贝叶斯统计第二版茆诗松汤银才编著

1、第一章先验分布与后验分布1.1 解：令 10.1, 2 0.2设A为从产品中随机取出8个,有2个不合格,P(A 1)C；0.120.960.1488P(A 2)C；0.220.860.2936从而有P(A1) ( 1)P(A|J ( 1)P(A| 2) ( 2)(i A)0.4582P(A 2) ( 2)A)P(A 1) ( 1) P(A 2)(2)0.54181.2 解:令 11, 2 1.5设X为一卷磁带上的缺陷数，则P()P(X3e3!P(X3) P(X 31) ( 1) P(X2) ( 2)0.0998从而有X 3)X 3)1)-0.2457P(X 3)P(X 3 2) ( 2)220

2、.7543P(X 3 J (1.3 解:设A为从产品中随机取出P(AP(X 3)8个，有3个不合格，则)C 3(1)5(1) 由题意知()1,0从而有 (A)P(A )()10P(A ) ( )d5043(1)5,0(2)( A)P(A )()10P(A ) ( )d470403(1)6,01.5解：由已知可得P(x)1,0.5 x0.5120()10m(V)6 丄 d11.5 10从而有0.011.6V)P(x| )vm(x)O 10,11.5证明：设随机变量X : P(P(xx)x!11.6因此x) P(x )?(所以x : Ga(x ,11.7 解:(1)由题意可知因此m(x)因此(x)

3、P(x)() m(x)(2)由题意可知的先验分布为Ga(,x 1(1e1,01 2x令？1dx 212,x2(1x)，其中为已知,/、12Xcc 2 1m(x)0 2?3 d6xP(x )()m(x)1.8解：设A为100个产品中3个不合格,P(A )因此(x)1,0C00则3(1)97由题意可知()能(1)199,0因此(A) P(A )? ( )3(1)97 (1)1994 (1)296由上可知A: Be(5,297)1.9解：设X为某集团中人的高度，贝U X : N( ,52)采 N( Go)(176.53)2PE荷e由题意可知()ex/5.08(172.72)25088又由于X是 的充

4、分统计量，从而有因此(V)(|x)p(x )?()(176.53)2(172.72)2e 5?e5.08(174.64)22 1.26v： N(174.64,1.26)1.10证明：设:N(u, 2),其中u,2为已知又由于X是的充分统计量，从而有(V)(|x) p(x| )?(X )22丄 e 25 e 2u)2225 x u 27)因此x: N(5 11 )又由于2512 25所以的后验标准差一定小于11.11解：设X为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则X : U (0,)p(x )丄,0 xm(x)8 时，p(x )8192从而有(V)p(v )()v m(x)3128 71.12

5、证明：由题意可知P(X ),0 X,i从而有（冈（v）P(X )?因此1.13的后验分布仍是 解：由题意可知Pareto 分布。1451.15解:(1)设的先验分布为其中，为已知由题意可知p(x )P(Xi ),Xi0,i从而有(X)p(v)?(因此所以(3)1.16vx : Ga(nnx)i 1Ga（,）是参数的共轭先验分布由题意可知0.00022 0.00010.00042解：设 X : N( 1,2) N( 2-)p(x2)(X)2122P(Vn2%n(X 1)2i 1由题意可知1Mo”从而有因此Xp(v2 (nnn22 1 XXii 1i 11.19证明:的先验分布为X : P(P(x

6、Xex!p(x )P(Xini1 e nnXi!i 1从而有P(v)?nxii1 e n第二章贝叶斯推断2.1 解:由题意可知1,0设X1,X2,.,Xn是从随机变量X中抽取的随机样本,P(vnP(Xii 1)n(1n)i11从而有所以v vXP(X )?nVx : Be(n 1,Xi1)(1)由题意可知n=1,x=3n(1n)i1 ,0i 1x: Be(2,4)? 21E24 3(2) 由题意可知 n 33,x22,x35x : Be(4,11)?44E 4 11152.2解：设X为银行为顾客服务的时间，则P(x设 的先验分布为Ga(,)，则0.20.040.2由题意可知x 3.8V P(V

7、从而有)?因此有x： Ga(所以有? E( v)E(1 x)丿 0n 1nxen, nx) Ga(20.04,76.2)沁 0.2676.2 nnxnx代 4.002Xii1 e2.3解：设X为磁带的缺陷数，贝U X : p()V3P(x ) P(x )i 1从而有 V p(x )xi1 e 3 2e10e 4因此X : Ga(11,4)MSE(?E) Var( X)音2.4解：设X为n个产品中不合格数，则X : bin(n,)由题意可知4(1)9,0(1)由题意可知X : bin(20,)p(x )3(1 )17X) p(X )?3(1)? 4(1)97(1 )26因此X : Be(8,27

8、)X) 7 6(1)26 26 7(1)250所以?MD733(2)由题意可知XP(x)(1)20(XP(X)?因此X:Be(8,47)所以?MD7 ?53, E2.5解:设X :N( ,2令0224nn设:N(u,1)，贝U2其中U1022 X011121202又(，且 X： N(m,；)1:bin(20,)且222 u0_855：2)，则 2227(1 )26?(17(1)26)207(1 )46MSE(?E) Var( X)/0.1n 42.6解：设X为1000名成年人中投赞成票的人数，则 X : bin( 1000,)(1)由题意可知 p(710 )710710C1000(l)290,

9、0a.710p(710 )?710(1)290711 、290(1)1710: Be(712,291)b.710p(710 )?710(1)290713(1)290710: Be(714,291)(2)a. ? E(712b.? E(710)712 2917140.7098(3)由题意可知a.x p(x710)p(x )? A714 291C爲。x(1x(10.7104)1000 x,0)1000 xx 1(1)1000 xx: Be(x 2,1001 x)b. E( x)1003p(x )? Bx(11000 x 3/ x3(1)1000 x気 E( x)x: Be(x 4,1001 x)1

10、005? _ x 2 x 4EA- EB =-1003 10052.7解：由题意可知p(x-,0 xp(x ),0 x ,i1,2,.,n令 1 max 0, x!,x2,., xn，则m&)p(x )?(n )从而有E(x)E(X)MSE(笔)2.8 解:(1)因此所以(2)P(X| )vm(X)(n 丿 1nn 12(n )1n dn 1 uVar(由题意可知X) E( 2 x)p(xnX2XeTn(n ) 1n (n(nE2(v)x: IGa(iVar( x) n22)2X2212) 1n 2(n(n1|丿1上12 2X2 e 21e1)E( X) n2(3)由题意可知P(x2 n 2n

11、Xer1)enX2nX )2 )nX?2LMD2nnX2第二章先验分布的确定3.1大学生中戴眼镜的比例是0.711223.6 (1)由题意可知P(x )2, 1 x0其他因此，该密度既不是位置密度也不是尺度密度。(2)由题意可知p(x )p(x )因此,该密度是尺度密度(3)由题意可知P(x,xX。Xox。X。a 1X a Xop(x丄xoXxo,x因此,该密度是尺度密度3.8解：(1)由题意可知p(x )Xex!设X1,X2,.,Xn是来自X的简单随机样本，则ni1 e nnXi!i 1对上式分别求一阶导、二阶导得2I2nVx In p(x ) Ini 1nXi Ini 1InnXi!i 1

12、Xi nnXii 1I()ExEx(2)由题意可知p(x ) c；)n设X1,X2,.,Xn是来自X的简单随机样本,(1nInC：i 1对上式分别求一阶导、二阶导得n2I 1 n n i1Xi SVnX In P(x )i 1x In(n2Xi)I n(1i 12I2nXii 12I( ) Ex2IEx1 n2 Xii 12n 洛i 12-(3)由题意可知p(xCxx m 1m(1设X1,X2,.,Xn是来自X的简单随机样本,nInC；i 1VnX In P(x )i 1对上式分别求一阶导、二阶导得In mlnnmnXii 12Inm2xi ln(1nXii 121I()Exnm2xii 1n

13、m莎(4)nm2(1 )由题意可知 p(x1e,x设X“X2，Xn是来自X的简单随机样本，则nx In p(x ) n Ini 1对上式分别关于求一阶导、二阶导得丄n Inn In2|-2nIn xi 1I( ) Ex(5)由题意可知p(x )1 xe , x 0设X1,X2,.,Xn是来自X的简单随机样本，则nv .x Ini 1p(Xi ) n In nInnIni 1对上式分别关于求一阶导、二阶导得I n nnXii 1nXii 1xi 12Ii 1i 1I( ) Ex(6)由题意可知P(x ,)x 1eX,x 0设X1,X2,.,Xn是来自X的简单随机样本, nvx Inp(xi )

14、n Ini 1对上式分别关于求导得2I22I-2nln2IE(亠2InIn xii 1det In21 1nn2，则v2 n23.9证明：由题意可知In Pi Xin2由于各Xi独立，因此有vl( X1,X2，Xk)kIn pXikIn Pi Xi i0由上式可得出2| V2.2 vlXil iXi1Xiij2i2ik因此有det I所以3.10 解:由题意可知0.0112e 0.01 ,因此有h(x,)P(xe 0.01所以有m(x)x0.010x 0.011x 0.013.11 解:由题意可知P(N，X2，.,Xni)所以有h(x,p(x )进而有v m(x)(0,P(X1, X2,.,

15、Xn)第四章4.10.01n)x 0.011,2 ,., n )0.01x 0.011eP(Xi i),x1 e0.01x 0.01决策者的收益、损失与效用1:畅销，2: 一般,ixe iX!n1ie i11d 2d3 :滞销6a3:小批生产a1a2a31005010 1(1)Q( ,a)30409 260206360, j1(2)min Q( i0)20, j2i 1,2,36,j3a2：中批生产,a1 :大批生产,max min Q( i,a,)2 i 1,2,3 j因此，在悲观准则下，最优行动为 a3100, j 1(3) maxQ( j,aji 1,2,350, j 210, j 3m

16、aimaxQ( i,aj)i 1,2,3100因此，在乐观准则下，最优行动为 a1(4) H (a1)0.8 100 0.2 ( 60)68H(a2) 0.8 50 0.2 ( 20) 36H(a3) 0.8 10 0.2 6 9.235, j 130, j 2因此，在乐观系数为0.8时，最优行动为a1 4.2 (1) maxQ( i,aj)i 1,2,3max max Q( i, a,)35j 1,2i 1；,3 j因此，在乐观准则下，最优行动为 a1(2) minQ( i,aj)i 1,2,317, j 113,j2maxminQ( i,aj)i 1,2,317因此，在悲观准则下，最优行动

17、为 a1(3) H (a1)0.7 35 0.3 1729.6H (a2)0.7 30 0.3 1324.9因此，在乐观系数为0.7时，最优行动为a14.3解：由题可知 Q a11000.630 0.3 ( 60) 0.163Q a2500.6400.3 (20)0.140Q a3100.690.3 60.19.3因此，在先验期望准则下，最优行动为a10:5104.4 解;(1)5 a , a min Q( “j)i 1,2,.,620(2)Q( ,a) 5 5aa, ,a aa1a2a3a4a5a625242322212012530292827262253035343332325303540

18、3938425303540454452530354045506Q25, j 124, j 223, j 322, j 421,j 520, j 6j m1,2a,.x.,6 m i n Q( i,aj)j 1,2,.,6i 1,2,.,6因此，在悲观准则下，最优行动为 a6(4) H(a1)2512525H(a2)30124246H(a3)351232312H(a4)401222218H(a5)451212124H(a6)501202030a2a3a4a5%012345150123424.5 解：L 10501233151050124201510501525201510506L a1EL(,4

19、)50.09100.15150.4 200.2250.114.45L a2EL(A)10.0650.15100.4 150.2200.19.81同理可得L a35.71,La42.51, L as1.71,La62.11因此，在该先验分布之下a5为最优行动。a1a2a303025605014.6 解:L0150530102183691803a1a2a315050100 14.7 解:Q100200200 250100034.8 解:(1)W ,a250a, a750500a,a（2）L,a250500aa,a,a4.9解：令i为010%时的状态，2为10%20%时的状态，3为20%时的状态,a

20、1为第一种支付办法，a2为第二种支付办法，则a1100a240 1Q3040 25040 3因此有10%20%1Q a1 E Q,a10 100Be(2,4)d10%3Be(2,4)d20%50Be(2,4)d47.9140Be(2,4)dQ a2E Q,a240所以该厂决策者应采取第一种支付办法。4.10解：由题意知,ai0, 6530,L a2L ,a2L( ,ai)30 5 ,0,-,0106丄0 106丄0 10100d30在先验期望损失最小的原则下最优行动为4.11 证明：La E L ,a E10 153010aia2 2aEma,mL( ,m)L ,a2(ma), maam, a

21、其中ma时,2(ma) a m因此L(,m) L,am aa, mm,m所以L mL a EL(,m)L , am a Pma m Pm04.12证明：设m是先验分布的中位数,a是任一不同于m的行动，且am,则a1a24.15由题意可知Q 5 101(1)Q a1E QE Q,a15,a24.5Q a2因此,期望收益决策为a1a1 a2（2）U2 10 1212U a1EU,a12U a2EU,a25.5因此,期望效用决策为a2a1 a2（3）U12 5211272U a1EU12U a2EU,a229.5因此，新期望效用决策仍为a2a1a24.16解：由题意可知Q399400 139902(

22、1) Q 耳 E Q,a1399Q a2E Q ,a2399.2因此,按直线效用曲线决策，他应该不参加保险。（2）U8.26659a28.28427 18.266590 2U a1EU,a18.26659U a2EU,a28.2677因此，在该效用曲线下，不应该参加保险。第五章貝葉斯決策15.1解：由題意可知,00.120.12設X為三件中的不合格品數，則X : b（3,）從而有p(x ) C；3 x,x0,1,2,3因此有h(x,)p(x )3 x,x 0,1,2,3,00.12繼而有m(0)0.120h(0,)d0.12 10 0.120.83m(1)0.120 h(h)d0.12 130

23、 0.120.152496m(2)0.120h(2,)d0.12 130 0.120.013105m(3)0.120 h(3,)d0/1213d 00.1230.000432所以h(0,)m(0)0.120.8310.04016 13,00.12h(1,)m(1)3 10.120.152496163.93832,00.12h(2,)m(2)h(3,)m(3)丄3 2 10.120.01310513-01219290 3,00.0004321907.6670.12,00.12（2）由題意可知0,1,2,3 ,x01231( x)6a1a1a12( x)a1a1a1a23（X）a1a2a14（X）

24、印a2a1a15（X）a2a1a1a16( x)a1a2a27( x)印a2a2印a1 , a2W ,a令 2.4 1250所以有L ,ai77.6 1250 ,0, 0,a212500, 077.6,因此有R a10E|0L,a1077.612501d22.7284700.83 0.12R a11E1L,a10077.61250163.938312d7.673529R a12E 12L,a10077.612501907.667 21d2.841533R a13E 3L0077.6125019290 3d1.111657E100.121 3R $0L,a2125077.6d15.321500.

25、83 0.12R a21E1L,a20.120125077.6163.9383 12d 27.88272R $2E12La0.12125077.61907.667 21d 36.997131330.12R a2EL,a2125077.619290 3d43.51139038（X）a2a2印印9（X）a2a2a2a210（x）a2a2a2a111（x）a2a2印a212（x）a2a1a2a213（X）印a2a2a214（x）a2a26615（x）a2a1a1a216（x）6a2a1a280,a a12.4 1250 , a a280，則0.06208 o（3）的計算可知後驗風險最小的決策函數為a

26、2, x 0a1,x 1a1.x 2ai,x 35.2 解：（1）令 x d，ex則 l(x) eexex e e若x0,e0 ,則I(x)0 ,因此 I(x) I(0)0若x0,e0 ,則I(x)0若x0,e0,則I(x)0若x0,e0,則I(x)0（3）vE vL ,E|v ee( )e1對上式關於x求一階導得ee對上式關於求一階導、階導得l (x)eeexeElv Le eee 02e】ln Ee（4）由題意可知?因此，Bp(xp(x2xeF因此有p(xne2所以-1x,-n從而exe2n1In Ee5.3證明：- e x 2n3 2eV3 2eV3 2eV2E3 2e對上式關於求一階導

27、、二階導得vEx Lx 0因此由题意可知因此有所以3 2E c5.4证明:因此所以2E3 2E cvL23 2E c_ :2e2E3 2E c_p(x )1Fep（v）Nf3 2c由题意可知ln P(x )P(xa)2xe 2e 22x2x2r2 -2P(x )p(x a)p(x a)P(x )a2 2 a x 2e 4Le,aEx|in心P(x a)Lh( ,a) 1ex|P(x a)P(x )Ex|a22 a xExa2 2 ap(xa) x P(x a) 1P(x )、P(x )2212125.5 解:因此所以Ex2 2 a x a222Ex e2 2 a x a24由题意可知In心P(

28、xa)Le,aLh( ,a)a2e厂2 a2e(a )28P(xp(x a)1. aIn21P(xa)P(x )e2Ex|In2 a xeF2 a22dx2e2 a24a xeF1e2x2 dx 12 a22eFer1、2 aex212P(x )p(x a)22 a42Ex|ln旦2E11P(xa)P(x )X2_e2Ex|x2 e2Ex|P(x a) P(x1 2442Exp(x a)P(x1221122x2 14 _e2xe 2 dx 114111x5.6解：由题意可知P(x ),x因此 p(x a)p(x a)ax,xa x12E2Lh( ,a)Exaa xaa2Exae11P(x a)

29、p(x )xdx1e xdx 1由题意可知1exo因此5.8 解:因此1ex0x0Ga,xX。由题意可知P(x1T10e1苛15100 2e2x2002x2 2252x2009x 40013小9002139x 400 900N(k =由定理5.5可知?为后验分布的5.9解:由题意可知P(x因此有vve2-分位数42P2A1 vo1 v-x21 vue2A 1 v uve2其中MA11 1V)所以5.11解:由题意可知因此P(X )x : Be,n由定理5.21VxP(XA 1ui)Cn,01E 11Be0 1,n所以5.13解:因此所以(1)(2)(3)由题意可知p(xp(v )Be x 1,

30、14 x0: Be 1,14由定理5.1可知,n)c5 x 11018,01 14丄1513 x?B为Be 1,14的中位数由定理5.2可知-0?B1 10 1込1141517(1x)13d14 113 1x)13d1(4)5.14 解:由定理5.5可得?为Be 1,14的1分位数3(1)由题意可知0,0L( ,a。)1,0.150.15、1,00.15L( ,aj0,0.15lx113R a0 xE 1L(,a。)o.1514 1d0.10277-lx0.1513R a1 xE 1L( ,a1)014 1d0.89723(2)Ra。xE|x L( ,a。)0.10277Ra-ixE x L( ,aj0.89723 2 1.79446(3) Ra。xE |x L( ,a0)0.10277lx0.1513R a1 xE |xL( 00.15141d5.15解：由题意可知x: N(ui, 1)，其中 5400 9x1369.2328.32E|xL(,)E|x2 10022 e9005.18解:（1）由题意可知W( ,a)100,a a1500 , a a20,L( ,aj15100 1500 ,丄15L( ,a2)150,丄151500100,aa?因此 w 1007511001502aa?L 25010502L