动起来 思起来 勘起来

1、动起来 思起来 勘起来 在学习空间几何体的表面积和体积问题时，利用表面积和体积公式计算有关的问题，常会 由于基础知识掌握不牢，产生以下几种错误. 一、动起来，防止公式记忆错误致误 例1 底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，求这个棱柱的侧 面积. 错解 设底面菱形的边长为x， 则（kf（2kf）x）2+52=92， 所以菱形的边长x=2kf（7kf）， 所以s=42kf（7kf）5=40kf（7kf）. 剖析 直棱柱的侧面积为底面周长乘于高.错解中把底面菱形当成了正方形. 正解 设底面两条对角线的长分别为a，b， 则a2+52=92，b2+52=152， 得a2=56，b2

2、=200. 所以菱形的边长 x=kf（sx（a2sx）2+（sx（b2sx）2kf）=8. 因此s=485=160. 点评 脑要动起来，正确分析题目中的已知条件，从而确定出侧面积. 二、思起来，分清楚多面体与几何体的结构特征 例2 在球内有相距1 cm的两个平行截面，截面面积分别是5 cm2、8 cm2，求球的面积和体积. 错解 画出轴截面，如图1.圆o是球的大圆，a1b1、a2b2分别是两条 平行截面圆的直径，过o作oc1a1b1于c1，交a2b2于c2. 由于a1b1a2b2，所以oc2a2b2. 由圆的性质可得，c1、c2分别是a1b1、a2b2的中点. 设两平行平面的半径分别为r1、r

3、2，且r1r2，由题意得 r21=8，r22=5， 所以r21=8，r22=5. 又oa1、oa2都是球的半径r， 所以oc1=kf（r2r21kf）=kf（r28kf）， oc2=kf（r2r22kf）=kf（r25kf）， 所以kf（r25kf）kf（r28kf）=1， 解得r2=9. 所以s球=4r2=36（cm2）， v球=sx（43sx）r3=36 （cm3）. 剖析 错解中只考虑了两个平行截面位于球心的同侧，而忽略了两个平行截面 位于球心两侧的情况. 纠正 （1）当两个平行截面位于球心的同侧时，见原解. （2）当两个平行截面位于球心的两侧时，画出轴截面，如图2. 由|oc1|+|o

4、c2|=1， 有kf（r25kf）+kf（r28kf）=1. 因为r28，所以kf（r25kf）1， 所以kf（r25kf）+kf（r28kf）=1无解. 即此种情况不成立. 综上所述， 球的面积为36 cm2，体积为36 cm3. 点评 思考起来，通过分类讨论，找出所适合情况的球面积，从而解答该 问题. 三、勘起来，画出简单的组合体适当的截面图 例3 已知球的内接正方体的体积为v，求球的表面积. 错解 如图3，作圆的内接正方形表示正方体的截面.设正方体的棱长为x，球 的半径为r，则有 x3=v，kf（2kf）x=2r.jb） 解得r=sx（kf（2kf）2sx）kf（s3vkf）. 则s球=4r2=2kf（s3w2kf）. 即球的表面积为2kf（s3v2kf）. 剖析 过球内接正方形的一个对角面作球的大圆截面，得到的是一个宽为正 方体棱长x，长为kf（2kf）x，对角线长为kf（3kf）x的矩形（如图4），故错解所作的大 圆截面是错误的.因此，将错解中的第二个方程改为kf（3kf）x=2r即可. 正解 如图4，作圆的内接长方形表示正方体的截面.设正方体的棱长为x，球 的半径为r，则有 x3=v，kf（3kf）x=2r.jb） 解得r=sx（kf（3kf）2sx）kf（s3vkf）. s球=4r2=3kf（s3v2kf）. 即球的表面积为3kf（s3v2kf）.