清华大学微积分高等数学课件第讲函数极限ppt课件

1、作业作业P34习题习题2.1 3(2)(3). P39习题习题2.2 1(2)(3). 2(2)(6)(9)(13). 3(1)预习：P4049第二讲第二讲 函数极限函数极限一、函数极限一、函数极限二、函数极限的性质二、函数极限的性质三、函数极限的运算法那三、函数极限的运算法那么么四、两个重要极限四、两个重要极限五、无穷小量与无穷大量五、无穷小量与无穷大量极限的重要性极限的重要性1 极限是一种思想方法极限是一种思想方法2极限是一种概念极限是一种概念3 极限是一种计算方法极限是一种计算方法 从认识有限到把握无限从认识有限到把握无限 从了解离散到了解延续从了解离散到了解延续 微积分中许多概念是用极

2、限定义的微积分中许多概念是用极限定义的许多物理、几何量需求用极限来求许多物理、几何量需求用极限来求函数极限问题是研讨当自变量函数极限问题是研讨当自变量一、函数的极限一、函数的极限x趋向于趋向于0 x)x(f的变化趋势的变化趋势或趋向于无穷大时，函数或趋向于无穷大时，函数 两种根本变化趋势两种根本变化趋势0 x 趋向于一点趋向于一点xO(一一)自变量的变化自变量的变化 x x，0 xx ， 0 xx 0 xx 趋向于无穷趋向于无穷， x， x x,)x(f,xxAA)x(fxx.x)x(f的的极极限限函函数数时时趋趋于于是是当当，则则称称的的常常数数定定“无无限限趋趋于于”一一个个确确应应的的函

3、函数数值值时时，其其对对“无无限限趋趋于于”如如果果当当有有定定义义的的某某空空心心邻邻域域在在点点设设函函数数000A)x(flimxx 0记作记作定义定义1：二函数极限的定义二函数极限的定义1. 函数在一点的极限函数在一点的极限)xx(A)x(f0或或留意留意思索空心邻域，是什麽意思？思索空心邻域，是什麽意思？ 思索函数在一点的极限时，不思索函数思索函数在一点的极限时，不思索函数在该点处能否有定义，定义的值是什麽，在该点处能否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必需求有定义。但是，在附近必需求有定义。例例1?11lim21 xxx11lim11lim121 xxxxx21 例例2 0,10

4、,1sin)(xxxxxf0lim0 )x(fx定义定义2： 左、右极限左、右极限记记作作处处的的左左极极限限在在是是则则称称无无限限趋趋于于确确定定值值时时当当内内有有定定义义在在（）若若（,x)x(fA,A)x(f,xx.x,x)x(f0000)1 记记作作处处的的右右极极限限在在是是则则称称无无限限趋趋于于确确定定值值时时当当内内有有定定义义在在（）若若（,x)x(fA,A)x(f,xx.x,x)x(f0000)2 A)x( fxx 0limA)x( fxx 0lim一点极限与单侧极限有什麽关系？一点极限与单侧极限有什麽关系？例例的的情情况况，研研究究设设01arctan xxy察看图形

5、察看图形21arctanlim0 xx不不存存在在！xx1arctanlim0-20-101020-1.5-1-0.50.511.521arctanlim0 xxxxxx1arctanlim1arctanlim00 问题：问题：2. 函数在无穷远的极限函数在无穷远的极限，有有极极限限时时常常数数，则则称称当当无无限限趋趋于于某某一一无无限限变变大大时时，若若有有定定义义在在区区间间设设函函数数A)x(f,x)x(fx),a()x(f A)x(flimx 记记作作定义定义3：类似的可定义类似的可定义A)x(flimx A)x(flimx 或或-20-101020-1.5-1-0.50.511.5

6、例如例如xxf1arctan)( 0)(lim xfx0)(lim xfx0)(lim xfx.)(,)(,)(,0, 0, 0,.)(0000AxfxxAxfxxAxfxxxRAxxf趋趋向向于于时时或或称称当当有有极极限限时时则则称称当当都都有有动动点点的的使使得得所所有有满满足足不不等等式式如如果果有有定定义义的的某某空空心心邻邻域域在在点点设设函函数数 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 或或记记作作定义定义4：3. 函数极限的准确定义函数极限的准确定义定定义义 二、函数极限的性质二、函数极限的性质性质性质2:有界性有界性.)(,)(lim00有有界界时时当当则则存存在在设设

7、xfxxxfxx.)(,0, 000MxfxxM 就有就有时时使当使当和和即存在即存在 函数极限假设存在，那么函数一定有界函数极限假设存在，那么函数一定有界.性质性质1:独一性独一性函数极限假设存在，那么一定是独一的函数极限假设存在，那么一定是独一的.xy1 .)(,)(lim有有界界时时当当则则存存在在设设xfxxfx .)(, 00MxfNxNM 就就有有时时使使当当和和即即存存在在性质性质3:保号性保号性存存在在设设Axfxx )(lim0.0)(,0,0,0)1(0 xfxxA就就有有时时使使当当则则如如果果 . 0,0)(,0,0)2(0 Axfxx则则有有有有时时使使当当如如果果

8、性质性质4存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是)(lim0 xfxx.)(lim)(lim00都都存存在在且且相相等等与与xfxfxxxx 一四那么运算定一四那么运算定理理)0, 0)()()(lim)4()()(lim)3()()(lim)2()(lim)1(,)(lim,)(lim BxgBAxgxfBAxgxfBAxgxfAcxfcBxgAxfxxxxxx则则有有设设注：注：x表示表示x的任一种趋向的任一种趋向.三、极限的运算法那么三、极限的运算法那么.)(lim,)(,.)(lim,)(lim000000AtgfxtgttAxfxtgttxxtt 则则时时当当且且设设二复合函数的极

9、限定理二复合函数的极限定理留意留意不不能能少少！”时时“条条件件00)(,:xtgtt 例如：例如：tttgxxxf1sin)(,0, 00, 1)( 0)(lim, 1)(lim00 tgxftx,0时时t0)()( nntgftg：各各项项均均为为零零1)()( nntgftg：各各项项均均不不为为零零不不存存在在！所所以以)(lim0tgfxAxgAxhxfxhxgxfxNxxxxxxx )(lim)(lim)(lim)()()(),(0000则则且且有有三夹逼定理三夹逼定理: :四初等函数的极限四初等函数的极限)()(lim)()(000 xfxfxfxxfxx 的的定定义义区区间间内

10、内，则则属属于于是是初初等等函函数数，且且若若证证明明利利用用夹夹逼逼定定理理和和极极限限ennn )11(limexxx )11(lim四、两个重要极限四、两个重要极限1.1sinlim0 xxx2.利用夹逼定理利用夹逼定理思索不等式思索不等式的面积的面积扇形的面积AOCAOBAOB )2, 0(tan2121sin21 xxxx即证明证明亦即) 1 ()2, 0(tansin xxxx)2, 0(,)0,2( xx时当) 2() 0,2(tansin xxxx)3()20(tansin xxxx将1式与2式结合起来，得到有有xxxcos1sin1 得）式去除（用时注意到当,3sin, 0s

11、in,0 xxx )20(1sincos xxxx时因为当20 x0sin, 0coscos xxxx)20(1sincos xxxx即由夹逼定理得到令, 0 x1sinlim0 xxx定义定义1 1： 在某个变化过程中在某个变化过程中, ,极限为零极限为零 的函数的函数, ,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷小量无穷小。无穷小量无穷小。五、无穷小量与无穷大量五、无穷小量与无穷大量一定义一定义例如：例如：.0sintan,cos1,tan,sin,2时时的的无无穷穷小小量量都都是是 xxxxxxx.arctan2,12时时的的无无穷穷小小量量都都是是 xxexx 留意：无穷小量是极

12、限 为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！定义定义2 2： 在某个变化过程中在某个变化过程中, ,绝对值无限绝对值无限 变大的函数变大的函数, ,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷大量无穷大。无穷大量无穷大。 )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfGxfxxGxx记记作作无无穷穷大大时时为为当当则则称称有有时时使使当当 )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfGxfxxGxx记记作作正正无无穷穷大大时时为为当当则则称称有有时时使使当当 oxy1 o21xy 例例 xx1lim0 xx1lim0 xx1lim0 201limxx二无穷小与无穷大

13、的性质二无穷小与无穷大的性质性质性质1：.)()()()(),()(,)()(,都都是是无无穷穷小小和和为为常常数数过过程程中中则则在在此此变变化化都都是是无无穷穷小小和和化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的同同一一个个变变xgxfxgxfcxcfxgxf 留意：留意：性质性质1只可以推行到有限个函数只可以推行到有限个函数)21(lim222nnnnn 例例212)1(1lim2 nnnn0 性质性质3：.)()(,)(,)(,是是无无穷穷小小此此变变化化过过程程中中则则在在是是有有界界函函数数是是无无穷穷小小化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的某某一一个个变变xgxfxgxf性质性质2：.)()()0()(,)()(,都都是是无无穷穷大大和和常常数数过过程程中中则则在在此此变变化化都都是是无无穷穷大大和和化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的同同一一个个变变xgxfcxcfxgxf 例例 例例?sinlim xxx是是有有界界函函数数11sin0 xx01sinlim0 xxx1sin,01lim xxxx0)(sin)1(limsinlim xxxxxx?1sinlim0 xxx1.无穷小与无穷大无穷小与无穷大.)(1,)(,是是无无穷穷小小则则在在这这个个变变化化过过程程中中是是无无穷穷大大化化过过程程中中若若在在自自变变量量