2013版高中全程复习方略配套课件：15.2直线、圆和椭圆的参数方程及其应用（苏教版·数学理）

1、第二节 直线、圆和椭圆的参数方程及其应用 三年三年3考考 高考指数高考指数: 内内 容容要要 求求A AB BC C参数方程参数方程直线、圆及椭圆的参数方程直线、圆及椭圆的参数方程参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化 参数方程的简单应用参数方程的简单应用1.1.常见曲线的参数方程常见曲线的参数方程(1)(1)直线的参数方程直线的参数方程过定点过定点P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )，倾斜角为，倾斜角为的直线的直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数).).其中参数其中参数t t是以定点是以定点P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )为起点，为起点，P(

2、xP(x，y)y)为终点的有向线为终点的有向线段段P P0 0P P的数量的数量x x x x0 0tcostcosy yy y0 0tsintsin_(2)(2)圆的参数方程圆的参数方程圆圆(x(xx x0 0) )2 2(y(yy y0 0) )2 2r r2 2的参数方程为的参数方程为( ( 为参数为参数) )(3)(3)椭圆的参数方程椭圆的参数方程椭圆椭圆 1(a1(ab b0)0)的参数方程为的参数方程为( (为参数为参数). ). x xx x0 0rcosrcosy yy y0 0rsinrsin_2222xyabx xacosacosy ybsinbsin_【即时应用】【即时应

3、用】(1)(1)过点过点M(2,1)M(2,1)作曲线作曲线C C： (为参数为参数) )的弦，使的弦，使M M为弦的为弦的中点，则此弦所在直线的方程为中点，则此弦所在直线的方程为_._.(2)(2)点点P(1,0)P(1,0)到曲线到曲线 ( (其中其中t t是参数，且是参数，且tR)tR)上的点的上的点的最短距离为最短距离为_._.x4cosy4sin2xty2t【解析】【解析】(1)(1)由于曲线表示的是圆心在原点由于曲线表示的是圆心在原点( (设原点为设原点为O)O)，半径，半径为为r r4 4的圆，所以过点的圆，所以过点M M的弦与线段的弦与线段OMOM垂直，垂直，kkOMOM ，弦

4、弦所在直线的斜率是所在直线的斜率是2 2，故所求直线方程为，故所求直线方程为y y1 12(x2(x2),2),即即2x+y-5=02x+y-5=0(2)(2)因为点因为点P(1,0)P(1,0)与曲线与曲线 (tR)(tR)上的点之间的距离上的点之间的距离d d t t2 21111，故最短距离为，故最短距离为1.1.答案答案: : (1)2x+y-5=0 (2)1 (1)2x+y-5=0 (2)1122xty2t22222x 1 y0(t1)2t2.2.参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式，它们在形参数方程与普通方程是曲线的两种不同的

5、表达方式，它们在形式及分析方法上各具特点又互相补充式及分析方法上各具特点又互相补充(1)(1)参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程的关键是消参，在消参时要注意参数的参数方程化为普通方程的关键是消参，在消参时要注意参数的范围对普通方程的影响消去参数常用的方法有：代入法、平范围对普通方程的影响消去参数常用的方法有：代入法、平方法等，要结合参数方程的特点灵活消参方法等，要结合参数方程的特点灵活消参(2)(2)将普通方程化为参数方程将普通方程化为参数方程将普通方程化为参数方程将普通方程化为参数方程, ,一般有如下思路：一般有如下思路：F(xF(x，y)y)0 (t0 (t为参数

6、为参数) )；F(xF(x，y)y)0 0(t(t为参数为参数) )xf(t)yg(t)xf(t)yg(t)令令x=fx=f（t t）（或）（或y=gy=g（t t）解出解出y=gy=g（t t）（或）（或x=fx=f（t t）选取参数t【即时应用】【即时应用】(1)(1)将参数方程将参数方程 (为参数为参数) )化为普通方程，所得方化为普通方程，所得方程是程是_._.(2)(2)已知已知F F是曲线是曲线 (R)(R)的焦点，的焦点，A(1,0),A(1,0),则则|AF|AF|的值等于的值等于_._.x 1 2cosy2sinx2 2cosy1cos2 【解析】【解析】(1)(1)将参数方

7、程化为普通方程为将参数方程化为普通方程为(x(x1)1)2 2y y2 24 4，是以，是以(1,0)(1,0)为圆心，为圆心，2 2为半径的圆为半径的圆. .(2)(2)曲线的参数方程曲线的参数方程 ， 即即 , ,曲线的普通方程为曲线的普通方程为x x2 2=4y.=4y.焦点焦点F(0,1)F(0,1)，由于，由于A(1,0)A(1,0)，则，则|AF|= .|AF|= .答案：答案：(1)(x-1)(1)(x-1)2 2+y+y2 2=4 (2) =4 (2) 2x2 2cosy2cos x2 2cosy1cos2 22 参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化【方法点睛】【方

8、法点睛】消去参数的常用方法消去参数的常用方法代入消参法；代入消参法；三角消参法；三角消参法；根据参数方程的特征，采用根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段特殊的消参手段. 【例【例1 1】(2011(2011江苏高考江苏高考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，求过椭圆中，求过椭圆 ( (为参数为参数) )的右焦点且与直线的右焦点且与直线 (t(t为参数为参数) )平行的直线的普通方程平行的直线的普通方程. .【解题指南】【解题指南】将椭圆参数方程化为普通方程后，确定右焦点坐将椭圆参数方程化为普通方程后，确定右焦点坐标，再将直线参数方程化成普通方程，确定所求直线的斜率，标，再将

9、直线参数方程化成普通方程，确定所求直线的斜率，从而利用点斜式求直线方程从而利用点斜式求直线方程. .x5cosy3sinx42ty3t【规范解答】【规范解答】椭圆的普通方程为椭圆的普通方程为 =1,=1,右焦点为右焦点为(4(4，0)0)，直线直线 (t(t为参数为参数) )的普通方程为的普通方程为2y-x=22y-x=2，斜率为，斜率为 ，故所求直线方程为：故所求直线方程为：y= (x-4),y= (x-4),即即x-2y-4=0.x-2y-4=0.x42ty3t22xy2591212【互动探究】【互动探究】在本例的参数方程在本例的参数方程 中，如附加条件中，如附加条件tt-2,2-2,2，

10、则此方程表示什么图形？，则此方程表示什么图形？【解析】【解析】由由tt-2,2-2,2可知可知xx0,80,8,y,y1,51,5， 从而从而此参数方程表示以此参数方程表示以(0(0，1)1)和和(8(8，5)5)为端点的一条线段为端点的一条线段. .x42ty3t【反思【反思感悟】感悟】1.1.通常利用三角函数中的平方关系通常利用三角函数中的平方关系sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1将椭圆参数方程化为普通方程，利用加减消元将椭圆参数方程化为普通方程，利用加减消元法消去直线中的参数法消去直线中的参数. .2.2.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同在参数方程与普通

11、方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量解变形，避免改变变量x x，y y的取值范围而造成错误的取值范围而造成错误. .【变式训练】【变式训练】已知直线已知直线C C1 1： (t(t为参数为参数) )，圆，圆C C2 2： (为参数为参数) )(1)(1)当当 时，求时，求C C1 1与与C C2 2的交点坐标；的交点坐标；(2)(2)过坐标原点过坐标原点O O作作C C1 1的垂线，垂足为的垂线，垂足为A A，P P为为OAOA的中点当的中点当变变化时，求化时，求P P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线x 1 tcosytsinxcos

12、ysin3【解析】【解析】(1)(1)当当 时，时，C C1 1的普通方程为的普通方程为y y (x(x1)1)，C C2 2的普通的普通方程为方程为x x2 2y y2 21.1.联立方程组联立方程组 , ,解得解得C C1 1与与C C2 2的交点的交点为为(1,0)(1,0)和和( )( ) (2)C(2)C1 1的普通方程为的普通方程为xsinxsinycosycossinsin0.A0.A点坐标为点坐标为(sin(sin2 2，cossin)cossin)，故当，故当变化时，变化时，P P点轨迹的参数方点轨迹的参数方程为：程为： (为参数为参数) )P P点轨迹的普通方程为点轨迹的普

13、通方程为(x(x ) )2 2y y2 2 . .故故P P点的轨迹是圆心为点的轨迹是圆心为( ( ，0)0)，半径为，半径为 的的圆圆322y3 x 1 xy1 1322，21xsin 21ysincos21414141163【变式备选】【变式备选】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形示的图形. .(1) (2)(1) (2)(3) (4)(3) (4)xsincos,ysincos;x1,1yt;t 2223tx,1t3ty;1tx64sec,y5tan3.【解析】【解析】(1)x(1)x2 22(y2(y ) )， x x ，图形为

14、一段抛物，图形为一段抛物线弧线弧; ;(2)x(2)x1 1，yy2 2或或y2y2，图形为两条射线，图形为两条射线; ;(3)x(3)x2 2y y2 23y3y0(y3)0(y3)，图形是一个圆，但是除去点，图形是一个圆，但是除去点(0,3);(0,3);(4) (4) 1 1，图形是双曲线，图形是双曲线. .122222x6y31625利用参数方程求曲线交点问题利用参数方程求曲线交点问题【方法点睛】【方法点睛】直线、圆、椭圆参数方程中参数的几何意义直线、圆、椭圆参数方程中参数的几何意义在直线的标准参数方程中，在直线的标准参数方程中，t t的几何意义是表示直线上的点到的几何意义是表示直线上

15、的点到定点的距离，在圆的参数方程中，定点的距离，在圆的参数方程中，表示圆心角，在椭圆的参表示圆心角，在椭圆的参数方程中，数方程中，表示离心角，由此知识可直接计算直线与圆、椭表示离心角，由此知识可直接计算直线与圆、椭圆等曲线的交点问题圆等曲线的交点问题. . 【例【例2 2】已知直线】已知直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数) )，曲线，曲线C C的的极坐标方程为极坐标方程为2 2cos2cos21. 1. (1)(1)求曲线求曲线C C的普通方程；的普通方程；(2)(2)求直线求直线l被曲线被曲线C C截得的弦长截得的弦长. .【解题指南】【解题指南】利用直角坐标与极坐标之间的

16、互化公式，求曲线利用直角坐标与极坐标之间的互化公式，求曲线C C的普通方程；再由直线标准参数方程中参数的几何意义，求的普通方程；再由直线标准参数方程中参数的几何意义，求直线直线l被曲线被曲线C C截得的弦长截得的弦长. .x2ty3t【规范解答】【规范解答】(1)(1)由曲线由曲线C C：2 2cos2cos22 2(cos(cos2 2sinsin2 2)1 1，化成普通方程为，化成普通方程为x x2 2y y2 21.1.(2)(2)由由 得得 ，用，用tt代替代替2t2t得直线的标准参得直线的标准参数方程数方程 (t(t为参数为参数).). 把把代入代入得得(2(2 ) )2 2( )(

17、 )2 21 1，整理得，整理得tt2 24t4t6 60.0.设其两根为设其两根为tt1 1，tt2 2，则，则tt1 1tt2 24 4，tt1 1tt2 26.6.从而弦长为从而弦长为|t|t1 1tt2 2| | . .x2ty3t1x2(2t)23y(2t)2tx223yt2t23t2222121212(tt )tt4t t4462 10 【反思【反思感悟】感悟】有关直线的参数方程，根据有关直线的参数方程，根据t t的几何意义，有的几何意义，有以下结论：以下结论：设设A A、B B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t tA A和和t tB B

18、，则，则ABAB|t|tB Bt tA A| | ，线段，线段ABAB的中点所对应的参的中点所对应的参数值等于数值等于 . .ABtt22BAAB(tt )4tt【变式训练】【变式训练】(2012(2012南通模拟南通模拟) )求直线求直线 (t(t为参数为参数) )被被圆圆 (为参数为参数) )截得的弦长截得的弦长. .【解析】【解析】设圆的半径为设圆的半径为R R，直线被圆截得的弦长为，直线被圆截得的弦长为L,L,把直线方程把直线方程 化为普通方程为化为普通方程为x+y=2.x+y=2.将圆将圆 化为普通方程为化为普通方程为x x2 2+y+y2 2=9.=9.x12ty12t x3cos

19、y3sinx3cosy3sinx12ty12t 圆心圆心O O到直线的距离到直线的距离d= ,d= ,所以弦长所以弦长L= .L= .所以直线所以直线 ，被圆，被圆 截得的弦长为截得的弦长为2 .2 .222222 Rd2 922 7x12ty12t x3cosy3sin7【变式备选】【变式备选】设点设点P P是椭圆是椭圆2x2x2 2+3y+3y2 2=12=12上的一个动点，试求上的一个动点，试求x+2yx+2y的取值范围的取值范围. .【解析】【解析】由椭圆的方程由椭圆的方程2x2x2 2+3y+3y2 2=12=12，可设，可设x= cos,y=2sin,x= cos,y=2sin,代

20、入代入x+2y,x+2y,得得:x+2y= cos+2:x+2y= cos+22sin=2sin= sin(+ sin(+),),其中其中tantan= = ，又因，又因-1sin(+-1sin(+)1)1，故，故- x+2y - x+2y ，所以，所以x+2yx+2y的取值范围是的取值范围是- , - , . . 66226422222222 极坐标方程和参数方程的综合问题极坐标方程和参数方程的综合问题【方法点睛】【方法点睛】1.1.直线的参数方程中参数的几何意义直线的参数方程中参数的几何意义设设 表示直线向上的方向的单位向量表示直线向上的方向的单位向量, ,如图如图, =t , =t ,当

21、参数当参数t t0 0时时, , 与与 方向相同方向相同; ;当参数当参数t t0 0时时, , 与与 方向相反方向相反, ,因此因此, ,总有总有| |=|t|,| |=|t|,所以参数所以参数t t为点为点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到直线上点到直线上点M(x,y)M(x,y)的有向线段的有向线段 的数量的数量( (即方向即方向+ +长度长度),),这就是参数这就是参数t t的的几何意义几何意义. .eeee0M M 0M M 0M M 0M M 0M M 2.2.直线参数方程的常用公式直线参数方程的常用公式根据直线的参数方程中根据直线的参数方程中t t的几何意义的几何意

22、义, ,有以下结论有以下结论: :(1)(1)设设A A、B B是直线上任意两点是直线上任意两点, ,它们对应的参数分别为它们对应的参数分别为t tA A和和t tB B, ,则则|AB|=|t|AB|=|tB B-t-tA A|= .|= .(2)(2)线段线段ABAB的中点所对应的参数值等于的中点所对应的参数值等于 . . 2ABABtt4ttABtt2【例【例3 3】已知直线】已知直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数),),曲线曲线C C的极坐标方程是的极坐标方程是= = ，以极点为原点，极轴为，以极点为原点，极轴为x x轴正半轴建立直角坐标系，点轴正半轴建立直角坐标系，

23、点M(-1M(-1，0),0),直线直线l与曲线与曲线C C交于交于A A、B B两点两点. .(1)(1)求直线求直线l的极坐标方程与曲线的极坐标方程与曲线C C的直角坐标方程的直角坐标方程; ;(2)(2)线段线段MAMA，MBMB长度分别记为长度分别记为|MA|,|MB|,|MA|,|MB|,求求|MA|MB|MA|MB|的值的值. .2x1t22yt2 2sin1 sin 【解题指南】【解题指南】(1)(1)将直线的参数方程化为普通方程，再化为极将直线的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，将曲线的极坐标方程利用公式坐标方程，将曲线的极坐标方程利用公式 化为直角化为直角坐标方程坐标方

24、程; ;(2)(2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用直线的参数将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用直线的参数方程的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算方程的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算. .xcosysin【规范解答】【规范解答】(1)(1)直线直线l: (t: (t为参数为参数) )的直角坐标方的直角坐标方程为程为x-y+1=0,x-y+1=0,所以极坐标方程为所以极坐标方程为: cos(+ )=-1,: cos(+ )=-1,曲线曲线C:= ,C:= ,即即(cos)(cos)2 2sin,sin,所以曲线的直角坐标方程为所以曲线的直角坐标方程为y=xy

25、=x2 2. .(2)(2)由于直线由于直线l与曲线交于、两点与曲线交于、两点, ,将将 代入代入y=xy=x2 2，得，得t t2 2-3 t+2=0-3 t+2=0，设，设A A、B B两点对应的参数分别为两点对应的参数分别为t t1 1,t,t2 2，由一元二次方程的根与系数的关系，得由一元二次方程的根与系数的关系，得t t1 1t t2 2=2,|MA|=2,|MA|MB|=|t|MB|=|t1 1t t2 2|=2.|=2.2x1t22yt2 242sin1 sin 2x1t22yt2 2【反思【反思感悟】感悟】利用直线的参数方程研究直线与圆锥曲线的位置利用直线的参数方程研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，可以使问题简便，方法是：把关系以及弦长计算，可以使问题简便，方法是：把l: : (t(t为参数为参数) )代入圆锥曲线代入圆锥曲线C:F(x,y)=0C:F(x,y)=0，消去，消