八年级第5讲因式分解讲义(提高班)

1、第五讲因式分解初步及应用1. 因式分解把一个多项式分解成几个整式之积的形式叫做多项式的因式分解。因式分解是多项式乘法的逆向变形。因式分解的常用方法：提取公因式，公式法，十字相乘法，分组分解法，配方法。常用公式：母取各项的相同字母(有时为多项式)。字母的指数取相同字母的最低指数。例1、分解因式：ma+mb(2)m(a-b)+n(b_a)-2a3b4 -10a2b3 2a2b2例2、分解下列各式：(1)12xy2(a-b)2-24x2y2(b-a)2 18xy(b-a)3旷护bg + R；a2 _2ab b2 =(a _b)2；1 一 iJ 刖匕厂干 止、：；2 2 2 2a b c 2ab 2b

2、c 2ca = (a b c)；2 2 2(2) (a + ab-ac) + (ab+b - bc) + (c - ca-cb) a3 b3 c3 - 3abc = (a b c)(a2 b2 c2 _ ab _ be _ ca)；十_肿_ J (q b)-1十勺十a-呼十小十此i2十护-1)(ri为正整数)I 0+耳(十晋十+处“Jr)3为偶数)an bn Z + W - 厂&丿一厂秋)2. 因式分解简单应用利用因式分解解决计算、求值、解方程及证明问题，解题时主要是把所研究 的问题转化为因式分解问题。对于较复杂的数值计算可利用字母代换的方法加以 简化。【例题】1. 提取公因式法：如果一个多项

3、式的各项含有公因式，把这个因式提出来，作为多项式的一个因式，再用这个因式去除这个多项式，把所得的商作为另一个因式，这种因式分解的方法叫做提取公因式。提公因式法是因式分解中的首选方法，不能提公因式或者提公因式后再选择其它方法。公因式的取法为：系数取各项整数系数的最大公约数(第一项系数为负，一般提出负号)。字第五讲因式分解初步及应用(提高班)第12. 公式法：由于整式乘法和因式分解是互逆的过程，把乘法公式反过来用， 就可以把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法。用此法分解 因式时，首先要分析该多项式是否具有可用公式的特点。例如，如果多项式是二项式，就可以考虑运用两数和乘以两数差的公式，

4、a2 - b2 = (a b)(a- b)；如果多项式是三项式，就可以考虑运用两数和的平方公式，即a2 2ab b2 = (a b)2。例3、把下列各式分解因式：(1) (x-1) b2(1-x)(2) 9m2a2-36m2a 36m2 ；页共3页（3）9（pq）26（pq） 1。3. 十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。二次三项式ax2 bx c的因式分解问题，只要把二次项系数a分解成两个因数 印和a2的积，常数项c分解成两个因数b,和b22的积，且使 a, b2 +a2 bi=b，则有 ax bx（a,x - bi）（a2x b?）

5、。因为一个整数分解成两个因数积得形式不唯一，且要满足上述条件，故常用十字相乘的形式进行试算，最后确定分解的结果。具体看下面例题：(4) x2 (a - b)x ab = (x )(x)。4. 分组分解法：对于一个多项式，它的各项没有公因式，也不能直接使用公式 来分解，这时一般采用分组分解法来进行因式分解。其分组的原则是：分组后的 各组变形后能有公因式可提；分组后可利用公式或十字相乘法继续分解因式。（1）如果多项式是四项式，则考虑二二分组或者三一分组。其中二二分组中的 两项能运用两数和乘以两数差的公式或提公因式；三一分组中的三项一般能运用 两数和的平方公式，一项是常数。例 6、把下列各式分解因式

6、：（1） x2 y - xy - x ；（ 2） a2 - 4ab - 9 4b2第五讲因式分解初步及应用（提高班）第3页共3页第五讲因式分解初步及应用（提高班）第#页共3页(xp)(x q) = x2 (pq)xpq;反之x(p q)x pq=(xp)(xq)。例4、分解因式：2 2 2（2）如果多项式是五项式，则考虑三二分组。其中的三项一般能运用两数和 的平方公式，两项则能提公因式。例 7、把 x2 -6xy 9y2 -2x 6y 因式分解。(1) x 5x 6 ；( 2) x5x 6 ；( 3) 3x -x10。例5、填写下列各式：2(1) x-(a-b)x-ab= (x)(x)；(2)

7、 x2(a-b)x - ab= (x)(x)；（3）如果多项式是六项式，则考虑三三分组或者三二一分组。其中三三分组 中的三项能运用两数和的平方公式，然后再用两数和乘以两数差的公式因式分(3) x2-(a-b)x ab= (x)(x)；第五讲因式分解初步及应用（提高班）第4页共3页解；三二一分组中的三项一般能运用两数和的平方公式，两项则能提公因式， 一项是常数，再考虑运用两数和的平方公式因式分解。例8、把下列各式分解因式：2 2 2 2 2（1） 4a -4ab b -x -6x -9 ； （2） m n -8m 8n -2mn 166.因式分解的简单应用例11、计算：(1) 20.08 200

8、.8 200.8 89.94- 2.008 1002;111 1（1 一尹1肯）（1盲）（1 一荷）;3320053 100233320051003例12、已知a+b=1,求a3 b3 3ab的值。例 9、将 x2y _y2z - z2x _x2z y2x z2 y _2xyz 因式分解。【练习作业】1.将下列各式分解因式：（1）ax-3by-3ay+bx ；（2） 3x2 13x-10； （3） a3 a2b 9ab3 ；16 2oonnnn(4)x -y；( 5 )x-y-x 2xy - y 2 ; (6) 2a - 5ab - 3b a 11b - 6 ;5.配方法：配方法是二次三项式进行因式分解的重要方法。配方法的基本步骤 是二次三项式的二次项系数化为一，加上并减去一次项系数一半的平方。例10、把下列各式分解因式（1）x2-2x -3 ；（2）m4m2n2n4；（3）2y2y -1.2.3.4.5.2 2x 4xy 4y _2x_4y_3。已知x=y+1,求多项式x2 - 2xy y2 - 3x 3y 2的值。求证：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。求证：523 -521能被120整除。1 1计算：（1）