大学物理五章

1、上讲内容：角动量对时间的变化率上讲内容：角动量对时间的变化率MFrtprtLdddd质点角动量的时间变化率等于质点所受的质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩合力矩1 1、质点、质点外外MMtLiidd0iiM内质点系总角动量的时质点系总角动量的时间变化率等于质点系间变化率等于质点系所受所受外力矩的矢量和外力矩的矢量和。内力矩只改变质点系内力矩只改变质点系总角动量在系内的分总角动量在系内的分配，配，不影响不影响总角动量。总角动量。2 2、 质点系质点系3 3、定轴刚体、定轴刚体JMz刚体刚体 的的 定轴定轴转动定理转动定理表明表明：刚体的角加速度与外力对转轴的力矩：刚体的角加速度与外力对转

2、轴的力矩 成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。m 是物体平动惯性的量度。是物体平动惯性的量度。?J 是物体转动惯性的量度。是物体转动惯性的量度。?改变物体平动状态的原因改变物体平动状态的原因F?zM改变物体绕轴转动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因?amF例例1:1: 一定滑轮的质量为一定滑轮的质量为 ，半径为，半径为 ，一轻，一轻绳两边分别系绳两边分别系 和和 两物体挂于滑轮上，绳不两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。角速度为零，求

3、滑轮转动角速度随时间变化的规律。m1m2mr2m1mrm已知：已知：0,021rmmm求：求： ?t思路：思路：先求角加速度先求角加速度JMz刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律解：解：在地面参考系中，分别以在地面参考系中，分别以 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。mmm,21思考：思考：?2121TTaa 以向下为正方向以向下为正方向1111amTgm(1):1m以向上为正方向以向上为正方向2222amgmT(2):2m2m1mrmm1gT1a1a2T2m2gr+1T2TNmg四个未知数：四个未

4、知数：三个方程三个方程 ？,2121TTaaa绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：)4(ra 解得：解得：rmmmgmm212121rmmmgtmmt2121210以顺时针方向为正方向以顺时针方向为正方向对滑轮对滑轮:rTrTmr21221(3) 如图示，两物体质量分别为如图示，两物体质量分别为 和和 ，滑轮质量，滑轮质量为为 ，半径为，半径为 。已知。已知 与桌面间的滑动摩擦系与桌面间的滑动摩擦系数为数为 ，求，求 下落的加速度和两段绳中的张力。下落的加速度和两段绳中的张力。 1mm2mr2m1m2m1momr解：解：在地面参考系中，选取在地面

5、参考系中，选取 、 和滑轮为研究对和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得： 1m2m练习练习12m2Tagm2gm2N1m1Tagm1o1T2TxNyN向里向里+列方程如下：列方程如下：ramrrTrTamgmTamTgm22122211121可求解可求解图6-14mMR 解解 对柱体对柱体,由转动定律由转动定律M=J 有有 mg.R=J 这式子对吗？这式子对吗？ 错！此时绳中张力错！此时绳中张力T mg。 正确的解法是用隔离体法。正确的解法是用隔离体法。练习练习2 质量为质量为M、半径为、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴的匀质柱体可

6、绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，细绳，绳与柱体间无相对滑动，绳与柱体间无相对滑动，绳子下端挂一质量为绳子下端挂一质量为m的的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。mg 对对m: mg-T=ma对柱：对柱： TR=J 关联：关联： a=R 解得解得 =2mg/(2m+M)R T=Mmg/(2m+M)TaMgxNyN例例2. 质量为质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为的固定光滑

7、轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为、长为 l 的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为求当圆盘两侧绳长差为 s 时，绳的加速度的大小。时，绳的加速度的大小。解：解：在地面参考系中，建立如图在地面参考系中，建立如图 x 坐坐标，设滑轮半径为标，设滑轮半径为 r 有：有：ox1x2sMABABrxmrxxBBABAAl21,2BB1AAxlmmxlmmrlmmAB21xxsox1x2sMABABrxmCBCA用隔离法列方程用隔离法列方程: (以逆时针方向为正以逆时针方向为正)2221rmMrJJJABABMamTgmA

8、A1JrTrT21amgmTBB221xxsra又：解得：解得：lMmmgsa)21(T1JT2r.CAT1mAg.CBT2mBgMgN二二. . 角动量定理的角动量定理的积分形式积分形式积分形式积分形式微分形式微分形式质点质点质点系质点系定轴刚体定轴刚体LLtMLLtt2121ddLLtMLLtt2121dd外外2121ddtZtJJtMLtMdd ddJtMZLtMdd 外(1) (1) 力矩对时间的积累：力矩对时间的积累：角冲量角冲量定义：定义：21dtttM效果：效果：改变角动量改变角动量(3) (3) 同一式中，同一式中， 等角量要对同一等角量要对同一参考点或同一轴计算。参考点或同一

9、轴计算。,JLMp变化量与变化量与 对应，描述力对时间的累积效应对应，描述力对时间的累积效应21dtttF变化率与变化率与 对应，描述力的瞬时效应对应，描述力的瞬时效应F(2) 比较比较：L变化量与变化量与 对应，描述力矩对时间的累积效应对应，描述力矩对时间的累积效应21dtttM变化率与变化率与 对应，描述力矩的瞬时效应对应，描述力矩的瞬时效应M三三.角动量定理的应角动量定理的应用举例用举例旋进旋进(1) (1) 陀螺陀螺1) 1) 若若 ，则在重力矩，则在重力矩 作用下，陀螺将绕垂直于板面作用下，陀螺将绕垂直于板面 的轴转动，即倒地。的轴转动，即倒地。0Lgmrc2) 2) 当当 时，因时

10、，因0LLgmrcLL dtLMdd而LLddtddLgmrcLL重力矩重力矩 将改变将改变 的方向，的方向，而不改变而不改变 的大小。的大小。最终效果：陀螺绕竖直轴旋转最终效果：陀螺绕竖直轴旋转 tdd旋进角速度旋进角速度（2 2） 炮弹的旋进炮弹的旋进crvfgmLLddtddLsinddLL）（sindsindLMtLL(3) (3) 车轮的旋进车轮的旋进： 改变改变 的方向，旋进方向是否改变？的方向，旋进方向是否改变？ 改变配重改变配重G，对旋进有什么影响？，对旋进有什么影响？ 用外力矩加速用外力矩加速( (或阻碍或阻碍) )旋进，会发生旋进，会发生 什么现象？什么现象？oLMLLd旋

11、进现象在自然界广泛存在：旋进现象在自然界广泛存在：地球的旋进；用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化地球的旋进；用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化.本节回顾：本节回顾：JMz1 1、刚体定轴的转动定律、刚体定轴的转动定律2 2、角动量定理的积分形式、角动量定理的积分形式3、旋进、旋进一、角动量守恒定律一、角动量守恒定律恒量时恒量时恒量时zzyyxxLMLMLM000分量式：分量式：对定轴转动刚体，当对定轴转动刚体，当0轴M时，时，恒量轴L由角动量定理：由角动量定理：当当时，时，0外ML恒矢量恒矢量研究对象：质点系研究对象：质点系0ddtLM外当质点系当质点系(或刚体或刚体)所受外力对某参考点所

12、受外力对某参考点(或轴或轴)的力矩的矢的力矩的矢量和（量和（或代数和或代数和）为零时，质点系）为零时，质点系(或刚体或刚体)对该参考点对该参考点(或或轴轴)的角动量守恒。的角动量守恒。角动量守恒定律：角动量守恒定律：1)守恒条件：守恒条件：或或0轴轴M0外外M能否为能否为?0dtM外外2)与动量守恒定律对比：与动量守恒定律对比：当当时，时，0外外ML恒矢量恒矢量p恒矢量恒矢量当当时，时，0外外F彼此独立彼此独立. . 一半径为一半径为R、质量为、质量为 M 的转台，可绕通过其中心的的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动竖直轴转动, , 质量为质量为m 的人站在转台边缘，最初人和台的人站在转台边缘，

13、最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周都静止。若人沿转台边缘跑一周 ( (不计阻力不计阻力) )，相对于，相对于地面，人和台各转了多少角度？地面，人和台各转了多少角度？选地面为参考系，设对转轴选地面为参考系，设对转轴人：人：J , ; 台：台：J , 系统对转轴角动量守恒系统对转轴角动量守恒0JJ2212MRJmRJMm2R人相对地面转过的角度：人相对地面转过的角度：MmMt22d人地台相对地面转过的角度：台相对地面转过的角度：Mmmt2)2(2d台地台地人地地台人地人台t d人地t d 台地人沿转台边缘跑一周：人沿转台边缘跑一周：2ddtt2d2dtMmtMm2角动量守恒定律应用举例角动量守

14、恒定律应用举例(1)(1)对于单一刚体：对于单一刚体：J J、 均不变，均不变， 则匀速转动则匀速转动(2) 对于系统对于系统: J Ji、 均可以变化，但均可以变化，但 不变不变iiiJ角动量守恒定律适用于以下情况：角动量守恒定律适用于以下情况：(3) 对于变形体：对于变形体： 均可以变化，但均可以变化，但 不变不变,JJ(a)(b)图3.4.3请看请看: 猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你注意，天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你注意，猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四

15、脚转向地面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。那它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。那么，甩尾巴而获得四脚转向的过程，就是角动量守么，甩尾巴而获得四脚转向的过程，就是角动量守恒过程。恒过程。见见PCAI课件分析课件分析为什么猫从高处落下时总能四脚着地？为什么猫从高处落下时总能四脚着地？(4)角动量定理适用于一切转动问题，大至天体，小至角动量定理适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子、电子粒子、电子.体操运动员的体操运动员的“晚旋晚旋”芭蕾、花样滑冰、跳水芭蕾、花样滑冰、跳水.为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？为什么银河系呈旋臂盘行结构？为什么银

16、河系呈旋臂盘行结构？http:/ 二二. 有心力场中的运动有心力场中的运动物体在物体在有心力有心力作用下的运动作用下的运动力的作用线始终通过某力的作用线始终通过某定点定点的力的力力心力心有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体对力心的角动量守恒。对力心的角动量守恒。应用广泛，例如：应用广泛，例如： 天体运动天体运动（行星绕恒星、卫星绕行星（行星绕恒星、卫星绕行星.） 微观粒子运动微观粒子运动（电子绕核运动；原子核中质子、中（电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级近似；加速器中粒子与靶核散射子的运动一级近似；加速器中粒子与靶核散射.）. . P

17、.115 5.15已知已知: 地球地球 R = 6378 km 卫星卫星 近地近地: L1= 439 km v1 = 8.1 kms-1 远地远地: L2= 2384 km 求求 : v2 卫星卫星 质点质点 m 地球地球 均匀球体均匀球体o.dFmdmdmdF1dF2对称性：引力矢量和过地心对称性：引力矢量和过地心 对地心力矩为零对地心力矩为零卫星卫星 m 对地心对地心 o 角动量守恒角动量守恒L2mL1卫星卫星 m 对地心对地心 O角动量守恒角动量守恒11212skm3 . 61 . 8238463784396378vLRLRv2211LRmvLRmv 增加通讯卫星的可利用率增加通讯卫星的

18、可利用率探险者号卫星偏心率高探险者号卫星偏心率高近地近地1411skm1038. 3km9 .160vL1252skm1225km1003. 2vL大大充充分分利利用用t远地远地小小很很快快掠掠过过tL2mL1复习提要复习提要一一. 转动惯量转动惯量miiimrJrmJd22二二. 角动量角动量 质点质点 质点系质点系定轴刚体定轴刚体 vmrLiiiiccvmrvmrLLL自旋自旋轨道轨道JLz三三. 力矩力矩0;iizMFrMFrM内内 质点质点21dddttLtMtLM质点系质点系定轴刚体定轴刚体21dddttLtMtLM外外外外JMz21dttzzLtM五五. 角动量守恒角动量守恒恒恒量

19、量恒恒矢矢量量外外zzLMLM00四四. 角动量定理角动量定理. 乒乓球的自动回滚乒乓球的自动回滚现象：现象：使乒乓球向前运动的同时，以较高的转速使乒乓球向前运动的同时，以较高的转速 “反转反转”，则乒乓球过一段时间自动回滚，则乒乓球过一段时间自动回滚。原因：原因： 质心平动质心平动 绕质心转动绕质心转动当平动速度减为零时，当平动速度减为零时，转动角速度尚未减为零。转动角速度尚未减为零。Nmgv00.RCfNmg.RCf0v条件：条件：tmRtJmgRtvmmamgcccdd32dddd2由：由：当：当：gvtvc00时时02300gvRg代入代入得：得：Rv2300得：得：tRggtvvc3

20、200.O1m1R1.O2R2m21020. 如图所示，质量分别为如图所示，质量分别为m1和和m2、半径为、半径为R1和和R2的的两个均匀圆柱的转轴相互平行。最初它们在水平面内两个均匀圆柱的转轴相互平行。最初它们在水平面内分别以分别以 和和 沿同一方向转动。平移二轴，使两圆沿同一方向转动。平移二轴，使两圆柱体的边缘接触，求接触处无相对滑动时，两个圆柱柱体的边缘接触，求接触处无相对滑动时，两个圆柱体的角速度体的角速度 。2021和和10解解: 因摩擦力为内力因摩擦力为内力,外力过外力过轴轴 , 外力矩为零外力矩为零,则：则：J1 + J2 系统角动量守恒系统角动量守恒 ，以顺时针，以顺时针方向为

21、正：方向为正：.O1m1R1.O2R2m212接触点无相对滑接触点无相对滑 动动: 22211RR 3212111RmJ 4212222RmJ 联立联立( (1)、(2)、(3)、(4)式求解，对不对？式求解，对不对？ .O1m1R1.O2R2m212 12211202101JJJJ问题问题: (1) 式中各角量是否对同轴而言？式中各角量是否对同轴而言？ (2) J1 +J2 系统角动量是否守恒？系统角动量是否守恒？0 )2(0 ) 1 (1221FFMOMO为轴为轴为轴为轴系统角动量不守恒！系统角动量不守恒！分别以分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：为研究对象，受力如图：O2F2O1

22、.F1f1f2对对m1 , m2 ，受力如图：，受力如图：选顺时针转动为正向，选顺时针转动为正向，分别对分别对m1 , m2 应用角动量定理：应用角动量定理：101111d21JJtfRtt202222d21JJtfRtt对对O1:对对O2:222221112121RmJRmJ2211RR无滑动无滑动121202210111)(RmmRmRm221202210112)(RmmRmRmO2F2O1.F1f1f2121020 水平方向：水平方向： Fx = 0 ， px 守恒守恒 mv0 = (m+M)v 对对 O轴：轴： ， 守恒守恒 mv0 l = (m+M)vl0轴M0轴L质点质点 定轴刚体

23、定轴刚体（不能简化为质点）（不能简化为质点）0vOlmMFxFy(2)轴作用力不能忽略，动量不守恒，轴作用力不能忽略，动量不守恒，但对但对 O 轴合力矩为零，角动量守恒轴合力矩为零，角动量守恒lvMlmllmv22031(1)OlmM0v质点质点质点质点柔绳无切向力柔绳无切向力回顾作业回顾作业P.85 4 -8vRMmRghmOM mMpMmF2 0;0点角动量守恒对系统不守恒系统轴轴mMFO不计滑轮和绳子的质量0轴FA、B、C系统系统 不守恒；不守恒；p0轴MA、B、C系统对系统对 o 轴角动量守恒轴角动量守恒vRmmmRvmmcBABA1回顾练习回顾练习P86 4 -9C BNxNyAo：

24、已知已知 m = 20 克，克，M = 980 克克 ,v 0 =400米米/秒，绳秒，绳不可伸长。求不可伸长。求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v = ?：m、M系统水平方向动量守恒系统水平方向动量守恒(F x = 0)竖直方向动量不守恒竖直方向动量不守恒(绳冲力不能忽略绳冲力不能忽略)对对O点轴角动量守恒点轴角动量守恒(外力矩和为零外力矩和为零)OmMv300vvMmmv30sin0或：或：90sin30sin0lMmvlmv得：得： v = 4 ms-1解：解：碰撞前后碰撞前后AB棒对棒对O的角动量守恒的角动量守恒思考：思考：碰撞前棒对碰撞前棒对O角动量角动量 L=? 碰撞后棒对碰撞后棒对O角动量角动量 =？L. 已知：已知：匀质细棒匀质细棒 m , 长长 2l ；在光滑水平面内以；在光滑水平面内以 v 0 平动，与支点平动，与支点 O 完全非弹性碰撞。完全非弹性碰撞。 求：求：碰后瞬间棒绕碰后瞬间棒绕 O 的的v