第八章λ矩阵

1、第八章-矩阵教学目的：使学生熟练掌握矩阵的基本理论，会求矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等，掌握矩阵相似的条件，并能利用矩阵理论解决若当标准形的问题。教学重点：-矩阵基本理论；矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等求法；矩阵相似的条件。教学难点：矩阵基本理论；矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等求法；矩阵相似的条件。教学方法：讲授，习题与讨论。教学时数：课堂教学12学时，习题课6学时，讨论课2学时。由第七章的讨论我们知道，方阵未必能对角化，那么方阵能相似于什么样的最简单形式的矩阵呢？本章用-矩阵的知识证明了：复n级矩阵A都相似于若当标准形-矩阵的理论和若当标准形不

2、仅在矩阵理论、矩阵计算中起着十分重要的作用，而且在微分方程、力学、控制论等学科具有广泛的应用1-2 -矩阵及其在初等变换下的标准形一、-矩阵定义1.1设aij()(i=1，2，m，j=1，2, ，n)是数域F上一元多项式，以aij()为元素的mn矩阵A（）称为多项式矩阵或-矩阵多项式aij()(i=1,2,m,j=1,2, ,n)中的最高次数称为A（）的次数注：（1）数字矩阵是-矩阵为了区别，数字矩阵是用A，B，C，等表示，-矩阵用A（），B（），C（），等表示数域F上m行n列-矩阵的全体记为（2）如果-矩阵A（）且其次数为k，则A（）可以表示成为矩阵为系数的多项式A（）AkkAk-1k-1+

3、AA0（1）其中Ai(i=0,1,2,k)是mxn数字矩阵，并且Ak0（1）式右端称为矩阵多项式（3）矩阵多项式是以数字矩阵为系数的多项式，而多项式矩阵是以一元多项式为元素的矩阵显然，两个mxn的-矩阵A（）与B（）相等的充要条件是，它们化成的矩阵多项式相等，即对应项的系数矩阵相等（4）由于多项式可以作加法、减法、乘法，并且它们与数的运算有相同的运算律，因此可以仿照数字矩阵定义-矩阵的行列式，一般的-矩阵的行列式是的多项式-矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相同的性质例如对于任意两个n阶-矩阵A（）与B（），总有有了-矩阵行列式的概念，还可以定义-矩阵的子式，代数余子式，对于n阶-矩阵还可以定义

4、伴随矩阵定义1.2如果-矩阵A（）有一个r级子式不为零，而所有的r1阶子式全为零，则称A（）的秩为r，记为r(A(),零矩阵的秩规定为零，例如，若A是数字矩阵，是的n次多项式，从而A的特征矩阵E-A是满秩的再如， =存在一个2级子式不是0，故； 的秩为3 。定义1.3设A（）是n阶-矩阵，如果存在n阶-矩阵B（），使A（）B（）B（）A（）E （2）则称A （）可逆，并称B（）是A（）的逆矩阵容易证明，适合（2）的B（）是唯一的，仍记A（）1B（）定理1.1 设A（），则A（）可逆的充分必要条件是是非零常数证 若A（）可逆，则存在n阶-矩阵B（）使A（）B（）E两边取行列式，得1，由，都是的多

5、项式，故其次数为零，即是非零常数反之，设d，d是非零常数，A（）的伴随矩阵是A*（），则A*（）是n阶-矩阵，并且A（）A*（）A*（）A（）E因此A（）可逆，且A （）-1A*（）.二、-矩阵的初等变换定义1.4 下列三种变换称为-矩阵的初等变换：1）换法变换：交换-矩阵的两行（列）；2）倍法变换：将-矩阵的某一行（列）乘以非零常数c；3）消法变换：将-矩阵的某一行（列）的（）倍加到另一行（列）上，其中（）是的多项式与数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵，将单位矩阵的第i，j两行互换位置得到的初等矩阵仍用P（i,j）表示；用P（i(c)）表示用非零常数c乘E的第i行所等到的初等矩阵；将单

6、位矩阵的第j行的（）倍加到第i行上用P(i,j()表示。i行j行P(i,j()= 初等变换与初等矩阵的关系仍然是：对一个mn阶-矩阵A（）作一次初等行变换相当于A（）左边乘上一个相应的m阶初等矩阵；对A（）作一次初等列变换相当于A（）右乘一个n阶初等矩阵易知初等矩阵都是可逆的，并且有P（i,j）1P（i,j）,P(i(c)-1=P（i()）,P（i,j()）-1=P(i,j(-)定义1.5 设A（），B（），如果A（）经有限次初等变换化为B（），则称A（）与B（）等价，记为A（）B（）由初等变换可逆性易知，-矩阵的等价具有反身性、对称性、传递性现在讨论-矩阵在初等变换下的标准形，为此，先引进下

7、面的引理引理 设-矩阵A（）（aij()）左上角元素a11（）0，并且A（）中至少有一个元素不能被a11（）整除，那么存在一个与A（）的等价的-矩阵B（）（bij（）,使b11（）0,（b11（）（a11（）证 设a11（）不能整除某个aij，按aij的位置分三种情况讨论1） 设j=1,即第一列中有一个元素ai1不能被a11整除，由带余除法定理知，存在q（），和r（），使ai1（）=a11（）q（）+r（）, (r（）) (a11（）)对A（）作下列初等变换A（） =B()则B（）为所求.2）若i=1,这种情况的证明与1）类似.3）若i1,j1,即第一行，第一列的元素都ce 被a11整除，设a

8、i1=a11（）（）对A（）作下述初等变换A（）=A1()矩阵A1（）中的元素aij（）+a1j（）(1-（）)不能被左上角元素a11整除，这就化为情况2）.定理1.2 任意一个秩为r的-矩阵A（）（aij()）mn都等价于形如(2)的矩阵，其中d1(),dr()是首项系数为1的多项式，且满足di()di+1(),(i=1，2，,r-1)称（2）为A（）的标准形（normal form），也称为史密斯标准形（Smith normal form）证 若r0，则A（）是零矩阵，结论显然成立.现在设r0,不妨设a11()0,否则可以通过交换A（）的行、列，总能使左上角的元素非零.如果a11()不能整

9、除A（）的所有元素，由引理存在B1（）（bij()）与A()等价，且（）（b()）,如此进行下去，得到两个序列A（）B1() B2() (3)（）（b() （b() (4)由次数非负，上述过程不能无限进行下去，设经过S步终止，即存在Bs()A(),且b（）整除Bs（）的所有元素，设bij()=b() qij()将Bs()的第一行乘-qi1()， (i =2，3，m)依次加第2,3，m行，然后将第一列乘-(j=2, 3,n)依次加到2，n列，最后将第一行除以b()的首项系数，得由A1（）中的元素都是()中元素的组合，故d1（）整除A1（）的全部元素若A1（）0，结论已真.若A1（）0，则对A1（

10、）重复上面的过程，进而把A（）化为其中d1(),d2()是首项系数为1的多项式，d1()整除d2(),d2()整除A2()的所有元素，如此进行下去，最后A()化为了标准形例1 用初等变换把-矩阵A() 化为标准形解A() 3 不变因子上节证明了-矩阵都等价于标准形，自然产生一个问题：标准形唯一吗？本节就来解决这个问题首先引进行列式因子的概念定义3.1 设入矩阵A（）的秩为r，对于不大于r的正整数k，A（）的k级子式的首一的最大公因式称为A（）的k级行列式因子（determinant divisor）,记为Dk（），A（）所有的行列式因子称A（）的行列式因子组由行列式按行(列)展开定理，k阶行列

11、式可以分解成k-1阶行列式的组合，因此，Dk-1()整除 Dk (),即低阶行列式因子能够整除高阶行列式因子对于数字矩阵而言，行列式因子都等于1，因而行列式因子的概念对数字矩阵意义不大例1 计算标准形矩阵A（） （1）的行列式因子，其中di()是首一多项式，且di()|di+1()（i=1,2,r-1）解 若A（）的k级子式包含的行标和列标不完全相同，则子式必有一行为零，从而此子式为零，只要看由i1，i2，,ik行与i1,i2,ik列 (1i1 i20)为A的初等因子（elementarg divisor）A的所有初等因子（重复的按重数计算）称为A的初等因子组由定义,初等因子是被不变因子确定的

12、例1 设12级矩阵A的不变因子组是，（1）2，（1）2（1），（1）2（1）（21）2由初等因子的定义，A的初等因子组是（1）2,（1）2，（1）2，1，1，（i）2，（i）2其中（1）2出现三次，1出现二次注意：所有初等因子次数的和等于该矩阵的阶数（证明留给读者）由初等因子能否确定不变因子呢？先看一个例题例2 已知矩阵A的初等因子组为，2，i, i，（i）2，（i）2，1 (1)求A的不变因子组.解 由初等因子组的次数之和为11，从而A是11阶矩阵先求最高次不变因子d11(),由关系式（1），不变因子应是不同的初等因子的乘积，最高次的不变因子d11（）是其余不变因子的倍式，故它是次数最高的不

13、同初等因子的乘积，从而d11（）2（i）2（i）2（1）类似地，剩下的次数最高的初等因子相乘，并继续下去D10（）（i）（i），D9（）由于初等因子已用完，剩下的不变因子都是1，d8()=d1()=1例2可以推广到一般情况，如果知道矩阵A的初等因子组，首先确定A的阶数n，它等于所有初等因子次数之和，然后将初等因子按降幂排成下表， ， ， ， ， 某一列不足n个时补上1，则di()= ，是A的第i个不变因子由上述讨论可以得命题4.1 n级数字矩阵A的第n个不变因子dn（）是A的所有初等因子的最小公倍式上述讨论还说明，矩阵A的不变因子组与初等因子组相互唯一确定，因而有定理4.1 两个n级数字矩阵相

14、似的充要条件是它们有相同的初等因子组初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量，但初等因子有一个优点，其计算反而容易些，介绍这种方法之前，先看两个引理引理4.1的证明留给读者.引理4.1 如果多项式f1(),f2()都与g1（），g2（）互素，则f1()g1(), f2()g2()）=(f1(),f2()(g1()g2()引理4.2 设A(), B()如果f1(), f2()都与g1(), g2()互素，则A()B()证 显然A()与B()的二级行列式因子相同，A()和B()的一级行列因子分别是D1()（f1()g1(), f2()g2()）=( f1(),f2()( g1(),g2()1()（f

15、2()g1(), f1()g2()）=( f1(),f2()( g1(),g2()因此D1()1()，故A()与B()等价定理4.2 设A是n阶矩阵，首先将A的特征矩阵EA用初等变换化为对角形，然后将主对角线上的元素表示成标准分解式，则标准分解式中所有一次因式的方幂就是A的初等因子组证 把EA用初等变换化为对角矩阵D() 其中每个hi()是首一多项式，为了便于讨论，hi()表示成一次因式的方幂hi()，（1）这里 kij0,i1，2，n，j=1，2，r我们现在证明，对于每一个相同的一次因式的方幂, ,，,在D（）的主对角线上按升幂排列后，得到一个新的对角矩阵（），则（）是EA的标准形，因而所有

16、不为1的是A的初等因子组先对1的方幂进行讨论，令gi()= ，i=1,2,n则= i=1，2，n显然与(j=1，2，n)互素，如果相邻的一对指数ki1ki1，1，由引理2，两个-矩阵 从而D（）D1（）=对D1（）再作如上讨论，并且继续下去，直到对角矩阵主对角线上1的方幂按升幂排列为止，依次对2，r，的方幂作同样的处理，最后得到与D（）等价的对角矩阵（），（）的主对角线上每一个一次因式j的方幂均按升幂排列，故（）是EA的标准形，因此（1）式的(kij0)都是A的初等因子5 若当标准形两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子组，因此讨论一个矩阵能相似于什么样的最简单的矩阵，只要研究给定一个初

17、等因子组，能够确定什么样的最简单的矩阵，这就是相似标准形问题这是一个既有理论意义又有应用价值的问题定义5.1下三角形矩阵称为若当块（Jordan black）由若当块构成的准对角形矩阵称为若当形矩阵 命题5.1 若当块J k ( 0)的初等因子组是(- 0) k. 证若当块J k ( 0)的特征矩阵是，从而的n级行列式因子Dk()=(-0)k,由的一个子式,故Dk-1()=D1()=1.于是其不变因子是, ,因而J k ( 0)的初等因子组是(- 0) k命题5.2若当形矩阵的初等因子组是,.证由命题5.1 的初等因子是(i=1,2，n),不变因子是,因此E的标准形是（2）于是E与（2）等价因

18、此与等价由定理4.2J的初等因子组是.定理5.1每个n级复矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，被矩阵A唯一确定它称为A的若当标准形（Jordan canonical form）证设n级矩阵A的初等因子组是 (3)这里1，2，s是复数，k1+k2+Ks= n.由命题5.2若当形矩阵的初等因子组也是（3），因此A相似于J如果A与另一若当形矩阵J相似，则J与J有相同的初等因子组，因而J与J有相同的若当块，那么它们至多有若当块的排列顺序的差别 定理5.1换成线性变换的语言就是定理5.2设是复数域上的n维线性空间V的线性变换，则在V中必定存在一个基，使在这个基下的矩阵是若当形矩阵并且这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被唯一确定的证设在V的基1, 2，n的矩阵是A，由定理5.1，则存在可逆矩阵P使得P1APJ，J是若当形矩阵令( 1 ，2，n ) = (1，2 ，n) P则在基