二项式定理的性质

1、 二项式定理的性质二项式定理的性质学海导航:了解杨辉三角,掌握二项式的几个重要性质复习回顾复习回顾:二项式定理及展开式二项式定理及展开式: :二项式系数二项式系数1rnrrrnTC ab (0,1, )rnCrn 通通 项项011*()()nnnr n r rn nnnnna bCaCa bCa bC b n N (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4(a+b)5(a+b)6 =a + ba3+3a2b+3ab2+b3a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6a

2、b5+b6a2+2ab+b2二、新课(a+b)1 = 1a + 1b (a+b)2= 1a2+2ab+1b2 (a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3 (a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 (a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 (a+b)6= 1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6 (a+b)7= ? (a+b)8= ? (a+b)n= ?(a+b)1 _(a+b)2 _ (a+b)3 _(a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _(a+b)n+1_1

3、11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 C C C C 11n1rnrn1nn 1 C C C 111nrn1nn 1 杨辉三角杨辉三角(a+b)1 _(a+b)2 _ (a+b)3 _(a+b)4 _ (a+b)5 _ (a+b)6 _ (a+b)n _(a+b)n+1_1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 C C C C 11n1rnrn1nn 1 C C C 111nrn1nn 1 杨辉三角杨辉三角详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表 这样的二

4、项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似左面的表：111211331146411510 10511615 20 1561 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等性质性质1 1：对称性：对称性mnnmnCC 二二 项项 式式 系系 数数 的的 性性 质质kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 knC1Cknkkn1性质性质2 2：增减性与最大：增减性与最大值值2111nkkkn由：21nk 可知，当 时， 二项式系数是逐渐增大的，

5、由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 当当n= 6时时,其图象是其图象是7个孤立点个孤立点f（r）r63O615201nnnnnnCCCCba，展开式的二项式系数是）（210nrfrCrn，其定义域是），（为自变量的函数可看成是以从函数的角度看，210f（r）rnO6152012n2n212n20103035Onf（r）n为奇数212n当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值取得最大值 ；2nnC当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 和和 相等，且同时取得相等，且同时取得最大值。最大值。 21 nnC21 nnCn为偶数在二项式定理中，令 ，则

6、： 1 bannnnnn2CCCC210 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：nba)( n2同时由于 ，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式 性质性质3 3：各二项式系数的和：各二项式系数的和性质4:在在(a(ab)b)n n展开式中展开式中, ,奇数项的二项奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数的和. .)()()1()11(31203210 nnnnnnnnnnnnccccccccc 3120nnnncccc即： 3120nnnncccc例例1：求求(1+2x)8 的展开式中二项式系数最大的项的展开式中二

7、项式系数最大的项解：已知二项式幂指数是偶数，展开式共项，依二 项式系数性质中间一项的二项式系数最大，则： T5=C84(2x)4=7016x4=1120 x4三、例题解：依题意解：依题意, n , n 为偶数，且为偶数，且若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？例例2 2 已知已知 展开式中只有第展开式中只有第1010项系数最大，求第五项。项系数最大，求第五项。 nxx 43118,1012 nn4434184181451)( xxCTT43060 x 例、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + + a7x7 ,则(1)a1+a2+a3+a7=_(2)a1

8、+a3+a5+a7 =_分析：分析：求解二项式系数和时，灵活运用赋值求解二项式系数和时，灵活运用赋值 法可以使法可以使问题简单化。通常选取赋值时取问题简单化。通常选取赋值时取1，1。2 2、在、在(a(ab)b)1010展开式中，二项式系数最大展开式中，二项式系数最大的项是的项是( ).( ).1 1、在、在(a(ab)b)2020展开式中，与第五项二项式展开式中，与第五项二项式系数相同的项是系数相同的项是( ).( ).AA.A.第第6 6项项 B.B.第第7 7项项C.C.第第6 6项和第项和第7 7项项 D.D.第第5 5项和第项和第7 7项项CA.A.第第1515项项 B.B.第第16

9、16项项 C.C.第第1717项项 D.D.第第1818项项 此种类型的题目应该先找准此种类型的题目应该先找准r r的值，然后再的值，然后再确定第几项。确定第几项。注：四、练习 3.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为 A.8 B.9 C.10 D.11 4.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A.第2n+1项 B. 第2n+2项 C. 第2n项 D第2n+1项或2n+2项 5.若(a+b)n的展开式中，各项的二项式系数和为8192，则n的值为 （ ） A16 B.15 C.14 D.13AAD6已知已知(2x+1)10=a0 x10+ a1x9+ a2x8+a9x+ a10,(1)求求a0+ a1+ a2+ +a9+ a10的值的值(2)求求a0+ a2+ a4+ + a10的值的值 （2） 数学思想：函数思想a 图象、图表； b 单调性；c 最值。（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法（1 1）二项式系数的三个性质）二项式系数的三个性质对称性增