结束首页 也发散也发散当当x=1时，级数为时，级数为假定这级数收敛，把它加括号后的级数假定这级数收敛，把它加括号后的级数应该收敛，其通项应该收敛，其通项0nnb02121221112 232 45212 2nncnn12121211 ()()()12 232

36、4212 2nndnn 211111()212 221212 221ndnnnnnn的通项作比较，由于的通项作比较，由于 ，而级数，而级数 发散，故发散，故12nbn112nn下页上页结束首页由于级数由于级数111112135nn 发散，故发散，故 发散，根据级数基本性质知发散，根据级数基本性质知 发散发散归纳以上结果，已给幂级数的收敛区间为归纳以上结果，已给幂级数的收敛区间为(1，1)1nnd1nnc下页上页结束首页设幂级数设幂级数11.5.2 幂级数的运算幂级数的运算20120nnnnna xaa xa xa x和和的收敛半径分别为的收敛半径分别为R1和和R2，并令，并令R=minR1，R

37、2，则，则在在(R，R)内有加法运算内有加法运算20120nnnnnb xbb xb xb x下页上页结束首页0020122012()()()()nnnnnnnnnna xb xaa xa xa xbb xb xb x20011220()()()()()nnnnnnnabab xab xab xab x下页上页结束首页及乘法运算及乘法运算0020122012() ()()()nnnnnnnnnna xb xaa xa xa xbb xb xb x20 00 11 0021 12 001100()()()nnnnnnna ba bab xa baba b xa baba b xc x下页上页结束

38、首页其中其中加法运算性质由数项级数的响应性质即可得到，而乘加法运算性质由数项级数的响应性质即可得到，而乘法性质可由幂级数在收敛区间内绝对收敛及数项级数法性质可由幂级数在收敛区间内绝对收敛及数项级数的绝对收敛的相应性质得到的绝对收敛的相应性质得到例如，由于幂级数例如，由于幂级数当当|x|1时绝对收敛，故由幂级数的乘法得时绝对收敛，故由幂级数的乘法得1111nnknkkcab 121111nnxxxx 1121112() ()1231(| 1)(1)nnnnnxxxxnxxx 下页上页结束首页定理定理4 设幂级数设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为R，则其和函数，则其和函数S(x)在区间在区间(R，

39、R)内连续内连续0nnna x定理定理5 设幂级数设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为R，则其和函数，则其和函数S(x)在区间在区间(R，R)内可积，且可逐项求积分，即内可积，且可逐项求积分，即0nnna x(, )xR R 下页上页结束首页1000000( )dt()dtdt1xxxnnnnnnnnnaS ta ta txn积分后的幂级数积分后的幂级数 与原幂级数与原幂级数 的收敛的收敛半径相同半径相同0nnna x101nnnaxn001( )()()nnnnnnnnnS xa xa xna x定理定理6 设幂级数设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为R，则其和函数，则其和函数S(x)在区间在区

40、间(R，R)可微，且可逐项求导，即可微，且可逐项求导，即0nnna x下页上页结束首页而且求导所得级数而且求导所得级数 与原幂级数与原幂级数 的收敛的收敛半半径相同径相同0nnna x1nnnna x由此可知幂级数在收敛域内有任意阶导数由此可知幂级数在收敛域内有任意阶导数例例6 求幂级数求幂级数 的和函数的和函数30(1)nnnx解：由于解：由于故故32(1)(1)(2 ) 1(2)(1)(1)nnnnnnnn3000(1)(2)(1)(1)nnnnnnnxnnnxnx下页上页结束首页又又故故101(2)(1)(2)(1)nnnnnnnxxnnnx10(3)(2)(1)nnxnnnx3303!

41、nnnxCx44163!,( 1,1)(1)(1)xxxxx 201(1),( 1,1)(1)nnnxxx 342061(1),( 1,1)(1)(1)nnxnxxxx 下页上页结束首页例例7 求级数求级数 的和的和1(1),(0)(1)nnn nrr211( 11)1nnxxxx 2113112(1)()()1(1)nnnnxn nxxxx解：从级数形式看出我们要先求幂级数解：从级数形式看出我们要先求幂级数 和和函数，再将函数，再将 带入，由带入，由1(1)nnn nx1(1)xr可得可得下页上页结束首页故故312(1)(1)nnxn nxx 3231(1)22(1)()(1)11nnn n

42、rrrrrr 于是令于是令 ，就有，就有1(1)xr下页上页结束首页定理定理1 若函数若函数f(x)在包含在包含x0的邻域的邻域U(x0，)内各阶导内各阶导数数f(x)、f(x)、f(n)(x)、都存在，则可把都存在，则可把f(x)展展开为开为xx0的幂级数的幂级数的充分必要条件是的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项的泰勒公式中的余项Rn(x)当当n时的极限为零，即时的极限为零，即11.6 泰勒级数泰勒级数11.6.1 泰勒级数泰勒级数( )000()( )() !nnnfxf xxxn下页上页结束首页0lim( )0 (, )nnR xxU x式式(2)右边的级数称为右边的级数称为f(

43、x)在点在点x=x0的的泰勒级数泰勒级数。它的。它的系数系数 称为称为f(x)的的泰勒系数泰勒系数。当。当x=0时，泰勒级时，泰勒级数也称为数也称为麦克劳林级数麦克劳林级数( )0()!nfxn定理定理1表明：当表明：当f(x)的泰勒公式中余项的泰勒公式中余项Rn(x)趋于零时，趋于零时，f(x)的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于f(x)，这时我们称，这时我们称f(x)在在x=x0处可处可以展开为泰勒级数，等式以展开为泰勒级数，等式(2)称为称为f(x)在在x=x0的的泰勒展泰勒展开式开式。特别地，当。特别地，当x=0时，时，f(x)的泰勒展开式的泰勒展开式下页上页结束首页也称为也称为f(x)的

44、的麦克劳林展开式麦克劳林展开式应当注意的是：把函数展开为泰勒级数时，必须指出应当注意的是：把函数展开为泰勒级数时，必须指出使展开式成立的范围使展开式成立的范围例例1 将将f(x)=ex展开为展开为x的幂级数，并指出收敛区间的幂级数，并指出收敛区间解：解：f(x)=ex的泰勒公式为的泰勒公式为其中其中( )0(0)( ) !nnnff xxn230e1( )( )1!2!3!nknxnnkxxxxxRxRxnk 下页上页结束首页于是得级数于是得级数因因故级数的收敛半径故级数的收敛半径R=+，收敛区间为，收敛区间为(，+)对于任何有限数对于任何有限数x，总可以取正数，总可以取正数M，使，使|x|M

45、1e( )(01)(1)!xnnR xxn2311!2!3!nxxxxn11(1)!limlim01!nnnnanan11e( )e(1)!(1)!xnnMnMR xxnn下页上页结束首页由比值判别法知级数由比值判别法知级数 收敛，故其通项趋于收敛，故其通项趋于零，即零，即 ，由此的，由此的 ，故得，故得ex的幂级数展开的幂级数展开式为式为11(1)!nnMn1lim0(1)!nnMn230e1,() 1!2!3!nnnxkxxxxxxnn 例例2 将将 展开为麦克劳林级数展开为麦克劳林级数1( )1f xx解：因解：因故故f(x)的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为( )( )1( 1)!( )

46、,(0)( 1)!(1)nnnnnnfxfnx 下页上页结束首页( )01(0)( )( )1!knknkff xxRxxk0( 1)( )nkknkxRx21( 1)( ) nnnxxxR x 其中其中由于求出由于求出Rn(x)中中的具体表达式并非易事，因此研究的具体表达式并非易事，因此研究余项余项Rn(x)是否趋于零非常困难，通过直接除法，得是否趋于零非常困难，通过直接除法，得(1)1111()( )( 1)(01)(1)!(1)nnnnnnfxxRxxnx 下页上页结束首页12111( 1)( 1) 11nnnnxxxxxx 比较两式得比较两式得的麦克劳林展开式为的麦克劳林展开式为11(

47、 )( 1)(1)nnnxR xx 211( 1)1nnxxxx 0( 1) (| 1)nnxxlim( )0nnRx显然只有当显然只有当|x|1时，时， ，于是，于是1( )1f xx下页上页结束首页定理定理2 如果如果f(x)可以展开为可以展开为xx0的幂级数，那么这样的的幂级数，那么这样的幂级数是唯一的，并且它的系数就是泰勒系数幂级数是唯一的，并且它的系数就是泰勒系数唯一性定理为我们提供很大的方便，只要我们建立函唯一性定理为我们提供很大的方便，只要我们建立函数一些基本的展开式之后，就可以通过变量代换或其数一些基本的展开式之后，就可以通过变量代换或其他方法求出比较复杂的函数的展开式。这种展

48、开函数他方法求出比较复杂的函数的展开式。这种展开函数的方法也称为的方法也称为间接展开法间接展开法( )0() (0,1,2,)!nnfxann下页上页结束首页例例3 将函数将函数 展开为展开为x3的幂级数的幂级数1( )2f xx1111( )3253515f xxxx2311(| 1)1uuuuu 2331()1355( )1355( 1) ()5nnxxxf xx故令故令 ，则由唯一性定理得，则由唯一性定理得35xu解：解：由于由于下页上页结束首页即即解：由解：由得得223113(3)2555xxx10(3)( 1) ( 28)5nnnnxx 223e11!2!3!nxxxxxn 0 ()

49、!nnxxn 22462e1( 1)1!2!3!nxnxxxxn 20( 1) ()!nnnxxn 例例4 将将 在在x=0处展开为幂级数处展开为幂级数2ex下页上页结束首页例例5 将将ex(1x)展开为展开为x的幂级数的到含有的幂级数的到含有x4的项的项解：用解：用x(1x)代换代换ex的麦克劳林展开式中的的麦克劳林展开式中的x得得即即223344(1)(1)(1)(1)(1)e11!2!3!4!xxxxxxxxxx 232241 ()(1 2)(1 3)26(1) (|(1)|)24xxxxxxxxxx (1)2343725e1 (|)2624xxxxxxx 下页上页结束首页11.6.2

50、一些初等函数的泰勒展开式一些初等函数的泰勒展开式前面我们已经建立了前面我们已经建立了 、ln(1+x)、ex的泰勒展开式的泰勒展开式，下面我们还要建立，下面我们还要建立sinx、cosx及及(1+x)m(其中其中m为任意为任意实数实数)等函数的泰勒展开式，然后通过例题说明如何利等函数的泰勒展开式，然后通过例题说明如何利用这些基本的展开式来推导某些函数的展开式用这些基本的展开式来推导某些函数的展开式11x352112sin( 1)( )1!3!5!(21)!nnnxxxxxRxn 例例6 将将sinx展开为展开为x的幂级数的幂级数解：解：sinx的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为下页上页结束首页其

51、中其中于是于是212(21)( )sin()(21)!2nnxnRxxn21( 1)cos (01)(21)!nnxxn 212( )(21)!nnxRxn35210sin( 1) (,)1!3!5!(21)!nnnxxxxxn 由于级数由于级数 在在(，+)上收敛，故其通项趋上收敛，故其通项趋于零。从而于零。从而 故由定理故由定理1得得210(21)!nnxn2lim( )0nnRx下页上页结束首页可用上述方法推出的展开式为可用上述方法推出的展开式为也可以利用幂级数的逐项求导性质从也可以利用幂级数的逐项求导性质从sinx的展开式推的展开式推出这个展开式出这个展开式例例7 将将sinx在在x=

52、x0展开为幂级数展开为幂级数解：因解：因2420cos1( 1) (,)2!4!(2 )!nnnxxxxn 000000sinsin()sincos()cossin()xxxxxxxxxx下页上页结束首页因因故有故有2400020()()cos ()12!4!()( 1) (,)(2 )!nnxxxxx xxxxn 350000210()()sin()()3!5!()( 1) (,)(21)!nnxxxxxxxxxxn 下页上页结束首页2400020()()12!4!sinsin()( 1)(2 )!nnxxxxxxxxn350000210()()()3!5!cos()( 1)(21)!nnx

53、xxxxxxxxn下页上页结束首页2300000002210000()()sincossincos1!2!3!()()( 1) sin( 1) cos(2 )!(21)!(,)nnnnxxxxxxxxxxxxxxxxnn 例例8 将将(1+x)m展开为展开为x的幂级数，其中的幂级数，其中m为任意实数为任意实数解解：(1+x)m的泰勒公式为的泰勒公式为2(1)(1)11!2!(1)(1)( )!mnnmm mxxxm mmnxRxn 下页上页结束首页其中其中Rn(x)为余项，可以证明当为余项，可以证明当|x|1时，时， ，lim( )0nnRx2(1)(1)12!(1)(1)( 11)!mnm

54、mxmxxm mmnxxn 故有故有要证明当要证明当|x|106，故可取，故可取n=9，于是，于是6110(1)!n1111e1 10.3678792!3!9! 11111ln21( 1)234nn 例例2 求求ln2的近似值，精确到的近似值，精确到106解：由于解：由于 ，令，令x=1得得11ln(1)( 1)( 11)!nnnxxxn 等式右边是满足莱布尼兹定理条件的交错级数。余和等式右边是满足莱布尼兹定理条件的交错级数。余和的估计的估计 ，由题意要使，由题意要使|rn|106，只要，只要1| | 1/nnrun下页上页结束首页n106，这样要计算，这样要计算100万项的和，计算量太大，原

55、因万项的和，计算量太大，原因是这个级数收敛速度太慢，设法用收敛速度快的级数，是这个级数收敛速度太慢，设法用收敛速度快的级数，由于由于两式相减得两式相减得234ln(1) 11234xxxxxx 234ln(1) 11234xxxxxx 351ln2() 11135xxxxxx 下页上页结束首页令令 ，解得，解得 ，故得，故得121xx13x 3511 11 1ln22( )( )33 35 321232121021 323 3nnnrnn212421111 ( )( )21 333nn21221211121 34(21)3113nnnn由于由于下页上页结束首页要使要使|rn|106，只要，只要

56、 ，可取，可取n6，6211104(21)3nn351111 11 11 1ln22( )( )( )0.69314733 35 311 335111111ln2()()213 215 21nnnnn于是于是如果在展开式如果在展开式 中，令中，令351ln2()135xxxxx111xnxn，解得，解得 ，则，则121xn依次令依次令n=2，3，即可得到，即可得到ln3，ln4，即正整，即正整数的自然对数数的自然对数下页上页结束首页例例3 给出求给出求的近似值的有效方法的近似值的有效方法即即11arctan11,35 114(1)35 解：由于解：由于 ，令，令x=1得得35arctan( 1

57、1)35xxxxx 利用这个级数来计算利用这个级数来计算的值，即使只要求精确到的值，即使只要求精确到104，也要计算，也要计算 项，因此要设法加快其收敛速度项，因此要设法加快其收敛速度我们知道，在函数的幂级数展开式中，我们知道，在函数的幂级数展开式中，|x|愈小，则级愈小，则级数收敛得愈快，因此希望建立一个等式，它既包含数收敛得愈快，因此希望建立一个等式，它既包含41102下页上页结束首页要求的数要求的数，又包含一个收敛较快的幂级数，同时，又包含一个收敛较快的幂级数，同时能用它表示能用它表示。由此得到由此得到111123arctanarctanarctanarctan111234123114(

58、arctanarctan )23 35111 11 1arctan( )( )223 25 2在在arctan x的幂级数展开式中令的幂级数展开式中令 及及 得得12x 13x 下页上页结束首页35111 11 1arctan( )( )323 35 3但是这两个等式右边的级数收敛的速度还不够快。但是这两个等式右边的级数收敛的速度还不够快。222tan55tan211tan12125令令 ，则，则1tan5252tan21206tan4251tan 21191144下页上页结束首页因因tan41，如果设，则，如果设，则|很小，于是很小，于是故故1tan411119tantan(4)12041t

59、an423911191arctan239144arctan4239即即在在arctanx的幂级数展开式中分别令的幂级数展开式中分别令 及及 ，并带入上式，就得到计算并带入上式，就得到计算的等式。的等式。15x 1239x 114(4arctanarctan)5239 下页上页结束首页11.7.2 用级数表示积分用级数表示积分( )d( )( )d( )( )( )bbaaf xxF xCf xxF xF bF a 连续函数连续函数f (x)的原函数一定存在，若的原函数一定存在，若F (x)是是f (x)的一个原函数，则的一个原函数，则下页上页结束首页但是原函数不一定能表示成初等函数的形式。如果

60、但是原函数不一定能表示成初等函数的形式。如果f(x)可以展开为幂级数可以展开为幂级数则它在收敛区间内可以逐项积分，即则它在收敛区间内可以逐项积分，即于是于是f(x)的原函数就可以用幂级数来表示的原函数就可以用幂级数来表示( )0000()( )() (|)!nnnfxf xxxxxRn( )10000()( )d() (|)(1)!nnnfxf xxxxCxxRn0( )10000()( )d() (|)(1)!nxnxnfxf ttxxxxRn下页上页结束首页由于幂级数结构简单，而且在收敛区间上的性质和它由于幂级数结构简单，而且在收敛区间上的性质和它的有限形式的有限形式多项式的某些性质十分相