高二数学空间向量及运算人教版知识精讲

1、高二数学高二数学空间向量及运算空间向量及运算人教版人教版 1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。 2. 了解空间向量基本定理。 3. 掌握空间向量的数量积的定义及其性质的应用。重要知识点：重要知识点： 1. 共线向量定理： 对空间任意两个向量、，存在，使abbabRab ()/ /.0 2. 共面向量定理： 若，不共线，则向量与向量、共面存在实数 、 ，使abpabxypx ay b. 3. 空间向量基本定理： 若、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实abcp数组 、 、 ，使xyzpx ay bz c. 4. 两空间向量的数量积： ababab ，|cos

2、 性质： （ ），1aeaae|cos（ ）20abab （ ）32|aaa 运算律： （ ）1()()abab（ ）2abba（ ）3abcabac ()1、空间向量及其运算：（1）空间中的平行（共线）条件：/0,ab bxR axb （2）空间中的共面条件：共面（不共线）, ,a b c , b c ,x yR axbyc 推论：对于空间任一点和不共线三点、， ，则四点、OABCOPxOAyOBzOC 1xyzO、共面ABC（3）空间向量分解定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量, ,a b c pxaybzc （4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算若，则：111222,ax

3、 y zbxyz121212,abxxyyzz 111,axyz12121 2a bx xy yz z 注 1：数量积不满足结合律；注 2：空间中的基底要求不共面。2、空间向量在立体几何证明中的应用：（1）证明，即证明/ABCD/ABCD （2）证明，即证明ABCD0AB CD （3）证明（平面） （或在面内） ，即证明垂直于平面的法向量或证明与平面内的基底共面；/ABAB AB （4）证明，即证明平行于平面的法向量或证明垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；ABAB AB （5）证明两平面（或两面重合） ，即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；/（6）证明两平面，即证

4、明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。3、空间向量在立体几何求值中的应用：异面直线和的成角ABCDcoscos,AB CD 0,2直线和平面的成角（为ABn平面的法向量）sincos,AB n 0,2平面与平面的成角（，1n分别为两平面的法向量）2n 或12coscos,n n 12coscos,n n （需具体分析取哪一个）0,点到平面的距离（为平面的An法向量）（其中点为平面内任意一点）AB ndn B直线平面 （）的距AC/AC离转化为点到平面的距离A平面与平面（）的距离/（为平面的法向量）n转化为平面内的点到平面的距离异面直线和的距离（为ABCDn既垂直于也垂直于的向量）A

5、BCDAC ndn （可以用，即两直线上分别取一点）ACADBC BD 坐标形式下：两点间距离公式空间两点，的距离PQ基底形式下：若表示成，则可以得到：PQ 123xeyeze2123PQxeyeze 【典型例题典型例题】 例 1. 判断题 （ ）若，则、共面。1px ay bxyRabp() （ ）若、共面，则存在 ，使。2abpxyRpx ay b 解：解：（1）正确。（ ）错。当与不共线时成立。2ab 例 2. 的值（x、y、zR）若、是空间三面共面向量 且，求 、 、abcx ay bz cxyz,0 解：解：若，则xayxbzxc 0 这说明、共面，矛盾abc x0 同理，yzxyz

6、000 例 3. 若、不共面，那么，共面吗？abcabbcca()()() 解：解：假设，共面，则存在实数 、cbcaabxy 使 abx cby ac()()() cbac与不共线 即()()()110y ax bxy c 11yxxy与，不可能全为零abc、共面，矛盾 于是、不共面()()()abbcca 例 4. 若向量、，的起点相同，终点在同一平面内，abct abc()求 的值（）、不共面 。ttRabc() 解：解：设、，的起点为 ，终点分别为 、 、 、abct abcOABCD() 则、共面ABBCAD 于是存在实数 、 ，使与不共线xyABx BCy AD BCAD () 即

7、 bax cby t at bt ca() ()()()ytyaytxbytx c110 令1010013ytyytxytxt 例 5. 已知、两两之间的夹角为，模都为 ，求abcabc6012|. 解：解：|() ()abcabcabc2222 |cos|cos|cosabcabbcac22242604604605 |abc25 例 6. 若、互相垂直，求证为锐角三角形。OAOBOCABC O A C B 证明：证明： AC ABOCOA OBOA()() OCOBOCOAOAOAOB|2|OA20 cosACABA，于是为锐角0 同理可证B、C 均为锐角。 ABC 为锐角三角形。 例 7.

8、 已知在平行六面体 ABCDABCD中，AB=AD=3，AA=5，BAD=90，BAA=DAA=60。 （1）求证 ACBD； （2）AC的值。 D C A B D C A B 证：证：（ ）1 ACBDABBCCCADAB()() ABCCADCCBCABADBCABADAB |2 AB ADAB ADBCABAAADCC AB|cos|cos2260600 ACBD （ ）22|()()ACABBCCCABBCCC |()ABBCCCABBCABCCBCCC2222 3352 3560356073222(coscos) |AC73【模拟试题模拟试题】基础巩固题 1. 给出下列命题： （1）

9、a=“从南昌往正北平移 6km” ，b=“从北京往正北平移 3km” ，那么 a=2b； （2）；()()()()()abcadbacdR1 （3）把正方形 ABCD 平移向量 m 到的轨迹所形成的几何体，叫做正方体；A B C D （4）有直线，且，在上有点 B，若，则。llb/ /lABCAb 2Cl 其中正确的命题是（ ） A. （1） （2） B. （3） （4）C. （1） （2） （4） D. （1） （2） （3） 2. 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，下列关于的表达式中错误的是（ ）AC1 A. B. AAA BA D11111ABDDD C111 C. D. AD CC

10、D C111121111()ABCDA C 3. 以下四个命题正确的是（ ） A. 若，则 P、A、B 三点共线OPOAOB1213 B. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底abc、 、abbcca、 C. D. ABC 为直角三角形的充要条件是|() | | | | |a b ca b c ABAC0 4. 给出下列命题 （1）已知，则；a babccbab c ()() （2）A、B、M、N 为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么 A、B、M、N 共面；BABMBN、 （3）已知向量，则 a、b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；a b （4）已知向量是空间的一个基底，则基向量

11、 a 和 b 可以与向量构成空间另一个基底。abc， ，mac 其中正确命题的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 5. 如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a，点 E、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点，则 a2是下列哪个向量的数量积？（ ） A. B. C. D. 2BAAC2 ADBD2FGCA2EFCB A E F B D G C 6. 已知 a，b 是异面直线，且，CD=1，则 a 与 b 所成的角是（ ABaCDbAC bBD b， ，AB 2） A. 30B. 45C. 60D. 90 7. 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3，M 是 C

12、C1上一点且，N 是上一点且，P 为|CM 1DD1|DN 2的中点，则_。CA1| | |MNPMPN 8. 长为 4 的向量 a 与单位向量 e 的夹角为，则向量 a 在向量 e 方向上的投影向量为_。23 9. 在空间平移正ABC 到A1B1C1得到如图所示的几何体。若 D 是 AC 的中点。AA1平面 ABC，则异面直线与 BD 所成的角是_。AAAB121：AB1 A A1 D C1 C B B1 10. 设 OE 是以 OA，OB，OC 为棱的平行六面体的对角线，OE 交平面 ABC 于 M，试用向量法证明 M 是ABC 的重心。【试题答案试题答案】基础巩固题 1. C2. B3.

13、 B4. C5. B 6. C 提示：提示： ABACCDDB ABCDACCDDBCDABCDABCDABCD，()cos|112 适合用直角坐标系求解。 A B D a C b 7. 8. 9. 6010192 e 解解 1：设ABaAAa，12 ABBDABBBBDABBDaaa11203215034 ()cos 又，|cosABBDaaaABBDaaABBD12122133232343212120 解解 2：如图所示，为所求。AB E1 A A1 D E C1 C B B1 10. 证明：证明：设OAaOBbOCc， 取 BC 中点 D，连 DA，取DMDA13 即 M是ABC 重心，

14、下面证 M与 M 重合 OMODDMbcbcaabc()()1213121213 又在上，又平面OEabcOMOEMOEMABC13 MM与重合 故 M 是ABC 的重心。 A E B O D M M C 空间向量与立体几何单元测试空间向量与立体几何单元测试一、选择题（每题 5 分共 25 分）1在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异 面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为 czbyaxp其中正确命题的个数为 （ ） A0 B1 C2 D32已知a（2，

15、1，3） ，b（1，4，2） ，c（7，5，） ，若a、b、c三向量共 面，则实数 等于 （ ） A627 B637 C647 D657 3已知a+b+c0，|a|2，|b|3，|c|19，则向量a与b之间的夹角ba,为（ ）A30 B45 C60 D以上都不对4 已知ABC 的三个顶点为 A（3，3，2） ，B（4，3，7） ，C（0，5，1） ，则 BC 边上的 中线长为 （ ） A2 B3 C4 D55已知 i,j,ki,j,k 为单位正交基底，且的数量积等于与则bakjibkjia35,2,23（ ）A15B5C3D1二、填空题（每题 5 分共 20 分）6已知向量) 1 , 5 ,

16、3(a，)3 , 2 , 2(b，)3, 1, 4(c，则向量cba432的坐标为.7若 a a=(m1，n1,3)， b b=(m3,n3,9)且 a a 与 b b 平行，则m+n= 8设|m|1，|n|2，2mn与m3n垂直，a4mn，b7m2n， 则 9. 已知空间四边形 OABC,点 M,N 分别是边 OA,BC 的中点,且 OA=a,OB=b,OC=c, 用, ,a b c表示 MN= . 空间向量与立体几何单元测试答题卷空间向量与立体几何单元测试答题卷三、解答证明题10 （本题满分 15 分）如图，在棱长为 2 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间

17、直角坐标系 （1）写出A、B1、E、D1的坐标； （2）求AB1与D1E所成的角的余弦值 11. （本题满分 20 分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点 （1）求证：EF平面PAD； （2）求证：EFCD； C A D B O E C （3）若PDA45，求EF与平面ABCD所成的角的大小12. （本题满分 20 分）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：平面 BCD；AO （II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦；（III）求二面角 A-DC-B 的余弦值参考答

18、案1-5A DCBA 6(16,0, 19) 80 9. 1()2bca10.(15 分) 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2) (0, - -2, 2)，(0, 1, 2) AB1 ED1 |2，|，0242, AB12 ED15 AB1 ED1 cos ， AB1 ED1222 51010 AB1与ED1所成的角的余弦值为101011(20 分) 证：如图，建立空间直角坐标系Axyz，设AB2a，BC2b，PA2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P

19、(0, 0, 2c) E为AB的中点，F为PC的中点 E (a, 0, 0)，F (a, b, c)(1) (0, b, c)，(0, 0, 2c)，(0, EF AP AD2b, 0) () 与、 EF12 AP AD EF AP共面 AD又 E 平面PAD EF平面PAD(2) (- -2a, 0, 0 ) (- -2a, 0, 0)(0, b, c)0 CD CD EF CDEF(3)若PDA45，则有 2b2c，即 bc， (0, b, b)， EF(0, 0, 2b) cos ， ， 45 AP EF AP2b22b2b22 EF AP 平面AC， 是平面AC的法向量 EF与平面AC所成的角为： AP AP x C A B O D y z E 90， 45 EF AP12. 【解解】方法一：（I