医用高等数学[1]

1、医用高等数学1第一节第一节 多元函数多元函数一、空间解析几何简介一、空间解析几何简介二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、二元函数的极限与连续三、二元函数的极限与连续第四章第四章 多元函数微积分多元函数微积分医用高等数学1x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 过空间一点过空间一点 引三条两两相互垂直的数轴引三条两两相互垂直的数轴,就构成就构成空间直角坐标系空间直角坐标系.o医用高等数学1 三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.即当右手的四个手即当右手的四个手指从指从 轴正向转过轴正向转过 的角度指向的角

2、度指向 轴正向时，大拇指所指轴正向时，大拇指所指的方向就是的方向就是 轴的正向轴的正向.x2 yz 这三个坐标平面将空间分成八个部分这三个坐标平面将空间分成八个部分,每一部分称为一每一部分称为一个个卦限卦限.每两个坐标轴所在的平面每两个坐标轴所在的平面 、 、 称为称为坐标坐标平面平面.xoyyozxoz如下图所示如下图所示:医用高等数学1xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限医用高等数学1空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx特殊点的表示特殊点的表示:),(zyxMxyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR

3、)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C一一对应一一对应医用高等数学1设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知222212NMPNPMd空间两点间距离空间两点间距离医用高等数学1,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两

4、点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx 医用高等数学1解解 设与二定点设与二定点A和和B等距离的点为等距离的点为),(zyxM 例例4-1 求与二定点求与二定点 和和 等距离的点的等距离的点的轨迹方程轨迹方程.),(021A),(312BMBMA 依题意依题意所以所以22222231221)()()()()(zyxzyx化简化简,得得09622zyx 由平面直角坐标系中的直线方程由平面直角坐标系中的直线方程 ,可以可以类似地推到空间直角坐标系中的类似地推到空间直角坐标系中的平面的一般方程平面的一般方程为为0CByAx0DCzByAx医用高等数学1 球面方程球面方

5、程 在空间与一定点在空间与一定点 的距离为一定值的距离为一定值 的点的轨的点的轨迹称为迹称为球面球面.),(cbaA设设 为球面上的任意一点，则为球面上的任意一点，则),(zyxMRMA Rczbyax2222)()()(因此球面方程为因此球面方程为Rczbyax222)()()(即即特别特别, ,当球心在原点时当球心在原点时, ,球面方程为球面方程为2222RzyxMAxyzo常见的曲面方程常见的曲面方程R医用高等数学1圆柱面圆柱面222Ryx椭圆抛物面椭圆抛物面22yxzxyzoxzyo医用高等数学1.xzy0双曲抛物面双曲抛物面（马鞍面）（马鞍面）)0, 0( 2222babyaxz圆锥

6、面圆锥面222yxzzxyo医用高等数学1观察两个例观察两个例子子 例例4-3 一定质量的理想气体一定质量的理想气体,它的压强它的压强P和体积和体积V、绝、绝对温度对温度T之间的关系是之间的关系是VRTP （其中（其中R R是比例常数）是比例常数）这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系.二、多元函数的概念二、多元函数的概念 例例4-2 病人在进行补液时病人在进行补液时,补液量补液量N与正常血容量与正常血容量V、正常红细胞比容正常红细胞比容(单位容积血液中红细胞所占容积百分单位容积血液中红细胞所占容积百分比比)A及病人红细胞比容及病人红细胞比容B的关

7、系为的关系为)(BAVN1医用高等数学1),(yxfz 类似地可定义三元函数类似地可定义三元函数),(zyxfu 其中、其中、 为自变量为自变量, 为因变量为因变量,点集点集 称为函数称为函数的定义域的定义域.xDzy),(21nxxxfu )2( n二元及二元以上的函数称为多元函数二元及二元以上的函数称为多元函数. 元函数记为元函数记为nzz 定义定义4-1 设有三个变量设有三个变量 、 、 ,是是 平面上平面上的一个点集的一个点集.如果对于任意点如果对于任意点,变量按照一变量按照一定的法则总有唯一确定的值和它对应定的法则总有唯一确定的值和它对应,则称变量是变则称变量是变量、的量、的二元函数

8、二元函数,记作记作 xxyzDxoyDyxP ),(y医用高等数学1例例4-44-4 求求 的定义域的定义域.)ln(yxz解解 所求定义域为所求定义域为| ),(yxyxD自变量自变量 的取值范围称为函数的的取值范围称为函数的定义域定义域.),(yxxyoxy 无界开区域无界开区域医用高等数学11| ),(22yxyxD122 yx解解 所求定义域为所求定义域为例例4-54-5 求求 的定义域的定义域.)arcsin(22yxzxyo有界闭区域有界闭区域医用高等数学1| ),(12yxyxD解解 要使函数有意义要使函数有意义,必须同时满足必须同时满足例例4-64-6 求求 的定义域的定义域.

9、yxyz12所求定义域为所求定义域为0102yxy有界闭区域有界闭区域xyo1y2xy 医用高等数学1 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx 设函数的定义域为设函数的定义域为 ，对于任意取定的，对于任意取定的 ，对应的函数值为对应的函数值为 ，这样，以，这样，以 为横坐标、为横坐标、 为纵坐标、为纵坐标、 为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点 ，当，当 取遍取遍 上一切点时上一切点时,得到一个空间点集得到一个空间点集Dxyz),(zyxM),(yxDzDyxP ),( 这个点集称为二元函数的图形这个点集称为二元函数的图形.注意注意

10、：二元函数的图形通常是二元函数的图形通常是一张曲面一张曲面.医用高等数学1oxyzDpxy),(zyxM医用高等数学1三、二元函数的极限与连续三、二元函数的极限与连续 定义定义4-2 设函数设函数 在点在点 的某一邻域内的某一邻域内有定义有定义(点点 可以除外可以除外).如果当如果当 沿任何路径沿任何路径趋近于趋近于 时，函数时，函数 无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数 ,则则称称 当当 时时 ,以以 为极限，为极限，记作记作),(yxfz ),(000yxP),(000yxP),(yxP),(000yxP),(yxf),(yxf),(),(000yxPyxP（2）定义中）定义中 的方式是任

11、意的的方式是任意的.0PP 注意注意 (1)二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似;1.二元函数的极限二元函数的极限Ayxfyyxx),(lim00或或Ayxfpp),(lim0AA医用高等数学1例例4-74-7 求极限求极限 1100 xyxyyxlim多元函数的极限可以应用一元函数多元函数的极限可以应用一元函数求求极极限限的的法法则则解解1100 xyxyyxlim111100 xyxyxyyx)(lim)(lim1100 xyyx2医用高等数学1例例4-84-8 证明证明 022200yxyxyxlim解解 因为因为222222220yxyyyxxyxy

12、x又因为又因为02200yxyxlim0lim222yxyxyx所以所以医用高等数学1例例4-94-9 证明证明 不存在不存在 2200yxxyyxlim当当k取不同的值时取不同的值时,所得的值不同所得的值不同22220 xkxkxxlim21kk2200yxxykxyxlim证明证明 当当 沿曲线沿曲线 趋于趋于 时时kxy ),(yxp)0 , 0(所以所以 不存在不存在2200yxxyyxlim医用高等数学12.2.二元函数的连续性二元函数的连续性 定义定义4-34-3 如果二元函数如果二元函数 满足满足),(yxfz 则称函数则称函数 在点在点 处处连续连续.),(yxfz ),(00

13、0yxP(1) 在点在点 及其邻域内有定义及其邻域内有定义),(000yxP(2) 极限极限 存在存在),(limyxfpp0),(),(lim000yxfyxfpp(3) 如果如果 在区域在区域D内的每一点都连续内的每一点都连续,则称函数则称函数 在区域在区域D内连续内连续.函数的不连续点叫做函数的不连续点叫做间断点间断点.),(yxfz ),(yxfz 医用高等数学1例例4-104-10 讨论函数讨论函数00022),(,),(,),(yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性所以函数在所以函数在(0,0)处间断处间断因为因为 不存在不存在解解2200yxxyyxlim例例4-1

14、14-11 求函数求函数 的间断点的间断点. .122yxyxz 解解 函数在圆周函数在圆周 上函数没意义上函数没意义,所以圆周所以圆周上上 的点都是函数的间断点的点都是函数的间断点.122 yx122 yx医用高等数学1 二元初等函数：二元初等函数：由二元多项式及基本初等函数经过由二元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数表示的二元函数叫二元初等函数与一元函数类似与一元函数类似,关于二元函数的连续性有以下结论关于二元函数的连续性有以下结论:(1)有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数有限个连续函数