深圳数学 八年级 勾股定理 能得到直角三角形吗

1、能得到直角三角形吗【基础知识精讲】1掌握勾股定理的逆定理。2会用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。【重点难点解析】1勾股定理的逆定理勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。即：在ABC中，若，则ABC为Rt。2如何判定一个三角形是否是直角三角形首先求出最大边（如c）；验证与是否具有相等关系。若，则ABC是以C90的直角三角形。若，则ABC不是直三角形。A重点、难点提示1掌握用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形，或两条直线是否相互垂直；2能用勾股定理和勾股定理的逆定理解决一些实际问题B考点指要勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定

2、理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定三角形中哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，这中间体现了一种代数方法解几何题的思想（体现数形结合数学思想）三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，（1）若，则三角形是直角三角形；（2）若，则三角形是锐角三角形；（3）若，则三角形是钝角三角形，所以使用勾股定理的逆定理时常需要找出三角形的最大边满足的三个正整数，称为勾股数【例题分析例1：已知ABC的三边为a、b、c，有下列各组条件，判定ABC的形状（1）a41，b40，c9；（2）思路分析为判定三角形的形状，可

3、利用勾股定理的逆定理，判断三角形的最大边的平方是否等于另外两边的平方和（抓住最大的边）解：（1），而，（完全平方公式的应用），ABC是直角三角形，并且A是直角（2）mn0，而ABC是直角三角形，并且B是直角点评：利用勾股定理的逆定理不仅能够判断出三角形的形状，而且还能够知道三角形的哪个角是直角例2：如图111，有一个棱长为2米的正方体，现有一绳子从A出发，沿正方体表面到达C处，问绳子最短是多少米？解：将该正方体的右表面翻折至前表面，使得A、C两点共面，连结AC，此时线段AC的长度即为最短距离，即绳长最短为米点评：沿几何体表面最短距离的问题通常都是将几何体表面展开，求展开图中两点之间的最短距离，

4、但一定要注意展开图中点的相应位置例3：如图112，在四边形ABCD中，C是直角，AB13，BC4，CD3，AD12，求证：ADBD（可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定）解：在RtBCD中，BC4，CD3，由勾股定理，即BD5，在ABD中，BD5，AD12，AB13，由勾股定理的逆定理，ABD是直角三角形，并且ADB是直角，ADBD例4：若ABC的三边满足条件：，试判断ABC的形状思路分析若一个方程有多于一个的未知数，如本题有三个未知数，想要分别解出这些量只能依靠条件的恒等变形，挖掘隐含条件来处理解：原等式可化为，配方，得：，（配方要准确、熟练）当且仅当才能成立，（非负数原理）a5，b

5、12，c13，最大边为c，而，根据勾股定理的逆定理，ABC是直角三角形，且C为直角点评：要学会观察已知条件的特征，从而寻找解决问题的突破点例5：已知，如图113，D是ABC边BC上一点，且，求证：思路分析从边的平方关系就会联想到直角三角形，这是勾股定理逆定理的基本思路证明：在ADC中，（注意已知形式的提示）由勾股定理的逆定理可知：ADC90，ADBC于D，在RtABD和RtACD中，由勾股定理：，两式相减，得：例6：如图114，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上

6、巡逻的我国反走私艇B密切注意反走私艇A通知反走私艇B：A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？解：设MN与AC相交于E，则BEC90，又，ABC为直角三角形，ABC90，MNCE，走私艇进入我领海的最近距离是CE，（认真审题是解决本题的关键）两式相减得：，9时50分51分10小时41分（将实际问题转化为数学模型）答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海【中考名题点评】例1 证明边长为3(2m3),(m是正整数)的三角形是直角三角形。证明：，3(2m3)，是最长的一条边。18（）81，所以根据勾股

7、定理的逆定理可知，以此三数为边长的三角形是直角三角形。例2 试判断：三边长分别为，2n1,(n0)的三角形是否是直角三角形？点悟：先确定最大的边。解：，为三角形中最大边。又 。根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形例3 如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足，判断ABC的形状。点悟：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件，故只有从该条件入手，解决问题。解：由，得，。，。a3，b4，c5，。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。点拨：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的。例4 在正方形ABCD中（图118）F为DC的中点，E为BC上一点，且E

8、CBC，求证：EFA90。证明：设正方形ABCD的边长为4a，则ECa，BE3a，CFDF2a，RtABE中，由勾股定理得：。在RtADF中，由勾股定理得：。在RtECF中，由勾股定理得：。在AFE中，。又，。由勾股定理的逆定理可知：AEF为Rt，且AE为最大边，AFE90。例5 如图119，已知ABC中，ACB90，CDAB于D，设ACb，BCa，ABc，CDh，求证：（1）chab；（2）以ab，ch，h为三边可构成一个直角三角形。证明：（1）在RtABC中，CDAB，即 abch。.(ch)(ab)又在RtABC中，ABc为斜边，ca，cb。即 (ch)(ab)0。chab。（2）由（1

9、）得 ，。，。以ab，h，ch 为边的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。点拨 要比较a 与b 的大小，可先求ab，再将结果与0比较。若ab0，则ab；若ab0，则ab，若ab0，则ab。直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的乘积的一半。故两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积。常用此来求出斜边上的高。例6 如图120，ABC中，C90，M是BC的中点，MDAB于D，求证：点悟：欲证，只须将BD用AD、AC 表示出来即可，这样有只要证明 即可。即证明就可以了。证明略。例7 已知在ABC中，三条边长分别为a、b、c，且an，b ，c（n是大于2的偶数）。求证：AB

10、C是直角三角形。证明：，由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。例8 如图121，在等腰RtABC中，CAB90，P是ABC内一点，且PA1，PB3，PC。求：CPA的大小 。点悟：已知条件中的PA、PB、PC过于分散，可将其集中到一个或两个三角形中，再应用三角形的有关知识解决问题。解：在ABC外部作AQCAPB，连结PQ，则AQAP1，CQPB3，QACPAB。PABPAC90，QACPAC90，即 PAQ90。，QPAPQA45。在PQC中，。QPC90。CPACPQQPA9045135。点拨：本例通过在三角形外作APB的全等形，从而将已知的PA、PB、PC集中到一起，为进一步解题创造了

11、条件。【同步达纲练习】一、选择题1已知ABC中，ABAC，ADBC于D，那么 （ ）（A）BCAB （B）BCAD90（C）ADBD （D）BBAD2三角形的三边长为a、b、c，且满足等式，则此三角形是 （ ）（A）锐角三角形 （B）直角三角形（C）钝角三角形 （D）等边三角形3在ABC中，BC边上的高，AC边上的高，AB边上的高，那么a、b、c三边的比a：b：c为 （ ）（A）1：2：3 （B）2：3：4（C）6：4：3 （D）不确定4下列三角形中，不一定是直角三角形的是 （ ）（A）三角形中有一边的中线等于这边的一半（B）三角形的三内角之比为1：2：3（C）三角形有一内角是30，且有一边是

12、另一边的一半（D）三角形的三边长分别为、2mn和5直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形的周长为 （ ）（A） （B）（C） （D）二、填空题6若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的周长为_。7周长为2a的等腰直角三角形的斜边的长为_，它的面积为_.8.在ABC中，如果AB，AC2mn，BC，则ABC是_三角形，其中_90。9如图122，ABDC90，AD12，ACBC，BAD30，则BC_。10如图123，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB16cm，CD8cm，AD13cm，则_。11如图124，在ABC中，CE平分ACB，CF平分ACD，EFBC交AC于M，若CM

13、5，则_。三、解答题12如图125，在RtABC中，A90，M是BC的中点，Q为AC上任意一点，MPMQ，延长QM至N，使MNQM，连QN、BN。求证：。13在RtABC中，ABc，BCa，CAb，且，求证：A：B：C1：2：3。14设P为等边ABC内一点，如果。求证：BPC150。15如图126，ABm，CDn，BCDADC90。求证的值。16若ABC的三边a、b、c满足条件，判断ABC的形状。17已知ABC中，AB17，BC30，BC上的中线AD8，求证：ABC为等腰三角形。18CD是ABC的高，D在边AB上，且有。求证：ABC为直角三角形。【综合能力训练】1已知a、b、c是ABC的三边，

14、（1）a0.3，b0.4，c0.5；（2）a4，b5，c6；（3）a7，b24，c25；（4）a15，b20，c25上述四个三角形中，直角三角形有( )个A1B2C3D42下列命题中的假命题是( )A在ABC中，若ACB，则ABC是直角三角形；B在ABC中，若，则ABC是直角三角形；C在ABC中，若A、B、C的度数比是5：2：3，则ABC是直角三角形；D在ABC中，若三边长a：b：c2：2：3，则ABC是直角三角形3已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为_4当n为自然数时，求证：以，b2n1，为三边的三角形是直角三角形5如图115，ACB45，BC1，把ABC沿直线AC折叠过去，点B

15、落在B的位置上，在图中标出B的位置，并求BB的长6已知：如图116，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等的四边形）的一边AD，使点D落在BC边的点F处，若AB8cm，BC10cm，求EC的长7如图117，BEAD，AEBC60，AB4，DE3，求证：ADCD8如图118，在ABC中，ACB90，CD是AB边上的中线，E是CD延长线上一点，DECD，求证：BCBE9一段长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面6m，现将梯顶沿墙面下滑1m，则梯子底端与墙面距离是否也增长1m？说明理由，并与同学讨论你的结论10如右图119，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上

16、方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）参考答案【同步达纲练习】一、1B； 2B； 3B； 4C； 5C。二、624； 7，； 8直角，A； 9； 10。11100。三、12先证MQCMNB。BNCQ且PNPQ。又CMBN，PBNABCMBN90。即。13由得。又，。C90。又由得。A30。又由得，B60。故A：B：C1：2：3。14以BP为边作等边PBD，连结CD，则由BPBD，ABPCBD，BABC得ABPBCD。故PADC。在PCD中，由于，故DPC90。BPC6090150。15延长CB、DA交于点E，由BCDADC90得E90。16a5，b12，c13，ABC为直角三角形。17在ABC中，AB17，AD8，BD15。 ABD为直角三角形在RtADC中，AC17。 ABC为等腰三角形。18在RtACD中， 同理ABC是直角三角形。【综合能力训练】1C；2D；35或；4略；