概率论与数理统计期末复习20题及解答

1、x .(3 )求X的概率密度.6、设随机变量X的概率密度为f(x)求：(1)常数a ； (2)P(0.5 X 1.5) ; (3)ax, 0 x0, 其它X的分布函数F(x).1,7、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为xy),x其它.求：(1)系数A ; ( 2)A(1 f (x, y)0,X的边缘概率密度 fX (x) ； (3)概率P(Y1, y 1;X2).&设二维随机变量(X,Y)的概率密度为1 ,0 x 1,0 yf(x, y)0,其它.2x;求：(1) (X,Y)的边缘概率密度fx(x) , fY(y) ； (2)概率P(X1,Y 1) ； (3)判断X , Y是否相互2独立

2、.9、设X和Y是两个相互独立的随机变量，X U0, 0.2 , Y的概率密度函数为0,0.5e 5y fY(y)0e(1)求X和Y的联合概率密度 f (x, y) ； (2)求概率P(Y X).概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有 2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电 话的概率.3、 已知将0,1两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1 ,且输出结果为原字符的概率为(

3、01).假设该信道传输各字符时是独立工作的现以等概率从“ 101”，“ 010 ”这两个字符串中任取一个输入信道求输出结果恰为“ 000 ”的概率.4、 试卷中的一道选择题有 4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的某考生如果会做这道题， 则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案设该考生会做这道题的概率为0.85 (1 )求该考生选出此题正确答案的概率；(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率.【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X的分布函数为F (x) A Barctanx,(1)求系数A及B ;(2)求X落在区间(1, 1)内的概率;【

4、第三章】数字特征10、设随机变量X的概率密度为f(x)(a b)x a(2 x) 0 ,b,0x1,1x2,其它，1已知 E(X) ，求：(1) a, b的值；(2)2E(2X3) 11、设随机变量X的概率密度为f(x)Ae2x0,求: (1)常数 A ； ( 2) E(X)和 D(X) (1 )求X,Y的数学期望E(X), E(Y)，方差D(X), D(Y) (2)求X,Y的协方差cov(X,Y)与相 关系数R(X,Y) 【第四章】正态分布13、 假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X (百分制)近似服从正态分布，已 知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总

5、数的 %. (1)试估计本次考试的不及格率(低于60分为不及格)；(2)试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.已知(1)0.8413,(1.5)0.9332 ,(2)0.977214、 两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X (单位：mm )表示轴的直径，随机变量 Y (单 位：mm )表示轴衬的内径，已知 X N(50, 0.32), Y N(52,0.42)，显然X与Y是独立的.如果轴 衬的内径与轴的直径之差在 1 3 mm之间，则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.已知 (2)0.9772【第五章】数理统计基本知识15、设总体X N

6、(0,1) , X1,X2, ,X5是来自该总体的简单随机样本，求常数k 0使k(X1 2X2)T1 t(3).vxI x： X5216、设总体X N(40, 52)，从该总体中抽取容量为 64的样本，求概率 P(| X 40 | 1).【第六章】参数估计17、设总体X的概率密度为C (X 2)f(x； )0,x 2,其它，其中参数（1）（2）0 设X1,X2, ,Xn是取自该总体的一组简单随机样本，xi,X2,Xn为样本观测值求参数求参数的矩估计量. 的最大似然估计量.18、设总体X的概率密度为f(x; )xe ，x 0；0,x 0,其中参数0设X1,X2, ,Xn是取自该总体的一组简单随机

7、样本，x1,X2,Xn为样本观测值（1）求参数的最大似然估计量.(2)你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说明理由19、矩形的宽与长之比为 0.618 （黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感画专用框架.根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为【第七章】假设检验.某工艺品厂生产矩形裱00.618的正态分布现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取标准差为s 0.093.试问在显著性水平25个样品，测得其宽与长之比的平均值为x 0.646,样本0.05水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压（高压）增高的副作用.临床统计表明，在服用此药的人群中 收缩

8、压的增高值服从均值为0 22 （单位：mmHg ,毫米汞柱）的正态分布.现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验 .现从该批志愿者中随机抽取 16人测量收缩压增高值， 计算得到样本 均值x 19.5（mmHg），样本标准差s 5.2（mmHg）.试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论（取显著性水平0.05）.解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有 2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率，C表示“经此换【解】设A表示“从甲袋移往乙袋的是白

9、球”，B表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”球过程后甲袋中黑球数增加”，则C AB，又 P(A) 4, P(B A)-76丄，于是由概率乘法定理得所求概率为2P(C) P(AB)p（a）p（ba）=7 12、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率.【解】 设Ai表示“此人第i次拨号能拨通所需电话”(i 1,2), A表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则A A1AA2，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为P(A) P(Ai AA2) P(A) P(AA2)191P(Ai) P(A)P(AA) - - - 0.2.1010 93、已知将0,1

10、两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1 ,且输出结果为原字符的概率为(01).假设该信道传输各字符时是独立工作的.现以等概率从“ 101”，“ 010 ”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“ 000 ”的概率.【解】设A1 :输入的是“ 101 ”，A2：输入的是“ 010 ”，B:输出的是“ 000 ”，贝yP(AJ 1/2 , P(A2)1/2 , P(B卜J (1)2 , P(B A2)2(1),从而由全概率公式得P(B) P(AJP(B A1) P(A2)P(B A2)1 2121(1)22(1 ) (1 ).2 2 24、试卷中的一道选择题有 4个答案可供选择，其中只有

11、 1个答案是正确的某考生如果会做这道题,则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案设该考生会做这道题的概率为0.85 (1 )求该考生选出此题正确答案的概率；(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率.【解】设A表示“该考生会解这道题” ，B表示“该考生选出正确答案”，则P(A) 0.85 , P(A) 0.2 , P(B A) 1 , P(B| A) 0.25.(1 )由全概率公式得P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B|A)0.85 1 0.2 0.250.9.(2)由贝叶斯公式得P(AB)込列迄口 0.944.P(B)0.918【第二章】 随

12、机变量及其分布5、设连续随机变量X的分布函数为F(x)AB arcta nx,x.(1)求系数A及B ; (2)求X落在区间(1,1)内的概率；(3 )求X的概率密度.【解】(1)由分布函数的性质可知F()lim F(x) AxB ()0,2F()lim F(x) AxB -1 ,2由此解得A11A, B -2(2) X的分布函数为1 1F (x)arctan x ( x ),2于是所求概率为P( 1 X 1)(3) X的概率密度为1111F(1) F( 1)(arcta n1) (arcta n( 1)f(x) F (x)1_(1x2)6、设随机变量X的概率密度为f (x) ax, 0 x

13、人 f(x) 0,其它，求：(1)常数 a ； (2) P(0.5 X 1.5); (3) X 的分布函数 F(x).【解】(1 )由概率密度的性质可知f(x)dx0axdx由此得(2) P(0.5(3) 当x 0时，有当0 x 1时，有当x 1时，有所以，X的分布函数为X 1.5)a 2.13/22xdx 0dx1/ 2 1xF(x) 0dx 0 ；2 1x20 0.75.1 /2F(x) 0dx QX2xdx x2 ;01xF(x) Odx 02xdx 1 0dx 1.0,x 0,F(x)x2, 0 x 1,1,x 1.7、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为A(1f (x, y)xy

14、),求：(1)系数A ; (2) X的边缘概率密度【解】(1)由联合概率密度的性质可知0, fx (x)(3)f (x, y)dxdy1dx11, y 1;其它.概率A(1P(Y X2) xy)dy 4A 1,由此得(2 )当1 x 1时，有fx(x)f(x,y)dy1-xydy 1 ;142当x 1或x 1时，显然有2252&设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x, y)1 ,0 x 1,0 y2x;0,其它.求：(1)(X,Y)的边缘概率密度 fX(x)， fY(y) ；(2)概率P(X1-,Y 1) ；(3)判断X, Y是否相互2独立【解】(1 )当0 x 1时，有2xfx(x)f(

15、x, y)dy 0 dy 2x ；当x 0或x 1时，显然有fx(x)0.于是X的边缘概率密度为fx(x)2x, 0 x0, 其它.1；当0 y 2时，有fY(y)f(x,y)dx1y dx122当y 0或y 2时，显然有fY(y)0.于是Y的边缘概率密度为fY(y)1上20 y 20,其它.1 1 1/2(2)P(X 2，Y1)- dy1 1/ 214 .f(x, y)dxdy dx0y/2所以X的边缘概率密度fx(X)fx(X)0 1/2,0,1 x 1;其它.(3)P(Y X2)f (x, y)dxdy1dx1x21x1 1 1(x14 2x2 ? 1)dx Z23(3)容易验证f (x

16、, y) fx(x)fY(y),故X与Y不独立.9、设X和Y是两个相互独立的随机变量,X U0, 0.2，Y的概率密度函数为(2)求X和Y的联合概率密度 f (x, y) ；(2)【解】(1)由题意知，X的概率密度函数为因为X和Y相互独立，故X和Y5e 5y, y0,0,y0.求概率P(YX).5,0 x0.2;0,其它.25e 5y0 x0,其它.fy(y)fx(X)f (x, y) fx(x)fY(y)0.2, y 0;(2)P(Y X)yf(x,y)dxdy (x0.2dxx25e ydy0025x5 0 (1 e )dx e【第三章】数字特征10、设随机变量X的概率密度为(ab)xb,

17、 0 x1,f(x)a (2x),1 x2,0J其它，1已知 E(X),求：(1) a,b的值；(2) E(2X 3).2【解】(1 )由概率密度的性质可知1 2f(x)dx0(a b)x bdx 1 a(2 x) dx又E(X)联立方程组xf (x)dx10(a b)x b xdx2i a(2 x)x dx a解得ba1,2b1a6213a -,b422!2，4f(x)dxAe2xA1 ,0dx2A2-2x2x11t 1 _、1x 2edxtedtr(2)02022E(X2)2x t a2e 2xdx一4t2eodtE(2X3)2E(X) 32-3211、设随机变量 X的概率密度为Ae 2x

18、 ,x0,f(x)0,x0.(2)由数学期望的性质，有求: ( 1)常数 A ；( 2)E(X)和 D(X).【解】(1 )由概率密度的性质可知4 .由此得(2)由数学期望公式得E(X)由于故利用方差计算公式得2 2 1 12 1 D(X) E(X ) E(X)-.412、设(X,Y)的联合概率分布如下:(1 )求X,Y的数学期望E(X), E(Y)，方差D(X), D(Y) . (2)求X,Y的协方差cov(X,Y)与相 关系数R(X,Y).P(X 0)1/4,P(X1)3/4P(Y 0)1/2,P(Y1) 1/2 ,1由01分布的期望与方差公式得E(X)3/4,D(X)3/4(11/4)3

19、/16 ,E(Y)1/2,D(Y)1/2(1 1/2)1/4 ,由(X,Y)的联合概率分布知E(XY) 00 1/40 10 1 C)1/4 11 1/41/2从而cov(X,Y)E(XY)E(X)日丫)1/2 3/41/21/8,【解】 由(X ,Y)的联合概率分布知X,Y服从0 1分布:R(X,Y)cov(X,Y)1/8、D(X) 、 D(Y) - 3/16. 1/4【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X (百分制)近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的 %. (1)试估计本次考试的不及格率(低 于60分为

20、不及格)；(2)试估计本次考试成绩在 65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.已知(1)0.8413,(1.5)0.9332 ,(2)0.97722【解】由题意，可设 X近似服从正态分布 N(75,).已知P(X 95) 2.3%，即95 7520P(X 95) 1 P(X 95)1()1()2.3%,由此得 (出)0.977，于是202 ,10，从而近似有 X N(75, 102).(1)P(X 60)(60 75)10(1.5)1(1.5)1 0.93320.0668,由此可知,本次考试的不及格率约为6.68% .(2)c、,857565 75、P(65 X85)()( )1010(

21、1)(1) 2 (1) 1 20.8413 10.6826 ,由此可知，成绩在 65分至85分之间的考生人数约占考生总数的 68.26% .14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X (单位：mm )表示轴的直径，随机变量 Y (单位：mm )表示轴衬的内径，已知X N(50, 0.32), Y N(52,0.42)，显然X与Y是独立的如果轴衬的内径与轴的直径之差在1 3 mm之间，则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.已知 (2)0.97722 250,0.30.4 ),Z即ZN(2,0.52) 于是所求概率为P(1 Z3)3 2(茁)2 (2) 11( )(2

22、) ( 2)0.52 0.977210.9544.【解】 设Z Y X，由X与Y的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知, X N(52【第五章】 数理统计基本知识15、设总体X N(0, 1) , X1,X2, ,X5是来自该总体的简单随机样本，求常数 k 0使k(X1 2X2)T 12) t(3).vx! x： X52【解】由X N(0, 1)知X12X2 N (0, 5)，于是 N (0,1),X1 2X2.5又由2分布的定义知2 (3),所以(X(X2X2)/ 5X12 2 23 X4 X5)/3X1 2X2 12一 t(3),1 222v X3 X4 X5比较可得k从而16、设总体

23、X 【解】由题设2N(40, 5 )，从该总体中抽取容量为40 ,64的样本，求概率 P(|X 40 | 1).P(|X4011)64，于是X5840 N (0,1)40|P(|X5/88P(|u| -)58)(1.6)2 0.945210.8904.【第六章】参数估计17、设总体X的概率密度为其中参数(1)(2)【解】2)e (x0,x 2,其它，0 设X1,X2, ,Xn是取自该总体的一组简单随机样本，x,X2, ,xn为样本观测值.求参数 的矩估计量.求参数 的最大似然估计量.f(x；)(1) E(X) xf(x, )dxx 2 t (x 2)xe dx210 (t 2)e Pt 2,令

24、 X E(X)，即 X2 ,解得参数的矩估计量为(2 )样本似然函数为L()nf(X,i 1上式两边取对数得ln L()上式两边对求导并令导数为零得dln L(解得2n，从而参数x 218、设总体X的概率密度为其中参数(1)(2)【解】nlnn(Xi1nXi2n)(1的最大似然估计量为f(x；)2n)，n(Xi 2n)i 10；0,0 设X1,X2, ,Xn是取自该总体的一组简单随机样本 求参数 的最大似然估计量.你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说明理由.(1 )样本似然函数为0,为，X2, Xn为样本观测值.上式两边取对数得求导数得令lnL( )0解得d(2)E(X)L(nf (Xi ,i 1lnL()nXi2n i 1x2eX/E(?)n 1空2 xie12nXi1nXi12nlnnIni 1XilndxE(f)X是的无偏估计.2L()2n12i 1于是参数丄2n i 1(32ex/11E(X)的极大似然估计量为Xidxt2e tdx11E(x)【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为 0.618 (黄金分割)时将给人们视觉上的和谐美感.某工艺品厂生产矩