全国初中数学竞赛试题及答案(2001年)[1]

1、中国数学教育网中国数学教育网 http:/ 第 1 页 http:/ http:/共 3 页2001 年全国初中数学联赛一、选择题（每小题 7 分，共 42 分） 1、a，b，c 为有理数，且等式成立，则62532cba2a+999b+1001c 的值是（ ）（a） 1999（b）2000（c）2001（d）不能确定 2、若，且有 5a2+2001a+9=0 及，则的值是（ 1ab05200192bbba） （a）（b）（c）（d）59955200192001 3、已知在abc 中，acb=900，abc=150，bc=1，则 ac 的长为（ ） （a）（b）（c）（d）32 32 3023

2、4、如图，在abc 中，d 是边 ac 上的一点，下面四种情况中，abdacb 不一定成立的情况是（ ） （a） （b）bdabbcadacadab2 （c）abd=acb （d）bdacbcab 5、在实数范围内，一元二次方程的根为；02cbxaxaacbbx242在abc 中，若，则abc 是锐角三角形；在abc 和222abbcac中，a，b，c 分别为abc 的三边，分别为的三边，若111cba111,cba111cba，则abc 的面积 s 大于的面积。以上三个命题中，111,ccbbaa111cba1s假命题的个数是（ ） （a）0（b）1（c）2（d）3 6、某商场对顾客实行优惠

3、，规定：如一次购物不超过 200 元，则不予折扣；如一次购物超过 200 元但不超过 500 元的，按标价给予九折优惠；如一次购物超过 500 元的，其中 500 元按第条给予优惠，超过 500 元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款 168 元和 423 元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ） （a）522.8 元（b）510.4 元（c）560.4 元（d）472.8二、填空题（每小题 7 分，共 28 分） 1、已知点 p 在直角坐标系中的坐标为（0，1） ，o 为坐标原点，中国数学教育网中国数学教育网 http:/ 第 2 页 http:/ http:/共 3 页

4、qpo=1500，且 p 到 q 的距离为 2，则 q 的坐标为 。 2、已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 p，则点 p 到两圆外公切线的距离为 。 3、已知是正整数，并且，则= yx,120,2322xyxyxxyy22yx。 4、一个正整数，若分别加上 100 和 168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 。三、解答题（共 70 分） 1、在直角坐标系中有三点 a（0，1） ，b（1，3） ，c（2，6） ；已知直线上横坐标为 0、1、2 的点分别为 d、e、f。试求的值使得baxyba,ad2+be2+cf2达到最大值。 （20 分）（1） 证明：若 取任意整数时，二次函

5、数总取整数值，那么xcbxaxy2都是整数；cbaa,2（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。 （25 分） 3、如图，d，e 是abc 边 bc 上的两点，f 是 bc 延长线上的一点，dae=caf。 （1）判断abd 的外接圆与aec 的外接圆的位置关系，并证明你的结论；（2）若abd 的外接圆的半径的 2 倍，bc=6，ab=4，求 be 的长。解答题：1、如图，efgh 是正方形 abcd 的内接四边形，两条对角线 eg 和 fh 所夹的锐角为，且beg 与cfh 都是锐角。已知 eg=k，fh= ，四边形 efgh 的面l积为 s。 （1）求证：sin=；kls2 （2）试用来表示正方形的面积。slk ,2、求所有的正整数 a，b，c，使得关于 x 的方程，0232baxxb b楃楃d da ab bc cd de ef fg gh h o o中国数学教育网中国数学教育网 http:/ 第 3 页 http:/ http:/共 3 页， 0232cbxx的所有的根都是正整数。0232acxx 3、在锐角abc 中，adbc，d 为垂足，deac，e 为垂足，dfab，f 为垂足。o 为abc 的外心。 求证：（1）aefabc； （2）aoef 4、如图，在四边形 abcd 中，ac