积分对称性定理

1、关于积分对称性定理1、定积分：设 f (x) 在 a,a 上连续，则a-ax dx0,a2 f x dx,0x为X的奇函数, X为X的偶函数.2、二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D上连续，则(1)如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y)为y的奇(或偶)函数，即 f(x, y) f (x, y)(或 f(x, y) f (x, y)，则二重积分0,f x,y为y的奇函数f x, y dxdy D2 f x, y dxdy, f x,y为y的偶函数D1其中：Di为D满足y 0上半平面区域。(2)如果积分区域D关于y轴对称，f (x, y)为x的奇(或偶)函 数，即 f x, y f x,

2、y (或 f x,y f x,y )，则二重积分0,f x, y为x的奇函数,f x,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数. DD2其中：D2为D满足x 0的右半平面区域。(3)如果积分区域D关于原点对称，f(x,y)为x,y的奇(或偶)函数，即f( x, y) f (x, y)(或 f ( x, y) f (x,y)贝卩二重积分0, f x,y为x,y的奇函数2 f x,ydxy, f xy 为x,y的偶函数D2其中：Di为D在y 0上半平面的部分区域。(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x,y dxdy f y,x dxdy . (二重积分的轮

3、换对称 DD性)(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0,当 f( y, x)f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁 y, x) f(x,y)时DD1利用上述性质定理化简二重积分计算时 , 应注意的是(1)( 2)(3)中应同时具有积分域 D 对称及被积函数 f x, y 具有奇偶性两个特性。3、三重积分：(1) 若 f x,y,z 为闭区域 上的连续函数，空间有界闭区域 关于xoy坐标面对称，1为 位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0,f x, y, z为z的奇函数f x，y,zdxdydz2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为Z的偶

4、函数1注：f(x,y,z)是 z 的奇函数：f(x, y z) f(x,y, z)f(x,y,z)是 z 的偶函数：f (x, y z) f (x, y,z)同样，对于空间闭区域 关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。4、曲线积分(第一类)(1) 若分段光滑平面曲线L关于y轴对称，且f x, y在L上为连续函数，Li为L位于y轴右侧的弧段，则0,f x, y为x的奇函数，l f x, y ds 2 f x, y ds, f x, y 为x的偶函数.L1(2) 若分段光滑平面曲线L关于x轴对称，且fx,y在L上为连续函数，Li为L位于x轴上侧的弧段，则0, f x, y为y的奇函数Lf

5、x,yds 2 f x,yds, f x,y 为y的偶函数Li(3) 若L关于直线y x对称，则f(x,y)ds f(y,x)dsLL其中(3)式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。5、第二类曲线积分(1) 设分段光滑的平面曲线L关于x轴对称，且L在x轴的上半部分L|与在下半部分的L2方向相反，则0,P x, y是关于 y的偶函数LPx,ydx 2 P x, y dx, P x, y是关于 y的奇函数 L1(2) 设分段光滑的平面曲线L关于y轴对称，且L在y轴的右半部分与 在左半部分的L2方向相反则0,P x,y是关于x勺偶函数，l P x, y dx 2 p x, y dx, P x, y是关

6、于x勺奇函数.Li对于积分lQ x,y dy也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情形6、第一类曲面积分:若曲面 关于xoy坐标面对称，f x, y,z为 上的连续函数，i为位于xoy上侧z 0的部分曲面，贝S0,f x, y,z为Z的奇函数f x,y,zdS 2 f x,y,zdS, f x,y,z 为z的偶函数1曲面关于yoz,xoz坐标平面对称也有类似的性质。7、第二类曲面积分的对称性设函数P(x,y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在分片光滑的曲面 上连续，(1)设分片光滑的曲面关于xoy坐标面对称，且 在xoy上半空间的部分曲面i取上侧，在xoy下半空间的部分曲面

7、2取定下侧，则0,R x,y,z关于z是偶函数R x, y, z dxdy 2 R x,y,z dxcy,R x,y,z 关于z是奇函数1(2) 设分片光滑的曲面 关于yoz坐标面对称，且 在yoz前半空间的部分曲面i取前侧，在yoz后半空间的部分曲面2取后侧，则0,P x,y, z关于x是偶函数Px, yzdxcly2 P x, y, z cdz, P x,y, z 关于x是奇函数1(3) 设分片光滑的曲面 关于xoz坐标面对称，且 在xoz右半空间的部分曲面1取右侧，在xoz左半空间的部分曲面2取左侧，则0,Q x, y,z关于y是偶函数Q x，y，z dxdy 2 Q x,y,z dydz, Q x,y,z 关于y是奇函