因式分解知识点归纳

1、Company number : WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1) 提取公因式法:ma 4- mb + me = m(a +b + c)(2) 运用公式法：平方差公式：a2 -b2 =(a+b)(a-b):完全平方公式：a22ab + b2 =(a + b)2(3) 十字相乘法：x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b)因式分解的一般步骤：(1) 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)

2、提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；(3) 对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。(4) 最后考虑用分组分解法5、同底数幕的乘法法则:屮心=严“(加都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：(a + b)2.(a + h)3 =(a + b)56、幕的乘方法则：(am)n=amn ( mji都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘。如：(-35)2=3幕的乘方法则可以逆用：即严=(am)n = (an)m如：46 =(42)3 =(43)27、积的乘方法则：(ah)n=a,lbn (/是正整数)积的乘方，等于各

3、因数乘方的积。如：(-2x3y2Z)5 = (-2)5 X)5 .(y2)5 丁5 =一32卫5严尹8、同底数壽的除法法则:十=严”(心0,皿都是正整数，且同底数幕相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4(ab) = (abY=a3b39、零指数和负指数；泸=1 ,即任何不等于零的数的零次方等于1。厂=丄(“0,”是正整数)，即一个不等于零的数的-卩次方等于这个数的卩次方的 a倒数。：171如：2-3 = (-)3 =-10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对 于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意： 积的系数等于各因式系数的积

4、，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：一=11. 单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 ma + h + c) = ma + mb + me ( am,a,b.c 都是单项式) 注意： 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如 2x(2x-3刃一 3y(x+y

5、)12、多项式与多项式相乘的法贝!)；多项式与多项式相乘，先用多项捏的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相 加。(3a + 2b)(a 一 3b)如：“(x + 5)(x-6)三、知识点分析：1同底数幕、幕的运算： am.an=am+n(m “ 都是正整数).(泸)严伽，口都是正整数).例题 1.若 2-2 =64,则 a 二:若 27 x 3” = (-3)8,则 n=例题2.若5如=125,求(x-2)20W+x的值。例题 3.计算(x - 2y)(a-2b+3c-d) (a+2b-3cd)考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

6、因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是()A. x (ab) =ax-bxB. x2-l+y2=(x-l) (x+l)+y:C. xT二(x+1) (xT)D. dx+bx+c二x (d+b)+c2、若4a2+kab+9b2可以因式分解为(2a-3b)2,则k的值为3、已知a为正整数，试判断/+“是奇数还是偶数 已知关于x的二次三项式x2 +mx+n有一个因式(x + 5),且m+n=17,试求m, n的值 (2y-x)2 练习l. a2n =3,则(严=_.2设4=8巴且9J27叫则xy等于。2 积的乘方(ab)nV(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再

7、把所得的幕相乘. 例题 1.计算：(“ 一 p (w- n) (n - 加3. 乘法公式 平方差公式：(a + ba-b) = a2-b2 完全平方和公式：(a + b)2 =a2+2ab + b2 完全平方差公式：(a-b)2 =a2-2ab + b2 例题1 利用平方差公式计算：2009x2007-20082例题2利用平方差公式计算:200720072-2008x2006考点二提取公因式法提取公因式法：ma + mb + me = m(a +b + c)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式 找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数2、字母是相同字母3、

8、字母的次数-相同字母的最低次数习题1、将多项式20a3b2-2a2bc分解因式，应提取的公因式是()A、ab B、4a2b C 4ab D、4a2be2、已知(19x - 31)(13x -17) - (13 -17)(1 lx - 23)可因式分解为(or + b)(8x + c),其中 a, b, c均为整数，则a+b+c等于()A、-12 B、-32C、38D、723、分解因式(1) 6a(a + b)- 4l)(a + b)(3) 一旷+厂(2) 3a(x-y)-6b(y-x)(4) (-3严1+(-3严。4、先分解因式，在计算求值(1) (2x-1)2(3x + 2) (2x 1)(

9、3x + 2)2-x(1 2x)(3x + 2)其中 x二(2) (d 2)(/+“ + 1)-(/一1)(2-“)其中 a=18 5x已知多项式x4+2012x2+201Lv + 2012有一个因式为x2+cix + ,另一个因式为 x2 +bx + 2012 ,求 a+b 的值6、若d，+l = O,用因式分解法求-ab(a2b5 - ab3 -b)的值7、已知 a, b, c 满足 db + d+Z? = /?c+/? + c = ca + c + d = 3 ,求(a + l)(b + l)(c + l)的值。 (a, b, c都是正整数)考点三、用乘法公式分解因式平方差公式 a2-b

10、2 =(a + b)(a-b)运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反 习题1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A、x2 +4y2 B、x2 -2y2 +1 C、-x2 +4y2 D、-x2 -4y22、分解下列因式(1) 3十-12(2) (x + 2)(x + 4) + /-4(3) (x+y)2-(x-y)2(4) x3-xy2 (5) (a-b)2-(6) 9(a-b)2 -30(a2 -b2) + 25(a+b)2 2009x20112010213、若n为正整数，则(2 + 1)2 -一I)? 一定能被8整除 完全平方式 a2 2ab +

11、b2 = (ab)2运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特 点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。习题1、在多项式x2 + 2xy-y2-x2+2xy-y2x2 + xy+y2Ax+lMx中，能用完全平方公式分解因式的有()A、 B、C、 D、2、下列因式分解中，正确的有() 4a-a3b2 =a(4-a2b2) xy-2xy+ xy = xy(x-2) -a + ab-ac = -a(a-b-c) 2 2 29abc 一6ab = 3abc(3 一 2a) -x2y + xy2 = xy(x + y)A、0个 B、1个 C、2个 D、5

12、个3、如果F+2W-3)x + 16是一个完全平方式，那么m应为()A、-5 B、3 C. 7 D、7 或1(3) + 2对x4、分解因式(1) mx2 -+ 2m(2) 2a2 -4“ + 2(4) (2x + 3)2-(x-3)2(5) Sx2ySxy + 2y(6) (x2-2xy)2 +2y2(x2-2xy)+y4(7) 4x: 12xy+9y4x+6y-35、已知血=2, ab = 2,求詁+曲+*戻6、证明代数式F + F_10x + 8y + 45的值总是正数 7、已知6 b, c分别是MBC的三边长，试比较(/+庆一刊2与的大小 考点四、十字相乘法2(1)二次项系数为1的二次三

13、项式x + Px + cl中，如果能把常数项9分解成两个因式9“、b的积，并且a + b等于一次项系数“的值，那么它就可以把二次三项式2 + q分解成例题讲解1、分解因式：疋+5.丫 + 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6二2X3二(-2)X(-3) =1X6= (-1)X(-6),从中可以发现只有2X3的分解适合，即-5+3=51 2解：x 4- 5x + 6 + (2 + 3)x + 2x313= (x + 2)(x + 3)1X2+1X3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于 一次项的系数。例题讲解2、分解因式：疋一7兀

14、+ 6解：原式=x2 +(-l) + (-6)x + (-l)(-6)-1= (x-l)(x - 6)1-6(-1) + (6) = 7练习分解因式 x2 +14X + 24(2) / _15 + 36(3) x2 +4x-5(4) x2 +x-2(5) y2-2y-5(6) x2 -10x-242、二次项系数不为1的二次三项式 条件：(1) a = axa2(2) c = CjC2(3 ) b = (12 + 2C1b = jC2 + 2C1分析:(一6) + (5) = -11分解结果：ax2 + /zr + c = (rVjX + c?! )(a2x + c2) 例题讲解1、分解因式:3

15、x2-11x + 10解：3亠11兀 + 10二(2)(3_-5)分解因式：(1)5x2+7x-6(2) 3x2-7x + 2(3) 10x2-17x + 3(4) -6y2+lly + 103、二次项系数为1的多项式例题讲解、分解因式：/一8肋-12松分析：将b看成常数，把原多项式看成关于d的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。8b-16b8b+(-16b)二 -8b解：a2 一&ib-2Sb2=a2 + Sb + (-i6b)a + Sbx (-16b)=(a + Sb)(a -16b) 分解因式 x2-3xy + 2y2(2) m2-6mn + 8n2(3) a2-ab-6b24、二次项

16、系数不为1的多项式 例题讲解 2x2 -7xy + 6y2_2y3y (-3y) + (-4y)二 7y 解：原式二(x-2y)(2x 3y)x2y2 -3xy + 2-1-2(-1) + (-2)二-3解：原式=(xy-l)(xy-2)分解因式:(1) 15x2 +7xy-4y2(2) a2x2 -6ax + S考点五.因式分解的应用1、分解下列因式(1) 3/一3(2) x3r-4x(3) P + 6妒 一27x(4) “2 一，一2b 12、计算下列各题(1) (4/一4 + 1)十(26/ 1)(2) (a2 + Z?2 -c2 -2ab)3、解方程(1) 16(x +1)2 = 25(% 一 2)2(2) (2x + 3)2 = (2x + 3)4、如果实数Zb,且巴凹=伫乜，那么a+b的值等于lOb + a h + u 1-2232-4252-6220092-20102201 12-201225、 1h+ +1 + 23 + 45 + 62009 + 20102011 + 20126、若多项式x2+ax-2能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数 a的值(写出3个)7、先变形再求值（1）已知 2x-y = f xy = 4f 求 2x